数学九年级上册专题24.7 圆的切线的判定与性质-重难点题型（人教版）（教师版）

专题24.7圆的切线的判定与性质--重难点题型【人教版】【知识点1切线的判定】（1）切线判定：=1\*GB3①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线=2\*GB3②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）=3\*GB3③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，再利用三角形的外角性质求出∠BOD的度数，在△BOD中，利用三角形的内角和定理求出∠BDO为直角，即可推出BD与圆O相切．【解答】证明：连接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，又∠BOD为△AOD的外角，∴∠BOD＝∠DAB+∠ODA＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠BOD﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∵OD是⊙O的半径．∴直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【分析】连接OE交AB于点F,由垂径定理得出OE⊥AB,由平行线的性质得出CD⊥OE,则可得出结论．【解答】证明:连接OE交AB于点F,∵点E是劣弧AB的中点,∴OE⊥AB,∵AB∥CD,∴CD⊥OE,∵OE是圆的半径,∴直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【分析】由AC为角平分线得到一对角相等，再由半径OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠DAC＝∠OCA，由l垂直于AD，得到∠ADC为直角，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，等量代换可得出∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD为直角，可得出OC与l垂直，则l为圆O的切线．【解答】证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，又∵l⊥AD，即∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥l，∴l是圆O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图，连接OA，∵AB＝AC，∴AB=∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．【题型2切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．【分析】连接OC，如图，由于OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：连接OC，如图，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴直线AB是⊙O的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．故选：D．【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【分析】连接OD，由等腰三角形的性质证得∠C＝∠ODB．得出OD∥AC，由平行线的性质得出OD⊥DE，则可得出答案；【解答】证明：连接OD，∵DE⊥CF，∴∠DEC＝∠DEF＝90°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠ODB．∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，又OD为⊙O的半径．∴DE是⊙O的切线．【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【分析】（1）由等腰三角形的性质证得∠B＝∠BAD＝36°，再由三角形外角的性质得到∠ADC＝72°，由已知可得∠DAC＝18°，进而得到∠C＝90°，根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接OE，由等腰三角形的性质得到∠OEA＝∠BAD＝∠B，由平行线的判定推出OE∥BC，由平行线的性质推出∠OEF＝90°，根据切线的判定定理即可证得结论．【解答】证明（1）∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠ADC＝72°，∵∠DAC=12∠∴∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠C＝90°，∴AD是圆O的直径；（2）连接OE，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAD＝36°，∴∠OEA＝∠B，∴OE∥BC，∴∠OEF+∠EFC＝180°，∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF，∵OE为圆O的半径，∴EF与圆O相切．【题型3切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．【解答】解：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故（1）正确；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故（2）正确；（3）垂直于圆的半径的直线不一定是圆的切线，圆直径也是可以的，故（3）错误；（4）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故（4）错误；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．到圆心的距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．故选：B．【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是①②⑤．（填序号）【分析】根据圆的切线的判定方法容易得出①②正确，③④不正确；由切线的性质得出⑤正确；即可得出结果．【解答】解：∵与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，∴①正确；∵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，∴②正确；∵经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，∴③④不正确；∵经过圆心和切点的直线垂直于这条切线，∴⑤正确；正确的是①②⑤，故答案为：①②⑤．【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，PA和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且PA＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【分析】连接OA、OB、OP构建全等三角形△OAP≌△OBP，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得∠OBP＝∠OAP＝90°，即PB是⊙O的切线．【解答】证明：如图，连接OA、OB、OP．∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°；在△OAP和△OBP中，PA=PBOA=OB∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，即OB⊥PB，又PB和⊙O有公共点B，即点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．【知识点2切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：=1\*GB3①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点=2\*GB3②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD＝5，求AC的长．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠ACO＝90°，根据等边三角形的性质得到OC＝5，∠AOC＝60°，由直角三角形的性质即可得到答案．【解答】解：连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°，∵OD＝OC，OD＝CD＝5，∴△ODC是等边三角形，∴OC＝5，∠AOC＝60°，∴AC=3OC＝53【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（）A．1 B．233 C．2 【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，∠A＝∠ACO，推出∠COB＝2∠B，根据切线的性质得到∠OCB＝90°，求得∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．【解答】解：连接OC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，∴∠COB＝2∠B，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴OC=33BC∴OB＝2OC=4∴BD＝OB﹣OD=2故选：B．【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D的切线DE⊥AC于点E．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝10，BD＝8，求DE的长．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，进而得出OD∥AC，得到∠ODB＝∠C，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ABC，根据等腰三角形的判定定理证明即可；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD=A∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD＝8，∵S△ADC=12×AD•DC=1∴12×6•8=1解得：DE＝4.8．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接BC，F为BC的中点，连接FO并延长交⊙O于点D，过点D的切线与CA的延长线交于点E．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若AC＝OA＝2，求AE的长．【分析】（1）根据直角所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，根据三角形中位线的性质进而推出∠CFD＝90°，根据切线的性质得到∠EDF＝90°，即可判定四边形CEDF是矩形；（2）连接AD，根据含30°的直角三角形性质的逆定理得出∠ABC＝30°，则∠FOB＝60°，进而推出△AOD是等边三角形，再根据含30°的直角三角形性质即可得解．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵O为AB的中点，F为BC的中点，∴OF∥AC，∴OF⊥BC，∴∠CFD＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形；（2）连接AD，∵AC＝OA＝2，∴AB＝2OA＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∴∠FOB＝60°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ODA＝60°，AD＝OA＝2，∵∠ODE＝90°，∴∠EDA＝90°﹣60°＝30°，∵四边形CEDF是矩形，∴∠E＝90°，∴AE=12【题型5切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；（2）若AC＝23，CE＝2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）连接OA，∵∠ADE＝28°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，即r2+（23）2＝（r+2）2，解得：r＝2，答：⊙O半径的长是2．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O上三点A，B，C，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，AP=3，则⊙OA．33 B．32 C．3【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，由直角三角形中30°角的性质可得答案．【解答】解：连接OA，如图：∵∠ABC＝15°，∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA=3AP=故选：D．【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，作OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到∠ADC+∠ADO＝90°，由等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据∠AOF+∠DAO＝90°，由等量代换即可得到∠ADC＝∠AOF；（2）根据三角形中位线定理得到OE=12BD＝4，设OD＝r，根据勾股定理得出DE2＝OD2﹣OE2＝r2﹣16，DF2＝OF2﹣OD2＝36﹣r2，在Rt△DEF中，利用勾股定理得出关于【解答】解：（1）∠ADC＝∠AOF，证明：连接OD，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO＝90°，∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°，∴∠ADC+∠ADO＝90°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∵AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE=12BD＝4，OF＝OE+∴设OD＝r，∴AB＝2r，在Rt△ODE中，DE2＝OD2﹣OE2＝r2﹣16，在Rt△ODF中，DF2＝OF2﹣OD2＝36﹣r2，在Rt△DEF中，DE2＝DF2﹣EF2＝36﹣r2﹣4，即r2﹣16＝36﹣r2﹣4，解得：r＝26，∴⊙O的半径为26．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）利用切线的性质和圆周角定理即可证明；（2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，OC，∵AB为直径，PC为⊙O的切线，∴∠ACB＝∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠PCB；（2）解：如图2，连接AC，OC，∵四边形CDBP为平行四边形，∴∠D＝∠CPB，由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝5，故⊙O的半径为5．【题型6切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【分析】（Ⅰ）由圆周角定理得出∠EAC＝∠EAB=12∠CAB，∠AEC＝∠（Ⅱ）连接AE，OE，由切线的性质得出∠OEF＝90°，由等腰三角形的性质求出∠OEB＝∠EBA＝64°，则可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，∵DE＝BE，∴DE=∴∠EAC＝∠EAB=12∠∵∠CAB＝38°，∴∠EAC＝19°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴∠C＝90°﹣∠EAC＝71°；（Ⅱ）连接AE，OE，∵GF为⊙O的切线，∴∠OEF＝90°，∵∠CAB＝52°，∴∠EAB=12∠∴∠EBA＝90°﹣∠EAB＝64°，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠EBA＝64°，∴∠BEF＝∠OEF﹣∠OEB＝90°﹣64°＝26°．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120° B．60° C．90°或120° D．60°或120°【分析】连接OB，OC，根据切线的性质得到∠ABO＝∠ACO＝90°，进而求出∠BOC，分点D在优弧BC上、点D′在劣弧BC上两种情况，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接OB，OC，如图所示，∵AB，AC分别为⊙O的切线，∴AB⊥OB，AC⊥OC，∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝360°﹣（∠ABO﹣∠ACO﹣∠BAC）＝120°，当点D在优弧BC上时，由圆周角定理得∠BDC=12∠当点D′在劣弧BC上时，∠BD′C180°＝60°＝120°，综上所述，∠BDC的度数是60°或120°，故选：D．【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【分析】（Ⅰ）由三角形的外角求出∠DCB＝27°，由圆周角定理求出∠ADB＝90°，由三角形内角和可求出答案；（Ⅱ）连接OD，由圆周角定理求出∠ABD＝∠ABC＝58°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD＝58°，由切线的性质得出∠ODF＝90°，则可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵∠AEC＝85°，∠ABC＝58°，∴∠DCB＝∠AEC﹣∠ABC＝85°﹣58°＝27°，∴∠BAD＝∠DCB＝27°，∵AB为⊙O的直径