不确定性知识的表示与推理

第8章不确定性知识的表示与推理2024/1/111第8章不确定性知识的表示与推理8.1不确定性处理概述8.2几种经典的不确定性推理模型8.3基于贝叶斯网络的概率推理8.4基于模糊集合的模糊推理2024/1/1128.1不确定性处理概述8.1.1不确定性及其类型8.1.2不确定性知识的表示与推理8.1.3不确切性知识的表示与推理8.1.4多值逻辑8.1.5非单调逻辑8.1.6时序逻辑2024/1/113不确定性及其类型(1)不确定性知识和信息中含有的不肯定、不可靠、不准确、不精确、不严格、不严密、不完全甚至不一致的成分。按性质分类〔狭义〕不确定性不确切性〔模糊性〕不完全性不一致性2024/1/114不确定性及其类型(2)〔狭义〕不确定性(uncertainty)就是一个命题〔亦即所表示的事件〕的真实性不能完全肯定，而只能对其为真的可能性给出某种估计。例如：“如果乌云密布并且电闪雷鸣，那么很可能要下暴雨。〞“如果头疼发烧，那么大概是患了感冒。〞不确切性(模糊性)就是一个命题中所出现的某些言词其涵义不够确切，从概念角度讲，就是其代表的概念的内涵没有硬性的标准或条件，其外延没有硬性的边界。例如：“小王是高个子。〞“张三和李四是好朋友。〞把涵义不确切的言词所代表的概念称为软概念。2024/1/115不确定性及其类型(3)对于不确定性知识，其表示的关键是如何描述不确定性，一般的做法是把不确定性用量化的方法加以描述。对于不同的不确定性，有不同的表示方法和推理方法。2024/1/116不确定性知识的表示及推理〔1〕狭义不确定性一般采用概率或信度来刻划。一个命题的信度指该命题为真的可信程度。〔这场球赛甲队取胜，0.9〕表示“这场球赛甲队取胜〞这个命题为真的可能性程度为0.9。2024/1/117不确定性知识的表示及推理〔2〕随机性产生式表示的一般形式A→(B,C(B|A))〔8－1〕其中C(B|A)表示规那么的结论B在前提A为真的情况下为真的信度。信度采用〔8—1〕式，命题表示为：“如果乌云密布并且电闪雷鸣，那么天要下暴雨；(0.95)。〞“如果头疼发烧，那么患了感冒；(0.8)。〞信度可视为前提与结论之间的一种关系强度。2024/1/118不确定性知识的表示及推理〔3〕信度可以用概率直接来表示。C〔B|A〕=P〔B|A〕在贝叶斯网络中直接以概率作为信度。信度也可以是基于概率的某种度量。在著名的专家系统MYCIN中，采用的是CF模型。不确定性推理的一般模式不确定性推理＝符号推演＋信度计算2024/1/119不确定性知识的表示及推理〔4〕不确定性推理与通常确实定性推理的差异：(1)不确定性推理中规那么的前件能否与证据事实匹配成功，不但要求两者的符号模式能够匹配〔合一〕，而且要求证据事实所含的信度必须达“标〞，即必须到达一定的限度。这个限度一般称为“阈值〞。(2)不确定性推理中一个规那么的触发，不仅要求其前提能匹配成功，而且前提条件的总信度还必须至少到达阈值。(3)不确定性推理中所推得的结论是否有效，也取决于其信度是否到达阈值。(4)不确定性推理还要求有一套关于信度的计算方法，包括“与〞关系的信度计算、“或〞关系的信度计算、“非〞关系的信度计算和推理结果信度的计算等等。2024/1/1110不确定性知识的表示及推理〔5〕不确定性推理方法的分类控制方法模型方法非数值方法数值方法模糊推理基于概率纯概率可信度方法证据理论主观Bayes通过识别领域内引起不确定性的某些特征及相应的控制策略来限制或减少确定性对系统产生的影响。贝叶斯网络2024/1/1111不确切性知识的表示与推理〔1〕不确切性知识，一般用模糊集合给相关的概念或语言值建模，用模糊逻辑来进行推理。也可以程度化方法来处理。2024/1/1112不确切性知识的表示与推理〔2〕程度化方法就是就是给相关语言特征值〔简称语言值〕附一个称为程度的参数，以确切刻画对象的特征。例如：〔胖，0.9〕这种附有程度的语言值称为程度语言值，一般形式为：〔LV，d〕即(<语言值>，<程度>)程度d的取值范围为实数区间[α,β](α≤0,β≥1)。2024/1/1113〔1〕程度元组一般形式：〔<对象>，<属性>，(<语言属性值>，<程度>)〕例8.1我们用程度元组将命题：“这个苹果比较甜〞表示为〔这个苹果，味道，(甜，0.95)〕其中的0.95就代替“比较〞而刻画了苹果“甜〞的程度。不确切性知识的表示与推理〔3〕2024/1/1114〔2〕程度谓词形式：Pd或dP其中，P表示谓词，d表示程度；Pd为下标表示法，dP为乘法表示法。例8.2采用程度谓词，那么①命题“雪是白的〞可表示为white1.0(雪)或1.0white(雪)②命题“张三和李四是好朋友〞可表示为friends1.15(张三，李四)或1.15friends(张三，李四)不确切性知识的表示与推理〔4〕2024/1/1115〔3〕程度框架含有程度语言值的框架称为程度框架。例下面是一个描述大枣的程度框架。框架名:<大枣>类属:(<干果>,0.8)形状:(圆,0.7)颜色:(红,1.0)味道:(甘,1.1)用途:范围：〔食用，药用〕缺省:食用不确切性知识的表示与推理〔5〕2024/1/1116〔4〕程度语义网含有程度语言值的语义网称为程度语义网。例8.4下面是一个描述狗的程度语义网。

不确切性知识的表示与推理〔6〕2024/1/1117〔5〕程度规那么含有程度语言值的规那么称为程度规那么。其一般形式为∧(Oi,Fi,(LVi,xi))→(O,F,(LV,D(x1,x2,…,xn)))其中，Oi，O表示对象，Fi，F表示特征，LVi，LV表示语言特征值，x,D(x1,x2,…,xn)表示程度，D(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的函数。例8.5设有规那么：如果某人鼻塞、头疼并且发高烧，那么该人患了重感冒。我们用程度规那么描述如下：(某人，病症，(鼻塞，x))∧(某人，病症，(头疼，y))∧(某人，病症，(发烧，z))→(该人，患病，(感冒，1.2(0.3x+0.2y+0.5z)))不确切性知识的表示与推理〔7〕2024/1/1118◆程度推理的一般模式：程度推理＝符号推演＋程度计算程度语言值中的程度可以转化为命题的真度，如：〔小明，身高，〔高，0.9〕〕转化为：〔〔小明，身高，高〕，真实性，〔真，0.9〕〕程度针对于具体的对象而言，并未给语言值整体即软语言值整体建模。不确切性知识的表示与推理〔8〕2024/1/1119多值逻辑包括三值逻辑、四值逻辑、多值逻辑乃至无穷值逻辑。Kleene三值逻辑真值：真、假、不能判定。

TFUTTFUFFFFUUFU

TFUTTTTFTFUUTUUP¬PTFFTUU2024/1/1120非单调逻辑〔1〕单调逻辑指一个逻辑系统中的定理随着推理的进行而总是递增的。非单调逻辑就是逻辑系统中的定理随着推理的进行而并非总是递增的。非单调逻辑中，假设由某假设出发进行的推理中一旦出现不一致，那么允许撤销原来的假设及由它推出的全部结论。这种推理方式称为非单调逻辑推理。2024/1/1121非单调逻辑〔2〕非单调逻辑的适用场合问题求解前，因信息缺乏先作临时假设，求解过程中根据实际情况对假设修正。非完全知识库。动态变化的知识库。2024/1/1122时序逻辑也称时态逻辑，将时间词或时间参数引入到逻辑表达式，使其在不同的时间又不同的真值。这样可以描述和解决时变性问题。时序逻辑在程序标准、程序验证及程序语义形式化方面有重要应用。2024/1/11238.2几种经典的不确定性推理模型确定性理论主观贝叶斯方法证据理论2024/1/1124确定性理论〔1〕不确定性度量知识的不确定性表示ifEthenH(CF(H,E))CF(H,E)：是该条知识的可信度，称为可信度因子或规那么强度，它指出当前提条件E所对应的证据为真时，它对结论为真的支持程度。证据的不确定性表示初始证据CF(E)由用户给出先前推出的结论作为推理的证据，其可信度由推出该结论时通过不确定性传递算法而来。2024/1/1125确定性理论〔2〕在CF模型中，CF的定义为CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)

MB〔MeasureBelief〕：称为信任增长度，它表示因与前提条件E匹配的证据的出现，使结论H为真的信任增长度。MB定义为：

2024/1/1126确定性理论〔3〕MD〔MeasureDisbelief〕：称为不信任增长度，它表示因与前提条件E匹配的证据的出现，使结论H为真的不信任增长度。MD定义为：

P(H)表示H的先验概率；P(H/E)表示在前提条件E对应的证据出现的情况下，结论H的条件概率。2024/1/1127确定性理论〔4〕CF(H,E)的计算公式

2024/1/1128确定性理论〔5〕CF公式的意义当MB〔H，E〕>0时，MD〔H，E〕＝0，表示由于证据E的出现增加了对H的信任程度。当MD〔H，E〕>0时，MB〔H，E〕＝0，表示由于证据E的出现增加对H的不信任程度。对于同一个E，不可能既增加对H的信任程度又增加对H的不信任程度。2024/1/1129确定性理论〔6〕当P(H)，P(H/E)，运用上述公式求CF(H/E)。但是，在实际应用中，P(H)和P(H/E)的值是难以获得的。因此，CF(H,E)的值要求领域专家直接给出。其原那么是：假设由于相应证据的出现增加结论H为真的可信度，那么使CF(H,E)>0，证据的出现越是支持H为真，就使CF(H,E)的值越大；反之，使CF(H,E)<0，证据的出现越是支持H为假，就使CF(H,E)的值越小；假设证据的出现与否与H无关，那么使CF(H,E)=0。2024/1/1130确定性理论〔7〕例如果细菌的染色斑呈革兰氏阳性,且形状为球状,且生长结构为链形,那么该细菌是链球菌(0.7)。这就是专家系统MYCIN中的一条规那么。这里的0.7就是规那么结论的CF值。2024/1/1131确定性理论〔8〕2前提证据事实总CF值计算〔最大最小法〕E=E1E2…EnCF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…CF(En)}E=E1E2…EnCF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…CF(En)}2024/1/1132确定性理论〔9〕3推理结论的CF值计算

C-F模型中的不确定性推理是从不确定的初始证据出发，通过运用相关的不确定性知识，最终推出结论并求出结论的可信度值。结论H的可信度由下式计算：

CF(H)=CF(H,E)max{0,CF(E)}

当CF(E)<0时，CF(H)=0，说明该模型中没有考虑证据为假时对结论H所产生的影响。2024/1/1133确定性理论〔10〕4重复结论CF值计算ifE1thenH(CF(H,E1))ifE2thenH(CF(H,E2))〔1〕计算CF1(H)CF2(H)；〔2〕计算CF(H)：CF1(H)+CF2(H)–CF1(H)CF2(H)假设CF1(H)0,CF2(H)0CF1(H)+CF2(H)+CF1(H)CF2(H)假设CF1(H)0,CF2(H)0CF1(H)+CF2(H)假设CF1(H)与CF2(H)异号CF1，2(H)

=

2024/1/1134确定性理论〔11〕例：有以下一组知识：r1：ifE1thenH(0.8)r2：ifE2thenH(0.6)r3：ifE3thenH(-0.5)r4：ifE4and(E5orE6)thenE1(0.7)r5：ifE7andE8thenE3(0.9)

：CH(E2)=0.8，CH(E4)=0.5，CH(E5)=0.6，CH(E6)=0.7，CH(E7)=0.6，CH(E8)=0.9，求：CF(H)=?

2024/1/1135确定性理论〔12〕解：推理网络为HE3E7E8E1E4E5E6E2CH(E2)=0.8,CH(E4)=0.5，CH(E5)=0.6CH(E6)=0.7，CH(E7)=0.6CH(E8)=0.9

0.70.80.6-0.50.82024/1/1136确定性理论〔13〕结论不确定性传递算法

由r4

得到：

CF(E1)=0.7max{0,CF[E4and(E5orE6)}=0.7max{0,min{CF(E4),CF(E5orE6)}}=0.7max{0,min{CF(E4),max{CF(E5),CF(E6)}}}=0.7max{0,min{0.5,max{0.6,0.7}}}=0.70.5=0.35

由r5

得到：

CF(E3)=0.9max{0,CF(E7andE8)}=0.90.6=0.542024/1/1137确定性理论〔14〕由r1

得到：

CF1(H

)=0.8max{0,CF(E1)}=0.80.35=0.28由r2

得到：

CF2(H

)=0.6max{0,CF(E2)}=0.60.8=0.48

由r3

得到：

CF3(H

)=-0.5max{0,CF(E3)}=-0.50.54

=-0.272024/1/1138确定性理论〔15〕结论不确定性的合成算法

CF1，2(H)=CF1(H)+CF2(H)–CF1(H)CF2(H)

=0.28+0.48–0.280.48=0.63

CF1,2,3(H)=

=0.49即：CF(H)=0.49

CF1,2(H)+CF3(H)1–min{|CF1,2(H)|

,|CF3(H)|2024/1/1139确定性理论〔16〕例8.6设有如下一组产生式规那么和证据事实，试用确定性理论求出由每一个规那么推出的结论及其可信度。规那么:①ifAthenB(0.9)②ifBandCthenD(0.8)③ifAandCthenD(0.7)④ifBorDthenE(0.6)事实:A，CF(A)=0.8;C，CF(C)=0.92024/1/1140确定性理论〔17〕解由规那么①得:CF(B)＝0.9×0.8＝0.72由规那么②得:CF(D)1＝0.8×min{0.72，0.9)＝0.8×0.72＝0.576由规那么③得:CF(D)2＝0.7×min{0.8，0.9)＝0.7×0.8＝0.56从而CF(D)＝CF(D)1＋CF(D)2－CF(D)1×CF(D)2＝0.576＋0.56－0.576×0.56＝0.81344由规那么④得:CF(E)＝0.6×max{0.72，0.81344}＝0.6×0.81344＝0.4880642024/1/1141确定性理论〔18〕可信度方法的进一步开展(1)带有阈值限度的不确定性推理知识表示为：ifEthenH(CF(H,E),)其中是阈值，它对相应知识的可应用性规定了一个度:0<<1(2)加权的不确定性推理知识表示为：ifE1(1)andE2(2)and…thenH(CF(H,E),)其中1，1，…n为加权因子。(3)前提条件中带有可信度因子的不确定性推理知识表示为：ifE1(cf1)andE2(cf2)and…thenH(CF(H,E),)2024/1/1142主观贝叶斯方法〔1〕简介主观贝叶斯方法是等人1976年提出的一种不确定性推理模型，并成功地应用于地质勘探专家系统PROSPECTOR。其核心思想是：

Ⅰ.根据证据的概率P(E);Ⅱ.利用规那么的〔LS，LN〕；LS：E的出现对H的支持程度，LN：E的出现对H的不支持程度。Ⅲ.把结论H的先验概率更新为后验概率P(H|E)；Ⅳ.循环2024/1/1143主观贝叶斯方法〔2〕不确定性度量推理中后验概率的计算多证据的总概率合成相同结论的后验概率合成推理举例主观Bayes方法优缺点2024/1/1144不确定性度量〔1〕知识是用产生式规那么表示的，具体形式为：

ifEthen(LS,LN)H(P(H))或：

其中•E是该条知识的前提条件，它既可以是一个简单条件，也可以是用and、or把单个条件连接起来的复合条件。•H是结论，P(H)是H的先验概率，它指出在没有任何专门证据的情况下，结论为真的概率，其值由领域专家根据以往的实践及经验给出。2024/1/1145不确定性度量〔2〕•LS称为充分性量度，用于指出E对H的支持程度，取值范围为[0，∞〕，其定义为：

LS=LS的值由领域专家给出，具体情况在下面论述。•LN称为必要性量度，用于指出E对H的支持程度，取值范围为[0，∞〕，其定义为：

LN==LN的值也由领域专家给出，具体情况在下面论述。•LS,LN相当于知识的静态强度。P(E/H)P(E/H)P(

E/H)P(

E/H)1

P(E/H)1

P(E/H)2024/1/1146

不确定性度量〔3〕

证据的不确定性也是用概率表示的。

对于初始证据E，由用户根据观察S给出P(E/S)，它相当于动态强度。

具体应用中采用变通的方法在PROSPECTOR中引进了可信度的概念，让用户在–5至5之间的11个整数中选一个数作为初始证据的可信度。

可信度C(E/S)与概率P(E/S)的对应关系如下：

C(E/S)=–5，表示在观察S下证据E肯定不存在，即P(E/S)=0；

C(E/S)=0，表示S与E无关，即P(E/S)=P(E)；C(E/S)=5，表示在观察S下证据E肯定存在，即P(E/S)=1；2024/1/1147不确定性度量〔4〕C(E/S)=其它数值时与P(E/S)的对应关系，可通过对上述三点进行分段线性插值得到，如以下图。P(E/S)1P(E)C(E/S)-5-4-3-2-1012345由上图可得到C(E/S)与P(E/S)的关系式：P(E/S)=若0C(E/S)

5若

5C(E/S)<0C(E/S)+P(E)(5C(E/S))55P(E)(C(E/S)+5)2024/1/1148推理中后验概率的计算〔1〕

在主观Bayes方法的知识表示中，P(H)是专家对结论H给出的先验概率，它是在没有考虑任何证据的情况下根据经验给出的。随着新证据的获得，对H的信任程度应该有所改变。主观Bayes方法推理的任务就是根据证据E的概率P(E)及LS,LN的值，把H的先验概率P(H)，更新为后验概率P(H/E)或P(H/E)。

即：

P(H)P(H/E)或P(H/E)

P(E)LS,LN2024/1/1149推理中后验概率的计算〔2〕(1)证据肯定存在的情况证据肯定存在时，P(E)=P(E/S)=1

由Bayes公式得：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)①

同理有：

P(

H/E)=P(E/

H)P(

H)/P(E)②

①除以②，得：

P(H/E)P(E/H)P(H)

P(

H/E)P(E/

H)P(

H)

③

LS=

O(H)O(H/E)2024/1/1150推理中后验概率的计算〔3〕其中O(H)为引入的几率函数，它与概率的关系为O(x)与P(x)的单调性相同。由③式可得：O(H/E)=LS×O(H)由③式及“非〞运算P(H/E)=1–P(H/E),得：O(x)=P(x)1－P(x)P(H/E)=

LSP(H)(LS–1)P(H)+12024/1/1151推理中后验概率的计算〔4〕充分性量度LS：•当LS>1时，P(H/E)>P(H)，这说明由于证据E的存在，将增大结论H为真的概率，且LS越大，P(H/E)就越大，即E对H为真的支持越强。当LS∞，P(H/E)1，E的存在对H为真是充分的，故称LS为充分性量度。•当LS=1时，P(H/E)=P(H)，这说明E与H无关。•当LS<1时，P(H/E)<P(H)，说明由于证据E的存在，将导致H为真的可能性下降。•当LS=0时，P(H/E)=0，这说明证据E的存在，导致H为假。O(H/E)=LS×O(H)2024/1/1152推理中后验概率的计算〔5〕(2)

证据肯定不存在的情况

证据肯定不存在时，P(E)=P(E/S)=0，P(E)=1。由Bayes公式得：

P(H/

E)=P(

E/H)P(H)/P(

E)①

同理有：

P(

H/

E)=P(

E/

H)P(

H)/P(

E)②

①除以②，得：P(H/

E)P(

E/H)P(H)

P(

H/

E)P(

E/

H)P(

H)③=LN

O(H)O(H/

E)2024/1/1153推理中后验概率的计算〔6〕由③式可得：O(H/E)=LN×O(H)由③式及“非〞运算P(H/E)=1–P(H/E),得：P(H/

E)=LNP(H)(LN–1)P(H)+12024/1/1154推理中后验概率的计算〔7〕必要性量度LN：•当LN>1时，由上式得：P(H/E)>P(H)这说明由于证据E的不存在，将增大结论H为真的概率，且LN越大，P(H/E)就越大，即E对H为真的支持越强。当LN∞，P(H/E)1。•当LN=1时，P(H/E)=P(H)，这说明E与H无关。•当LN<1时，P(H/E)<P(H)，说明由于证据E的不存在，将导致H为真的可能性下降。•当LN=0时，P(H/E)=0，这说明证据E的不存在，导致H为假。由此也可看出E对H为真的必要性，故称LN为必要性量度。O(H/E)=LN×O(H)2024/1/1155推理中后验概率的计算〔8〕(3)证据不确定的情况

在现实中，证据肯定存在或肯定不存在的极端情况是不多的，更多的是介于两者之间的不确定情况。

现在要在0<P(E/S)<1的情况下确定H的后验概率P(H/S)。

在证据不确定的情况下，不能再用上面的公式计算后验概率，而需使用

等人1976年证明的如下公式：

P(H/S)=P(H/E)P(E/S)+P(H/E)P(E/S)

①2024/1/1156推理中后验概率的计算〔9〕下面分四种情况讨论：

1)P(E/S)=1

当P(E/S)=1时，P(

E/S)=0，此时公式

①变为：

P(H/S)=P(H/E)=

这是证据肯定存在的情况。

2)P(E/S)=0当P(E/S)=0时，P(

E/S)=1，此时公式

①变为：

P(H/S)=P(H/

E)=

这是证据肯定不存在的情况。

LSP(H)(LS–1)P(H)+1LNP(H)(LN–1)P(H)+12024/1/1157推理中后验概率的计算〔10〕3)P(E/S)=P(E)

当P(E/S)=P(E)时，此时公式

①变为：

P(H/S)=P(H/E)P(E)+P(H/E)P(E)=P(H)

表示H与S无关。

4)当P(E/S)=其它值时，通过分段线性插值可得到计算P(H/S)的公式。全概率公式2024/1/1158推理中后验概率的计算〔11〕0P(E)1P(E/S)P(H/E)P(H)P(H/E)P(H/S)

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)

P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=该公式称为EH公式。2024/1/1159推理中后验概率的计算〔12〕P(E/S)=若0C(E/S)

5若

5C(E/S)<0C(E/S)+P(E)(5C(E/S))55P(E)(C(E/S)+5)

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)

P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=2024/1/1160推理中后验概率的计算〔13〕对初始证据，用可信度C(E/S)计算P(H/S)

对于初始证据，由于其不确定性是用可信度C(E/S)给出的，此时只要把C(E/S)与P(E/S)的对应关系带入上式，便可得到下述公式：

该公式称为CP公式。P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=2024/1/1161多证据的总概率合成多个单一证据的合取时，即E=E1ANDE2AND…ANDEn，如果P(E1/S),P(E2/S),…,P(En/S),那么：

P(E/S)=min{P(E1/S),P(E2/S),…,P(En/S)}多个单一证据的析取时，即E=E1ORE2OR…OREn如果P(E1/S),P(E2/S),…,P(En/S)，那么：P(E/S)=max{P(E1/S),P(E2/S),…,P(En/S)}对“非〞运算，那么：P(E/S)=1–P(E/S)2024/1/1162相同概率的后验概率合成假设有n条知识都支持相同的结论，而且每条知识的前提条件所对应的证据Ei〔i=1,2,…,n〕都有相应的观察Si与之对应,此时只要先求出每条知识的O(H/Si)，然后就可运用下述公式求出O(H/S1,S2,…,Sn)。O(H/S1)O(H)O(H/S2)O(H)O(H/Sn)O(H)O(H/S1,S2,…,Sn)=…O(H)2024/1/1163推理举例例8.7设有规那么ifE1then(2,0.001)H1〔P(H1)=0.6〕并证据E1肯定存在，求H1的后验概率P(H1/E1)。例8.8设有规那么ifE1then(2,0.001)H1〔P(H1)=0.6〕并证据E1肯定不存在，求H1的后验概率P(H1/E1)。2024/1/1164推理举例例8.9设有规那么ifE1then(2,0.001)H1〔P(H1)=0.6〕并证据E1肯不确定，但P(E1/S1)=0.7，P(E1)=0.5，求H1的后验概率P(H1/E1)。

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)

P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=2024/1/1165推理举例例8.10设有规那么r1:ifE1then(2,0.001)H1r2:ifE2then(100,0.001)H1并证据E1和E2肯定存在，且P(H1)=0.04，求H1的后验概率P(H1/E1E2)。2024/1/1166推理举例例：设有如下知识：r1:ifE1then(2,0.001)H1r2:ifE2then(100,0.001)H1r3:ifH1then(200,0.01)H2：P(H1)=0.09P(H2)=0.01C(E1/S1)=2C(E2/S2)=1

求：P(H2/S1,S2)=?(或O(H2/S1,S2)=?〕H2H1E1E2S2S1(200,0.01)(100,0.001)(2,0.001)C(E1/S1)=2C(E2/S2)=12024/1/1167推理举例解：O(H1)=P(H1)1-P(H1)=0.09/(1-0.09)=0.1O(H2)=P(H2)1-P(H2)=0.01/(1-0.01)=0.0120.09(2-1)0.09+1P(H1/E1)=LS1P(H1)(LS1–1)P(H1)+1==0.17(1)计算P(H1/S1)

(O(H1/S1))P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=2024/1/1168推理举例对于初始证据，使用CP公式，∵C(E1/S1)=2>0∴使用CP公式的后半部。P(H1)+[P(H1/E1)–P(H1)]C(E1/S1)15P(H1/S1)==0.09+[0.17-0.09]21/5=0.122O(H1/S1)=P(H1/S1)1-P(H1/S1)0.1221-0.122=0.14=2024/1/1169推理举例1000.09(100-1)0.09+1P(H1/E2)=LS2P(H1)(LS2–1)P(H1)+1==0.91(2)计算P(H1/S2)

(O(H1/S2))对于初始证据，使用CP公式，∵C(E2/S2)=1>0∴使用CP公式的后半部。P(H1)+[P(H1/E2)–P(H1)]C(E2/S2)15P(H1/S2)==0.09+[0.91-0.09]11/5=0.254O(H1/S2)=P(H1/S2)1-P(H1/S2)0.2541-0.254=0.34=2024/1/1170推理举例(3)计算P(H1/S1,S2)(O(H1/S1,S2))=(0.14/0.1)(0.34/0.1)0.1=0.476

O(H1/S1)

O(H1)O(H1/S1,S2)=O(H1/S2)

O(H1)

O(H1)

P(H1/S1,S2)=

O(H1/S1,S2)1+O(H1/S1,S2)=0.476/(1+0.476)=0.3222024/1/1171推理举例(4)计算P(H2/S1,S2)(O(H2/S1,S2))使用EH公式∵P(H1/S1,S2)>P(H1)∴使用EH公式的后半部。2000.01(200-1)0.01+1P(H2/H1)=LS3P(H2)(LS3–1)P(H2)+1==0.67P(H1/S1,S2)–P(H1)1–P(H1)P(H2/S1,S2)=P(H2)+[P(H2/H1)–P(H2)]=0.01+[(0.322-0.09)/(1-0.01)](0.67-0.01)=0.165O(H2/S1,S2)=P(H2/S1,S2)1-P(H2/S1,S2)0.1651-0.165=0.198=H2的先验概率为0.01，而最后算出的后验概率为0.198，增加了近20倍。2024/1/11722024/1/1173主观Bayes方法优缺点主要优点：•其计算公式大多是在概率论的根底上推导出来的，具有较坚实理论根底；•知识的静态强度LS、LN由领域专家根据实际经验得到，防止了大量的数据统计工作；•给出了在证据不确定情况下更新先验概率为后验概率的方法，且从推理过程中看，确实是实现了不确定性的传递.主要缺点：•它要求领域专家在给出知识时，同时给出H的先验概率，这是比较困难的。•Bayes定理中要求事件间相互独立，限制了该方法的应用。2024/1/1174证据理论〔1〕20世纪60年代Dempster把证据的信任函数与概率的上下值相联系，从而提供了一个构造不确定性推理模型的一般框架。20世纪70年代中期，Shafer对Dempster的理论进行了扩充，在此根底上形成了处理不确定信息的证据理论，出版了《证据的数学理论》。证据理论又称Dempster-Shafer理论〔D-S理论〕或信任函数理论。是经典概率论的一种扩充形式。证据理论能充分区分“不确定〞和“不知道〞的差异，并能处理由“不知道〞引起的“不确定〞性，具有较大的灵活性。2024/1/1175证据理论〔2〕1.D-S理论1〕识别框架2〕根本概率分配函数3〕信任函数〔下限函数〕4〕似真函数〔上限函数〕5〕信任区间6)Dempster组合规那么2.一个具体的不确定推理模型2024/1/11761.D-S理论〔1〕1〕识别框架

Ω1={三轮车，汽车，火车}Ω2={晴天，多云，刮风，下雨}Ω3={感冒，支气管炎，鼻炎}Ω4={红，黄，蓝}

正确答案只能是一个子集{汽车，火车}识别框架的子集就构成了求解问题的各种解答。识别框架就是所考察判断的事物或对象的集合，记为Ω。(Ω中元素是两两互斥的)哪些是机械动力车？〔对应识别框架Ω1〕2024/1/11771.D-S理论〔2〕每一个子集都可以看做是一个隐含的命题。Φ对应答案的假。Ω3={感冒，支气管炎，鼻炎}可能是{感冒}、{支气管炎}、{鼻炎}、{感冒，支气管炎}、{感冒，鼻炎}、{支气管炎，鼻炎}、{感冒，支气管炎，鼻炎}、Φ

其中之一。当对进行分析的环境了解得不全面时，就可以用整个识别框架来代表。考察某人得了什么疾病时，如何处理？〔对Ω3〕2024/1/11781.D-S理论〔3〕按等量分配的原那么进行概率分配，也即是P=1/N当N=2时，A与¬A各占50%证据理论的特点之一就是对这些不知道的，不明确的成分通过对识别框架进行一定的不确定性因子的分配表示。在未知时，概率论按什么原那么进行概率分配？2024/1/11791.D-S理论〔4〕2〕根本概率分配函数定义1给定识别框架Ω，A∈2Ω，称m(A):2Ω→[0，1]是2Ω上的一个根本概率分配函数〔FunctionofBasicProbabilityAssignment〕，假设它满足根本概率分配函数的物理意义：1.假设A属于Ω，且不等于Ω，表示对A的精确信任度2.假设A等于Ω，表示这个数不知如何分配2024/1/11801.D-S理论〔5〕例8.11设Ω＝{a，b，c}，其根本概率分配函数为m({a})＝0.4，m({b})＝0，m({a，c})＝0.4，m({c})＝0m({a，b，c})＝0.2，m({a，b})＝0m(Φ)＝0，m({b，c})＝0根本概率分配函数值一般是由主观给出，一般是某种信度。所以概率分配函数也被称为信任度分配函数。m({a})＋m({b})＋m({c})＝0.4≠1可以看出，根本概率分配函数之值并非概率。2024/1/11811.D-S理论〔6〕3〕信任函数〔下限函数〕定义2：给定识别框架Ω,对于2Ω中的任意A

称为2Ω上的信任函数(FunctionofBelief)。信任函数表示对A为真的信任程度，即为包含于A中的所有集合的根本概率分配函数值之和。性质：Bel(Φ)=0,Bel(Ω)=1,且对于2Ω中的任意元素A，有0≤Bel(A)≤1。根据定义：Bel(Φ)=?Bel(Ω)=?考试成绩估分下限问题2024/1/11821.D-S理论〔7〕例8.12设Ω＝{a，b，c}，其根本概率分配函数为m({a})＝0.4，m({a，b})＝0m({a，c})＝0.4，m({a，b，c})＝0.2m({b})＝0，m({b，c})＝0m({c})＝0{a,b}信任函数值为多少？Bel({a，b})=m({a})＋m({b})＋m({a，b})=0.4+0+0=0.42024/1/11831.D-S理论〔8〕4〕似真函数〔上限函数〕定义3A为2Ω中的元素，A’为A的补集Pl(A)=1-Bel(A’)=称为A的似真函数〔Plausiblefunction〕，函数值又称似真度。

似真函数表示对A非假的信任程度，物理意义为与A交集不为空的所有集合的概率分配函数之和。根据定义有：0≤Bel(A)≤Pl(A)≤1，Bel是Pl的一局部。考试成绩估分上限问题2024/1/11841.D-S理论〔9〕例8.13设Ω＝{a，b，c}，其根本概率分配函数为m({a})＝0.4，m({a，b})＝0m({a，c})＝0.4，m({a，b，c})＝0.2m({b})＝0，m({b，c})＝0m({c})＝0{a,b}似真函数值为多少？Pl({a，b})=1-Bel({a，b}’)=1-Bel({c})=1-m({c})=1-0=12024/1/11851.D-S理论〔10〕5〕信任区间定义4设Bel(A)和Pl(A)分别表示A的信任度和似真度，称二元组[Bel(A),Pl(A)]为A的一个信任区间。

信任区间刻划了对A所持信任程度的上下限。考试成绩估分区间问题2024/1/11861.D-S理论〔11〕信任区间所代表的含义(1)[1,1](2)[0,0](3)[0,1]

(4)[0.5,0.5](5)[0.25,0.85]表示A为真。表示对A完全无知，对A不信任，对A’也不信任。表示A为假。表示A是否为真完全不确定。表示对A为真信任的程度为0.25,对A’的信任程度为0.15。Pl(A)-Bel(A)表示对A不知道的程度，即非对A信任又非对A不信任。2024/1/11871.D-S理论〔12〕6)Dempster组合规那么(1)根本的组合规那么设m1(A)和m2(A)〔A∈2Ω〕是识别框架Ω基于不同证据的两个根本概率分配函数，那么二者组合后为：称为m1和m2正交和，即为m=m1m2.组合后的m(A)满足：2024/1/11881.D-S理论〔13〕例8.14识别框架Ω={a,b,c}，基于两组不同证据得到的根本概率分配函数为：m1({a})=0.4m2({a})=0.6m1({a,c})=0.4m2({a,b,c})=0.4m1({a,b,c})=0.2将m1和m2合并：m({a})=m1({a})m2({a})+m1({a})m2({a,b,c})+m1({a,c})m2({a})+m1({a,b,c})m2({a})=0.4×0.6+0.4×0.4+0.4×0.6+0.2×0.6=0.76m({a,c})=m1({a,c})m2({a,b,c})=0.16m({a,b,c})=m1({a,b,c})m2({a,b,c})=0.082024/1/11891.D-S理论〔14〕例：识别框架Ω={a,b,c}，基于两组不同证据得到的根本概率分配函数为：m1({a})=0.4m2({a})=0.6m1({a,c})=0.4m2({a,b,c})=0.2m1({a,b,c})=0.2m2({b})=0.2将m1和m2合并：m(Φ)=m1({a})m2({b})+m1({a,c})m2({b})=0.4×0.2+0.4×0.2=0.16

报酬分配问题2024/1/11901.D-S理论〔15〕〔2〕含冲突修正的组合规那么有两个不同的根本概率分配函数m1和m2，假设有集合B，C，，m1(B)>0,m2(C)>0，假设用组合规那么导出：这与概率分配函数的定义冲突。2024/1/11911.D-S理论〔16〕Despster组合规那么修正如下：标准数K的引入，实际上是把空集所丢弃的正交和按照比例地补到非空集上，使m〔A〕仍然满足：2024/1/11921.D-S理论〔17〕例：设D={黑,白}，且设M1({黑}，{白}，{黑,白},)=(0.3,0.5,0.2,0)M2({黑}，{白}，{黑,白},)=(0.6,0.3,0.1,0)由组合规那么得：=1-[M1({黑})

M2({白})+M1({白})

M2({黑})]=1-[0.30.3+0.50.6]=0.61K－1=1-M1(x)

M2(y)xy=

2024/1/11931.D-S理论〔18〕M({黑})=

M1(x)

M2(y)xy={黑}K

=(1/0.61)[M1({黑})M2({黑})+M1({黑})M2({黑,白})+M1({黑,白})M2({黑})]=(1/0.61)[0.30.6+0.30.1+0.20.6]=0.54

同理可得M({白})=0.43，M({黑,白})=0.03

组合后的概率分配函数为：

M1({黑},{白},{黑,白},)=(0.54,0.43,0.03,0)2024/1/11941.D-S理论〔19〕1〕识别框架2〕根本概率分配函数3〕信任函数4〕似真函数5〕信任区间6〕Dempster组合规那么2024/1/11952一个具体的不确定推理模型〔1〕基于证据理论的不确定性推理步骤建立问题的识别框架Ω；给幂集2Ω定义根本概率分配函数；计算所关心的子集A∈2Ω〔即Ω的子集〕的信任函数Bel〔A〕、似真函数值Pl〔A〕；由Bel〔A〕和Pl〔A〕得结论。根本概率分配函数可由经验给出，或者由随机性规那么的信度度量计算求得。2024/1/11962基于证据理论的不确定性推理〔2〕〔1〕知识证据表示形式ifEthenH={h1,h2,…,hn}CF={C1,C2,…,Cn}〔2〕组合证据〔3〕传递算法〔4〕结论不确定性合成2024/1/11972基于证据理论的不确定性推理〔3〕例8.15：有规那么〔1〕如果流鼻涕那么感冒但非过敏性鼻炎(0.9)或过敏性鼻炎但非感冒(0.1)〔2〕如果眼发炎那么感冒但非过敏性鼻炎(0.8)或过敏性鼻炎但非感冒(0.05)又有事实〔1〕小王流鼻涕(0.9)〔2〕小王眼发炎(0.4)问小王患了什么病？2024/1/11982基于证据理论的不确定性推理〔4〕建立识别框架Ω＝{h1,h2,h3}其中h1表示“感冒但非过敏性鼻炎〞h2表示“过敏性鼻炎但非感冒〞h3表示“同时得了两种病〞2024/1/11992基于证据理论的不确定性推理〔5〕取根本分配概率分配函数：m1({h1})＝规那么前提事实可信度×规那么结论可信度＝0.9×0.9=0.81m1({h2})=0.9×0.1=0.09m1({h3})=0.1m1(A)=0(A为Ω的其它子集)m2({h1})＝0.4×0.8=0.32m2({h2})=0.4×0.05=0.02m2({h3})=0.66m2(A)=0(A为Ω的其它子集)2024/1/111002基于证据理论的不确定性推理〔6〕将两个概率分配函数合并：K＝