不确定性知识的表示与推理技术

2024/1/111第4章不确定性知识的表示与推理技术引言2024/1/1122024/1/113内容4.1不确定性知识表示与推理概述4.2确定性理论4.3主观贝叶斯方法4.4证据理论〔选学〕4.5基于贝叶斯网络的推理4.6模糊推理4.7不确定性推理的应用2024/1/1144.1不确定性知识表示与推理概述一般的〔确定性〕推理过程：运用已有的知识由事实推出结论.如:事实A，B知识ABC可以推出结论C。此时，只要求事实与知识的前件进行匹配。问题：如果A可能为真，B比较真，知识ABC只在一定程度上为真，结论如何？2024/1/1154.1不确定性知识表示与推理概述通过几个例子认识不确定性：今天有可能下雨如果乌云密布并且电闪雷鸣，那么很可能要下暴雨。小王是高个子“秃子悖论〞2024/1/1164.1不确定性知识表示与推理概述4.1.1不确定性及其类型4.1.2不确定性推理概述2024/1/1174.1.1不确定性及其类型(1)不确定性：知识和信息中含有的不肯定、不可靠、不准确、不精确、不严格、不严密、不完全甚至不一致的成分。按性质分类：随机不确定性模糊不确定性不完全性不一致性2024/1/1184.1.1不确定性及其类型(2)随机不确定性随机不确定性是基于概率的一种衡量，即一个事件发生有多个可能的结果。虽然在该事件发生之前，无法确定哪个结果会出现，但是，可以预先知道每个结果发生的可能性。例如：“这场球赛甲队可能取胜〞“如果头疼发烧，那么大概是患了感冒。〞2.模糊不确定性模糊不确定性就是一个命题中所出现的某些言词其涵义不够确切，从概念角度讲，就是其代表的概念的内涵没有硬性的标准或条件，其外延没有硬性的边界。例如：“小王是高个子。〞“张三和李四是好朋友。〞把涵义不确切的言词所代表的概念称为软概念。2024/1/1194.1.1不确定性及其类型(3)3.不完全性

对某事物了解得不完全或认识不够完整。如，刑侦过程的某些阶段往往要针对不完全的证据进行推理。4.不一致性

随着时间或空间的推移，得到了前后不相容或不一致的结论。如，人们对太空的认识等。2024/1/11104.1.2不确定性推理〔1〕1.不确定性推理方法的分类控制方法模型方法非数值方法数值方法模糊推理基于概率纯概率可信度方法证据理论主观Bayes通过识别领域内引起不确定性的某些特征及相应的控制策略来限制或减少确定性对系统产生的影响。贝叶斯网络2024/1/11114.1.2不确定性推理概述〔2〕2.不确定性推理需要解决的问题1〕不确定性的表示与度量证据的不确定性规那么〔知识〕的不确定性结论的不确定性2〕不确定性的匹配算法3〕不确定性的计算与传播组合证据的不确定性计算(最大最小方法、概率方法、有界方法)证据和知识的不确定性的传递不同证据支持同一结论时其不确定性的合成因此，不确定性推理的一般模式也可以简单地表示为：不确定性推理=符号推演+不确定性计算2024/1/11124.2确定性理论4.2.1知识的不确定性表示4.2.2证据的不确定性表示4.2.3不确定性的传播与计算4.2.4确定性理论的特点及进一步开展2024/1/1113知识的不确定性表示〔1〕不确定性度量知识的不确定性表示：ifEthenH(CF(H,E))CF(H,E)：是该条知识的可信度，称为可信度因子或规那么强度，它指出当前提条件E所对应的证据为真时，它对结论为真的支持程度。如：“如果头疼且流鼻涕，那么患了感冒；(0.7)。〞“如果乌云密布并且电闪雷鸣，那么很可能要下暴雨。(0.9)〞2024/1/1114知识的不确定性表示〔2〕在CF模型中，CF的定义为CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)用P(H)表示H的先验概率；P(H/E)表示在前提条件E对应的证据出现的情况下，结论H的条件概率。MB〔MeasureBelief〕：称为信任增长度，它表示因与前提条件E匹配的证据的出现，使结论H为真的信任增长度。MB定义为：

2024/1/1115知识的不确定性表示〔3〕MD〔MeasureDisbelief〕：称为不信任增长度，它表示因与前提条件E匹配的证据的出现，使结论H为真的不信任增长度。MD定义为：

2024/1/1116知识的不确定性表示〔4〕由MB、MD得到CF(H,E)的计算公式：

2024/1/1117知识的不确定性表示〔5〕CF公式的意义当MB〔H，E〕>0时，MD〔H，E〕＝0，CF〔H，E〕>0,表示由于证据E的出现增加了对H的信任程度。当MD〔H，E〕>0时，MB〔H，E〕＝0，CF〔H，E〕<0,表示由于证据E的出现增加对H的不信任程度。注意：对于同一个E，不可能既增加对H的信任程度又增加对H的不信任程度。2024/1/1118知识的不确定性表示〔6〕当P(H)，P(H/E)，运用上述公式可以求CF(H/E)。但是，在实际应用中，P(H)和P(H/E)的值是难以获得的。因此，CF(H,E)的值要求领域专家直接给出。其原那么是：假设由于相应证据的出现增加结论H为真的可信度，那么使CF(H,E)>0，证据的出现越是支持H为真，就使CF(H,E)的值越大；反之，使CF(H,E)<0，证据的出现越是支持H为假，就使CF(H,E)的值越小；假设证据的出现与否与H无关，那么使CF(H,E)=0。2024/1/1119知识的不确定性表示〔7〕例如果感染体是血液，且细菌的染色体是革兰氏阴性，且细菌的外形是杆状，且病人有严重发烧，那么该细菌的类别是假单细胞菌属〔0.4〕。这就是专家系统MYCIN中的一条规那么。这里的0.4就是规那么结论的CF值。2024/1/1120证据的不确定性表示〔1〕证据的不确定性表示初始证据CF(E)由用户给出证据E肯定为真，CF(E)=1证据E肯定为假，CF(E)=-1对证据一无所知，CF(E)=0证据E以某种程度为真，0<CF(E)<1证据E以某种程度为假，-1<CF(E)<0先前推出的结论作为推理的证据，其可信度由推出该结论时通过不确定性传递算法而来。2024/1/1121不确定性的传播与计算〔1〕组合证据前提证据事实总CF值计算〔最大最小法〕E=E1E2…EnCF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…CF(En)}E=E1E2…EnCF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…CF(En)}E=E1CF(E)=-CF(E1)2024/1/1122不确定性的传播与计算〔2〕推理结论的CF值计算

C-F模型中的不确定性推理是从不确定的初始证据出发，通过运用相关的不确定性知识，最终推出结论并求出结论的可信度值。结论H的可信度由下式计算：

CF(H)=CF(H,E)max{0,CF(E)}

当CF(E)<0时，CF(H)=0，说明该模型中没有考虑证据为假时对结论H所产生的影响。2024/1/1123不确定性的传播与计算〔3〕重复结论CF值计算ifE1thenH(CF(H,E1))ifE2thenH(CF(H,E2))〔1〕计算CF1(H)CF2(H)；〔2〕计算CF(H)：CF1，2(H)

=

CF1(H)+CF2(H)–CF1(H)CF2(H)假设CF1(H)0,CF2(H)0CF1(H)+CF2(H)+CF1(H)CF2(H)假设CF1(H)0,CF2(H)0CF1(H)+CF2(H)1–min{|CF1(H)|,|CF2(H)|}假设CF1(H)与CF2(H)异号2024/1/1124不确定性的传播与计算〔4〕例4.1设有如下规那么：r1:IFE1THENH(0.8)r2:IFE2THENH(0.9)r3:IFE3ANDE4THENE1(0.7)r4:IFE5ORE6THENE1(－0.3)并初始证据的可信度为：CF〔E2〕=0.8，CF〔E3〕=0.9，CF〔E4〕=0.7，CF〔E5〕=0.1，CF〔E6〕=0.5，用确定性理论计算CF〔H〕。

2024/1/1125不确定性的传播与计算〔5〕由r3可得：CF1〔E1〕=0.7×min{0.9,0.7}=0.49由r4可得：CF2〔E1〕=－0.3×max{0.1,0.5}=－0.15从而CF1,2〔E1〕=〔0.49－0.15〕/(1－min(|0.49|,|－0.15|))=0.34/0.85=0.4由r1可得：CF1〔H〕=0.4×0.8=0.32由r2可得：CF2〔H〕=0.8×0.9=0.72从而CF1,2〔H〕=0.32+0.72-0.32×0.72=0.8096这就是最终求得的H的可信度。2024/1/11264.3主观贝叶斯方法〔1〕简介主观贝叶斯方法是等人1976年提出的一种不确定性推理模型，并成功地应用于地质勘探专家系统PROSPECTOR。其核心思想是：

根据：Ⅰ.证据的不确定性〔概率〕P(E);Ⅱ.规那么的不确定性〔LS，LN〕；LS：E的出现对H的支持程度，LN：E的出现对H的不支持程度。把结论H的先验概率更新为后验概率P(H|E)；贝叶斯2024/1/11272024/1/11284.3主观贝叶斯方法〔2〕4.3.1知识的不确定性表示4.3.2证据的不确定性表示4.3.3不确定性的传播与计算4.3.4主观贝叶斯方法的特点2024/1/11294.3.1知识的不确定性表示〔1〕知识是用规那么表示的，具体形式为：

ifEthen(LS,LN)H(P(H))或：

其中•E是该条知识的前提条件，它既可以是一个简单条件，也可以是用and、or把多个条件连接起来的复条件。•H是结论，P(H)是H的先验概率，它指出在没有任何专门证据的情况下，结论为真的概率，其值由领域专家根据以往的实践及经验给出。2024/1/11304.3.1知识的不确定性表示(2)•LS称为充分性量度，用于指出E对H的支持程度，取值范围为[0，∞〕，其定义为：

LS=LS的值由领域专家给出，具体情况在下面论述。•LN称为必要性量度，用于指出E对H的支持程度，取值范围为[0，∞〕，其定义为：

LN==LN的值也由领域专家给出，具体情况在下面论述。•LS,LN相当于知识的静态强度。P(E/H)P(E/H)P(

E/H)P(

E/H)1

P(E/H)1

P(E/H)2024/1/1131在贝叶斯方法中，引入几率函数o(x)

，它与概率的关系为:几率函数与概率函数有相同的单调性，但取值为[0，]下面讨论LS、LN定义的由来O(x)=P(x)1－P(x)4.3.1知识的不确定性表示〔3〕2024/1/11324.3.1知识的不确定性表示(4)1)对于LS:

由Bayes公式得：

P(H/E)=[P(E/H)P(H)]/P(E)①

同理有：

P(

H/E)=[P(E/

H)P(

H)]/P(E)②

①除以②，得：

P(H/E)P(E/H)P(H)

P(

H/E)P(E/

H)P(

H)

③

LS=

O(H)O(H/E)2024/1/11334.3.1知识的不确定性表示(5)使用几率函数，③式可以表示为:O(H/E)=LS×O(H)可以看出，LS越大，O(H/E)越大，那么P(H/E)越大，说明E对H为真的支持越强。当LS∞，P(H/E)1，E的存在对H为真是充分的，故称LS为充分性量度。对于上式，证据E肯定存在时，即P(E)=P(E/S)=1，考虑P(H/E)。由③式及“非〞运算：P(H/E)=1–P(H/E)、P(H)=1–P(H),得：LS将H的先验概率更新为后验概率P(H/E)=

LSP(H)(LS–1)P(H)+12024/1/11344.3.1知识的不确定性表示(6)2)对于LN:

由Bayes公式得：

P(H/

E)=P(

E/H)P(H)/P(

E)①

同理有：

P(

H/

E)=P(

E/

H)P(

H)/P(

E)②

①除以②，得：

P(H/

E)P(

E/H)P(H)P(

H/

E)P(

E/

H)P(

H)③

=LN

O(H)O(H/

E)2024/1/11354.3.1知识的不确定性表示(7)LN的定义还可以表示为：O(H/E)=LN×O(H)那么LN越大，说明E对H为真的支持越强。当LN=0，P(H/E)=0，E的不存在导致H为假，说明E对H是必要的，故称LN为必要性量度。由③式及“非〞运算P(H/E)=1–P(H/E)、P(H)=1–P(H),得：LN将H的先验概率更新为后验概率P(H/

E)=LNP(H)(LN–1)P(H)+12024/1/11364.3.1知识的不确定性表示(9)可以证明：LS、LN>0,它们是不独立的，且有如下约束关系：当LS>1时，LN<1；当LS<1时，LN>1；当LS=1时，LN=1；实际系统中，LS、LN值是有专家给出的。2024/1/1137

4.3.2证据的不确定性表示〔1〕

证据的不确定性也是用概率表示的。

对于初始证据E，由用户根据观察S给出P(E/S)，它相当于动态强度。

具体应用中采用变通的方法，在PROSPECTOR中引进了可信度的概念，用C(E/S)刻画证据的不确定性。让用户在–5至5之间的11个整数中选一个数作为初始证据的可信度C(E/S)。

初始可信度C(E/S)与概率P(E/S)的对应关系如下：

C(E/S)=-5，表示在观察S下证据E肯定不存在，即P(E/S)=0；C(E/S)=0，表示S与E无关，即P(E/S)=P(E)；C(E/S)=+5，表示在观察S下证据E肯定存在，即P(E/S)=1；2024/1/11384.3.2证据的不确定性表示〔2〕C(E/S)=其它数值时，与P(E/S)的对应关系可通过对上述三点进行分段线性插值得到，如以下图。P(E/S)1P(E)C(E/S)-5-4-3-2-1012345由上图可得到C(E/S)与P(E/S)的关系式，即由C(E/S)计算P(E/S)：P(E/S)=若0C(E/S)

5若5C(E/S)<0C(E/S)+P(E)(5C(E/S))55P(E)(C(E/S)+5)2024/1/1139不确定性的传播与计算

在主观Bayes方法的知识表示中，P(H)是专家对结论H给出的先验概率，它是在没有考虑任何证据的情况下根据经验给出的。随着新证据的获得，对H的信任程度应该有所改变。主观Bayes方法推理的任务就是根据证据E的概率P(E)及LS,LN的值，把H的先验概率P(H)更新为后验概率P(H/E)或P(H/E)。

即：

P(H)P(H/E)或P(H/E)

P(E)LS,LN2024/1/1140不确定性的传播与计算(1)

在现实中，证据肯定存在或肯定不存在的极端情况是不多的，更多的是介于两者之间的不确定情况。

现在要在0<P(E/S)<1的情况下确定H的后验概率P(H/S)。在证据不确定的情况下，不能再用上面的公式计算后验概率，而需使用R.O.Doda等人1976年证明的如下公式：

P(H/S)=P(H/E)P(E/S)+P(H/E)P(E/S)

①2024/1/1141不确定性的传播与计算(2)下面分四种情况讨论：

1)P(E/S)=1

当P(E/S)=1时，P(

E/S)=0，此时公式①变为：

P(H/S)=P(H/E)=

这是证据肯定存在的情况。

2)P(E/S)=0

当P(E/S)=0时，P(

E/S)=1，此时公式①变为：

P(H/S)=P(H/

E)=

这是证据肯定不存在的情况。

LSP(H)(LS–1)P(H)+1

LNP(H)(LN–1)P(H)+12024/1/1142不确定性的传播与计算(3)3)P(E/S)=P(E)

当P(E/S)=P(E)时，此时公式①变为：

P(H/S)=P(H/E)P(E)+P(H/E)P(E)=P(H)

表示H与S无关。

4)当P(E/S)=其它值时，通过分段线性插值可得到计算P(H/S)的公式。全概率公式2024/1/1143不确定性的传播与计算(4)0P(E)1P(E/S)

P(H/E)P(H)P(H/E)P(H/S)

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)

P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=该公式称为EH公式。2024/1/1144不确定性的传播与计算(5)由前面可知P(E/S)、P(H/S)的计算公式分别为：P(E/S)=若0C(E/S)

5若5C(E/S)<0C(E/S)+P(E)(5C(E/S))55P(E)(C(E/S)+5)

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)

P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=2024/1/1145不确定性的传播与计算(6)对初始证据，用可信度C(E/S)计算P(H/S)

对于初始证据，由于其不确定性是用可信度C(E/S)给出的，此时只要把C(E/S)与P(E/S)的对应关系带入上式，便可得到下述公式：

该公式称为CP公式。P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=2024/1/1146不确定性的传播与计算(7)相同结论的后验概率合成：假设有n条知识都支持相同的结论H，而且每条知识的前提条件所对应的证据Ei〔i=1,2,…,n〕都有相应的观察Si与之对应,此时只要先求出每条知识的O(H/Si)，然后运用下述公式求出O(H/S1,S2,…,Sn)。O(H/S1)O(H)O(H/S2)O(H)O(H/Sn)O(H)O(H/S1,S2,…,Sn)=…O(H)最后，再利用P(H/S1,S2,…,Sn)与O(H/S1,S2,…,Sn)的关系：

P(H/S1,S2,…,Sn)=O(H/S1,S2,…,Sn)/(1+O(H/S1,S2,…,Sn))计算P(H/S1,S2,…,Sn)

。2024/1/1147不确定性的传播与计算(8)例4.2设有如下规那么：r1:IFE1THEN(65,0.01)H1r2:IFE2THEN(300,0.001)H1r3:IFH1THEN(200,0.002)H2：P(E1)=0.1，P(E2)=0.03，P(H1)=0.1，P(H2)=0.05，用户提供证据：C(E1/S1)=2，C(E2/S2)=1，计算P(H2/S1，S2)。2024/1/1148不确定性的传播与计算(9)分析：自下而上计算：根据LS值，将H的先验概率转换为后验概率，计算P(H1/E1)、P(H1/E2)

使用CP公式计算P(H1/S1)、P(H1/S2)，计算O(H1/S1)、O(H1/S2)对H1合成。计算O(H1/S1,S2)、P(H1/S1,S2)。根据LS值，将H的先验概率转换为后验概率，计算P(H2/H1)

使用EH公式计算P(H2/S1，S2)(1)计算P(H1/E1)、P(H1/S1)和O(H1/S1)2024/1/1149不确定性的传播与计算(10)对于初始证据，使用CP公式：

P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=∵C(E1/S1)=2>0∴使用CP公式的后半部。2024/1/1150不确定性的传播与计算(11)

3000.1(300-1)0.01+1P(H1/E2)=LS2P(H1)(LS2-1)P(H1)+1==0.9709(2)计算P(H1/E2)、P(H1/S2)

、(O(H1/S2))对于初始证据，使用CP公式，∵C(E2/S2)=1>0∴使用CP公式的后半部。P(H1)+[P(H1/E2)–P(H1)]C(E2/S2)15P(H1/S2)==0.1+[0.9709-0.09]11/5=0.2742O(H1/S2)=

P(H1/S2)1-P(H1/S2)0.27421-0.2742=0.3778=2024/1/1151不确定性的传播与计算(12)(3)计算P(H1/S1,S2)、O(H1/S1,S2)2024/1/1152不确定性的传播与计算(13)(4)计算P(H2/S1,S2)(O(H2/S1,S2))使用EH公式∵P(H1/S1,S2)>P(H1)∴使用EH公式的后半部。2000.05(200-1)0.05+1P(H2/H1)=LS3P(H2)(LS3–1)P(H2)+1==0.9132P(H1/S1,S2)–P(H1)1–P(H1)P(H2/S1,S2)=P(H2)+

[P(H2/H1)–P(H2)]=0.05+[(0.9132-0.05)/(1-0.1)](0.7038-0.01)=0.6291H2的先验概率为0.05，而最后算出的后验概率为0.6291

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)

P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=2024/1/11534.3.4主观贝叶斯方法的特点主要优点：•其计算公式大多是在概率论的根底上推导出来的，具有较坚实理论根底；•知识的静态强度LS、LN由领域专家根据实际经验得到，防止了大量的数据统计工作；•给出了在证据不确定情况下更新先验概率为后验概率的方法，且从推理过程中看，确实是实现了不确定性的传递.主要缺点：•它要求领域专家在给出知识时，同时给出H的先验概率，这是比较困难的。•Bayes定理中要求事件间相互独立，限制了该方法的应用。2024/1/11544.4证据理论—选学20世纪60年代Dempster把证据的信任函数与概率的上下值相联系，从而提供了一个构造不确定性推理模型的一般框架。20世纪70年代中期，Shafer对Dempster的理论进行了扩充，在此根底上形成了处理不确定信息的证据理论，出版了《证据的数学理论》。证据理论又称Dempster-Shafer理论〔D-S理论〕或信任函数理论。是经典概率论的一种扩充形式。证据理论能充分区分“不确定〞和“不知道〞的差异，并能处理由“不知道〞引起的“不确定〞性，具有较大的灵活性。2024/1/11554.5基于贝叶斯网络的推理4.5.1什么是贝叶斯网络4.5.2贝叶斯网络推理2024/1/11564.5.1什么是贝叶斯网络〔1〕贝叶斯网络是一种以随机变量为节点，以条件概率为节点间关系强度的有向无环图〔DirectedAcyclicGraph，DAG〕。设V1，V2，…，Vk是贝叶斯网络中的节点，满足贝叶斯网络的条件独立性假设，那么网络中所有节点的联合概率为：贝叶斯网络中的节点一般代表事件、对象、属性或状态；有向边一般表示节点间的因果关系。贝叶斯网络也称因果网络、信念网络、概率网络、知识图等，是描述事物之间因果关系或依赖关系的一种直观图形。2024/1/11574.5.1什么是贝叶斯网络〔2〕机器人举积木问题。首先考虑第一个原因，即“电池被充电〞〔B〕和“积木是可举起来的〞〔L〕相对应的变量。B和L对“手臂移动〞〔M〕有一个因果影响，B对G〔“仪表指示电池被充电了〞〕也有因果关系，BLMG节点表示随机变量边表示相关节点或变量之间某种依赖关系每个节点有一个条件概率表（CPT）因节点果节点P（G/B）=0.95P（G/¬B）=0.01P（M/B,L）=0.9P（M/B,¬L）=0.05P（M/¬B,L）=0P（M/¬B,¬L）=0P（B）=0.95P（L）=0.72024/1/11584.5.2贝叶斯网络推理〔1〕根据贝叶斯网络的结构特征和语义特征，基于网络中的一些节点〔证据变量〕，利用这种概率网络就可以推算出网络中另外一些节点〔查询变量〕的概率，即实现概率推理。推理可分为因果推理诊断推理辩白混合推理2024/1/11594.5.2贝叶斯网络推理〔2〕1因果推理由原因到结果的推理，即网络中的祖先节点而计算后代节点的条件概率。是一种自上而下的推理。在积木是可以举起的〔L〕的条件下，计算手臂能移动〔M〕的概率P〔M/L〕。由于积木可举起是手臂能移动的原因之一，因此，这是一个典型的因果推理。L称作推理的证据，而M称作询问节点。BLMGP（M/B,L）=0.9P（M/B,¬L）=0.05P（M/¬B,L）=0P（M/¬B,¬L）=02024/1/11604.5.2贝叶斯网络推理〔3〕首先，由于M还有另外一个因节点——电池被充电〔B〕，因此可以对概率P〔M/L〕进行扩展，得：〔4-14〕

对式〔4-14〕中第一项P〔M，B/L〕做如下变形：

2024/1/11614.5.2贝叶斯网络推理〔4〕同理，可对式〔4-14〕中的第二项P〔M，¬B/L〕变形得到：由式〔4-14〕可得结果：〔4-15〕将这些概率代入到式〔4-15〕右端：2024/1/11624.5.2贝叶斯网络推理〔5〕因果推理的思路和方法〔1〕对于所求的询问节点的条件概率，用所给证据节点和询问节点的所有因果节点的联合概率进行重新表达。〔2〕对所得表达式进行适当变形，直到其中的所有概率值都可以从问题贝叶斯网络的条件概率表中得到。〔3〕将相关概率值代入到概率表达式中进行计算即得所求询问节点的条件概率。2024/1/11634.5.2贝叶斯网络推理〔6〕2诊断推理由结果到原因的推理，即网络中的后代节点而计算祖先节点的条件概率。这种推理是一种自下而上的推理。诊断推理的一般思路和方法是：先利用贝叶斯公式将诊断问题转化为因果推理问题；然后进行因果推理；再利用因果推理的结果，导出诊断推理的结果。2024/1/11644.5.2贝叶斯网络推理〔7〕假设机器人手臂未移动〔¬M〕，求积木不可举起〔¬L〕的概率，即，也即是用一个结果〔或病症〕来推理一个起因，把这类推理叫做诊断推理。由贝叶斯公式，得BLMG2024/1/11654.5.2贝叶斯网络推理〔8〕用因果推理：将结果代入式〔4-16〕中，计算：同样的，用因果推理可计算出：2024/1/11664.5.2贝叶斯网络推理〔9〕计算：因为：所以：解得P(~M)=0.38725，代入到式〔4-16〕中得：

2024/1/11674.5.2贝叶斯网络推理〔10〕3辩白如果机器人举积木的例子中的证据仅仅是¬M〔手臂不能移动〕，那么能够计算¬L〔积木不能举起〕的概率。如果现在仅仅给定¬B〔电池没有被充电〕，那么¬L就变得不确定。这种情况下，可以说¬B解释¬M，使¬L不确定。这种推理将使用嵌入在一个诊断推理中的因果推理。由贝叶斯公式可得：由条件概率定义：2024/1/11684.5.2贝叶斯网络推理〔11〕所以：〔4-17〕由联合概率可计算：其中2024/1/11694.5.2贝叶斯网络推理〔12〕可得P〔¬M，¬B〕=0.05代入式〔4-17〕中得：机器人举积木例子中的推理方法可以推广到更一般的推理过程中去。但是在实际应用系统中的网络，不仅相关因素繁多，而且许多概率是无法得到的，因此，在推理的过程中将会引入大量的近似计算。贝叶斯网络的建造涉及拓扑结构和条件概率，可以通过机器学习的方法来解决，称为贝叶斯网络学习。2024/1/11704.6模糊推理4.6.1模糊集合及模糊逻辑4.6.2简单模糊推理71天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子上下72模糊数学模糊概念模糊概念：附属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨。模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。73模糊数学的产生与根本思想产生1965年，L.A.Zadeh〔扎德〕发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)根本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于聪明的程度为0.8,另一个人属于聪明的程度为0.3等.74模糊数学的开展1975年之前，开展缓慢；1980以后开展迅速；1990-1992FuzzyBoom

杂志种类1978年，Int.J.ofFuzzySetsandSystems每年1卷共340页，1999年8卷每卷480页Int.J.ofApproximateReasoningInt.J.FuzzyMathematicsInt.J.Uncertainty,Fuzziness,knowledge-basedSystems75IEEE系列杂志主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种

国际会议IFSA(Int.FuzzySystemsAssociation)EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支

涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；76

模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐77国内状况1976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办《模糊数学》杂志1987年创办《模糊系统与数学》杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一〔美国、西欧、日本、中国〕78为什么研究模糊数学人工智能的要求

取得精确数据不可能或很困难没有必要获取精确数据模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为根底的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的开展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。糊控制技术的最大特点是适宜于各个领域。最早取得应用成果的是1974年英国伦敦大学教授E．H．M，首先把模糊控制语句组的模糊控制器，应用于锅炉和汽轮船的运行控制，在实验室中获得成功。1975年英国的和将模糊控制系统应用于工业反响过程的温度控制中。1976年荷兰学者和将模糊控制器应用于热水装置中1977年丹麦学者J．J．osterga“利用模糊控制器对2输入一2输出的热变换过程进行控制1983年日本学者和将一种基于语言真值推理的模糊逻辑控制器，应用于汽车速度自动控制，并取得成功。此后，模糊控制在化工、机械、冶金、工业炉窑、水处理、食品生产等多个领域中得到实用。模糊控制充分显示了在大规模系统、多目标系统、非线性系统以及无适应传感器可检测的系统中的良好应用效果。我国模糊控制理论及其应用方面的研究工作是从1979年开始的，大多数是在高等院校核研究所中进行理论研究的，如对模糊控制的结构、模糊推理算法、自学习和自组织模糊控制器，以及模糊控制稳定性问题等的研究，而其成果应用主要集中在工业炉窑方面，如退火炉、电弧冶炼炉、水泥窑以及造纸机的控制。7980模糊性与随机性之区别随机性事件本身具有明确含意事件是否出现的不确定性[0,1]上概率分布函数描述模糊性事物的概念本身是模糊的概念的外延的模糊－不确定性：模糊性[0,1]上的隶属函数描述2024/1/1181模糊集合及模糊逻辑〔1〕1965年美国学者扎德〔L．A．Zadeh〕等人从集合论的角度出发，对传统集合进行了推广，提出了模糊集合、隶属函数、语言变量、语言真值及模糊推理等重要概念。1模糊集合的定义2模糊集合的运算3模糊关系4模糊关系的合成5模糊逻辑2024/1/1182模糊集合及模糊逻辑〔2〕1模糊集合的定义定义4.8：设U是给定论域，F是把任意uU映射为[0,1]上某个实数值的函数，即F:U[0,1];uF(u)那么称F为定义在U上的一个隶属函数，对所有的uU，由F(u)所构成的集合F：为U上的一个模糊集合〔简称模糊集〕，F(u)称为μ对F的隶属度。模糊子集实际是普通子集的推广，而普通子集是模糊子集的特例。2024/1/1183模糊集合及模糊逻辑〔3〕〔1〕论域离散的，并且为有限论域，模糊集合F，一般可以记为F={F(u1)/u1,F(u2)/u2,…，F(un)/un}或F=F(u1)/u1+F(u2)/u2+…+F(u3)/u3一般形式为有限论域，可以表示为：F={F(u1),F(u2),F(u3),…,A(un)}2024/1/1184模糊集合及模糊逻辑〔4〕例4.9设有限论域U={10，20，30，40，50，60，70，80，100}上“大〞和“小〞的概念用集合S大和S小来表示：S大=0／10＋0／20＋0.1／30＋0.2／40＋0.3／50＋0.5／60＋0.7／70＋0.9／80＋1／90＋1／100S小=1／10＋1／20＋0.8／30＋0.7／40＋0.5／50＋0.4／60＋0.2／70＋0／80＋0／90＋0／1002024/1/1185模糊集合及模糊逻辑〔5〕〔2〕如果论域是连续的，其分段隶属函数就可以表示模糊集设有论域U=[1,200]，表示人的年龄区间，那么模糊概念“年轻〞和“年老〞可分别定义如下：

2024/1/1186模糊集合及模糊逻辑〔5〕2模糊集合的运算定义4.9设F1，F2分别是论域U上的两个模糊集，那么F1∪F2，F1∩F2分别称为F1，F2的并集、交集，它们的隶属函数分别为：模糊集合论中通常用“∨〞代表max，“∧〞代表min。即对任意的u∈U，有2024/1/1187模糊集合及模糊逻辑〔6〕定义4.10设F为U上的模糊集，称¬F为F的补集，其隶属函数为例4.10设U={u1，u2，u3}，A和B分别是U上的两个模糊集合A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3那么A∩B=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3A=(1－0.3)/u1+(1－0.8)/u2+(1－0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u32024/1/1188模糊集合及模糊逻辑〔7〕3模糊关系普通集合的关系设U与V是两个集合，那么称UV={(u,)|uU,V}为U与V的笛卡尔乘积。

所谓从U到V的关系R，是指U×V上的一个子集，即RU×V。2024/1/1189模糊集合及模糊逻辑〔8〕模糊集的笛卡儿乘积定义4.11设Fi是Ui上〔i=1，2，…，n〕的模糊集，那么称为F1，F2，…，Fn的笛卡尔乘积，它是U1U2…Un上的一个模糊集。定义4.12在U1U2…Un上的一个n元模糊关系R是指以U1U2…Un为论域的一个模糊集，记为：2024/1/1190模糊集合及模糊逻辑〔9〕例4.11：设有一组学生U:U={张平，李军，王伟}

他们对不同的活动V：V={阅读，音乐，运动，郊游}有不同的爱好，把他们对各种球类运动的爱好程度列成一张表，就构成了U×V上的一个模糊关系R:

R(u,)阅读音乐运动郊游张平0.70.50.40.1李军00.60.50.5王伟0.50.30.802024/1/1191模糊集合及模糊逻辑〔10〕模糊关系的矩阵表示假设U、V为有限论域，那么模糊关系可用一个矩阵表示。U={u1,u2,…,um}V={1,2,…,n}那么U和V的模糊关系为

R(u1,

1)

R(u1,

2)…

R(u1,

n)

R(u2,

1)

R(u2,

2)…

R(u2,

n)

…

R(um,

1)

R(um,

2)…

R(um,

n)R=2024/1/1192模糊集合及模糊逻辑〔11〕例4.11的模糊矩阵是0.70.50.40.100.600.50.50.30.80R=2024/1/1193模糊集合及模糊逻辑〔12〕定义4.13设R1与R2分别是UV和VW上的两个模糊关系，那么R1与R2的合成是从U到W的一个模糊关系，记为其隶属函数为这种合成关系的方法称为最大-最小矩阵集〔max-minmatrixproduct〕，或简单地称为最大-最小〔max-min〕，即是把矩阵乘法运算中的加法和乘法换为最大和最小函数。2024/1/1194Zadeh的模糊关系合成法那么设模糊集合及模糊逻辑〔13〕2024/1/1195那么即,对R1第i行和R2第j列对应元素取最小,再对k个结果取最大,所得结果就是R中第i行第j列处的元素。模糊集合及模糊逻辑〔14〕2024/1/1196模糊集合及模糊逻辑〔15〕例4.12有如下两个模糊关系R1和R2：2024/1/1197模糊集合及模糊逻辑〔16〕

5模糊逻辑对于自然语言描述的模糊命题，可以用模糊集合和语言变量来量化其含义，模糊命题就是对语言变量指定一定的语言值。表4-6常用的语言变量及典型值语言变量典型值高度矮小、短、一般、高、巨大数量几乎无、几个、少数、许多生命历程婴儿、小孩、青少年、成人亮度微暗的、弱的、正常的、明亮的、强烈的2024/1/11984.6.2简单模糊推理〔1〕模糊推理是基于不确切性知识(模糊规那么)的一种推理。模糊推理也有三种根本模式，即模糊假言推理、拒取式推理和模糊三段论推理，以下仅以模糊假言推理为例说明模糊推理的过程。1.模糊知识的表示形式模糊规那么：IFxisATHENyisBx和y是语言变量，表示对象；A和B是模糊语言值，可以分别用论域U和V上的模糊集来表示。所用的证据：