新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8．3简单几何体的表面积与体积8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向

1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．2．能用公式解决简单的实际问题．

在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.必备知识•探新知

简单几何体的表面积和体积

知识点

1(1)表面积是几何体表面的面积，它表示几何表面的大小．(2)体积是几何体所占空间的大小．棱柱、棱锥、棱台的表面积

知识点

2(1)棱柱的侧面展开图由若干个平行四边形拼成．棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成．棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱的表面积：S棱柱＝S侧＋2S底．棱锥的表面积：S棱锥＝S侧＋S底．棱台的表面积：S棱台＝S侧＋S上底＋S下底．练一练：正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为_____，表面积为__________.6棱柱、棱锥、棱台的体积

知识点

3(1)高①棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．②棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．③棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．(2)体积底面积高底面积高上、下底面面积高[拓展]

对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积．根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．练一练：1．若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为(

)A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm3[解析]

V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．B2．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为(

)A．2 B．4C．6 D．12B关键能力•攻重难

现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．[分析]

利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长．题|型|探|究题型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积典例1[解析]

如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，[归纳提升]

棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．对点练习❶D题型二棱柱、棱锥、棱台的体积(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为(

)典例2D[分析]

利用体积公式计算求解．(2)如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P－ABC的体积V＝_____.对点练习❷D4题型三求体积的等积法与分割法(1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积；典例3(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[分析]

(1)适合用等积法；(2)适合用分割法．[归纳提升]

求几何体体积的常用方法公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2>V1.(1)求V1，V2以及V1∶V2；(2)求A到平面A1BD的距离d.对点练习❸易|错|警|示忽略对侧面展开图的分类讨论而致错

已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm，高为6cm的矩形，求此正三棱柱的体积．[错解]

由题知正三棱柱的底面周长为9cm，高为6cm，则底面等边三角形的边长为3cm.典例4[错因分析]

若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长．该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整．[误区警示]

解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解．

如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是______.对点练习❹课堂检测•固双基D[解析]

易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2