新教材适用2023-2024学年高中数学第7章复数章末知识梳理课件新人教A版必修第二册

第七章复数章末知识梳理知识体系构建核心知识归纳要点专项突破知识体系构建核心知识归纳1．复数的有关概念(1)虚数单位i.(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．复数集5．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义6．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况．(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i.要点专项突破复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.要点一有关复数的概念

当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．[分析]

根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．典例1[解析]

(1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.所以a<0或a>2.所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2.(2)设z是复数，则下列命题中的假命题是(

)A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0对点练习❶DC复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．要点二复数相等

已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.[解析]

设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，典例2(1)求z1；(2)若复数z2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＋az＋b＝1－i，求|z1－z2|.对点练习❷因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1＝－1＋i.(2)因为z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i,所以z1－z2＝2－3i，要点三复数的模及其几何意义典例3

已知复数z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R.(1)求实数a的值；(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围．[解析]

(1)因为z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i.又因为z1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又因为a>0，所以a＝3.对点练习❸(2)由(1)知z2＝i，设z＝x＋yi，得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2，∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈[－1,3]．∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈[1,9]，故|z|∈[1,3].复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．要点四复数与其他知识的综合应用

四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z.(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．[解析]

(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)，则点D对应的复数z＝3＋2i.典例4(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，即p＝12，q