山东省淄博第十中学2024届数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析

山东省淄博第十中学2024届数学高一第二学期期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数列中，若，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列为常数数列，则；（2）若，数列都是单调递增数列；（3）若，任取中的项构成数列的子数（），则都是单调数列.A．个 B．个 C．个 D．个2．在中，，BC边上的高等于,则（）A． B． C． D．3．在等比数列中，，，，则等于()A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最大值为（）A．8 B．2 C．4 D．65．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（）A． B． C． D．6．已知向量，且，则的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．47．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B为（）A． B．或 C． D．或8．已知向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥，则=()A．2 B．-3 C．-1 D．-39．在锐角中ΔABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinA．π12B．π6C．π10．下列角位于第三象限的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______12．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____．13．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.14．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.15．若，则的值为_______.16．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，，求.18．已知数列的前项和，且，数列满足：对于任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式，若在数列的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：和两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求；（3）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值．19．如图，在三棱柱中，为正三角形，为的中点，，，．（1）证明：平；（2）证明：平面平面．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若，求的长；（2）设,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．21．在等差数列中，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

对（1），由数列为常数数列，则，解方程可得的值；对（2），由函数，，求得导数和极值，可判断单调性；对（3），由，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．【题目详解】数列中，若，，，（1）若数列为常数数列，则，解得或，故（1）不正确；（2）若，，，由函数，，，由，可得极值点唯一且为，极值为，由，可得，则，即有.由于，，由正弦函数的单调性，可得，则数列都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若，任取中的9项，，，，，构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列；由，可得，为奇函数；当时，，时，；当时，；时，，运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；或时，数列单调递减．所以数列都是单调数列，故（3）正确；故选：C.【题目点拨】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．2、C【解题分析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.3、C【解题分析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.【题目详解】故选：C【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.4、D【解题分析】

设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.【题目详解】设，，均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，点在圆上，设到直线的距离分别为，，，.【题目点拨】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.5、A【解题分析】

设等差数列的公差为，根据得出与的等量关系，即可计算出的值.【题目详解】设等差数列的公差为，由于、、成等比数列，则有，所以，，化简得，因此，.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列前项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系，考查计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

先求出，再利用向量垂直的坐标表示得到关于的方程，从而求出.【题目详解】因为，所以，因为，则，解得所以答案选B.【题目点拨】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.7、C【解题分析】

根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.【题目详解】根据正弦定理：，即，根据知，故.故选：.【题目点拨】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.8、B【解题分析】

通过向量平行得到的值，再利用和差公式计算【题目详解】向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥故答案选B【题目点拨】本题考查了向量的平行，三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.9、D【解题分析】试题分析：∵2a考点：正弦定理解三角形10、D【解题分析】

根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.【题目详解】第三象限的角度范围是.对A：，是第二象限的角，故不满足题意；对B：是第二象限的角度，故不满足题意；对C：是第二象限的角度，故不满足题意；对D：，是第三象限的角度，满足题意.故选：D.【题目点拨】本题考查角度范围的判断，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1.1【解题分析】

先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【题目详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案为1.1．【题目点拨】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．12、【解题分析】

将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值。【题目详解】将看作是关于的直线方程，表示点与点之间距离的平方，点到直线的距离为，又因为，令，在上单调递增，所以，所以的最小值为．【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。13、【解题分析】

取，代入计算得到答案.【题目详解】，当时故答案为【题目点拨】本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.14、【解题分析】

利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。【题目详解】当时，符合，当时，符合，【题目点拨】一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。15、【解题分析】

把已知等式展开利用二倍角余弦公式及两角和的余弦公式，整理后两边平方求解．【题目详解】解：由，得，，则，两边平方得：，即．故答案为．【题目点拨】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．16、【解题分析】

根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【题目详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值【题目点拨】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．【题目详解】对于集合A，，对于集合B，当x<1时，故B＝；故A∩B＝故答案为【题目点拨】本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．18、（1）；，；（3）.【解题分析】

（1）令求出，然后令，由得出，两式相减可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2）令可计算出，再令，由可得出，两式相减求出，求出，再检验是否满足的表达式，由此可得出数列的通项公式，求出，由，以及可得出的值；（3）化简可得，分类讨论，当、时，不等式成立，当时，，利用判断数列的单调性，得出该数列的最大项，可知满足不等式，且和不满足该不等式，由此可得出实数的取值范围，进而求出正整数的值.【题目详解】（1）对任意的，.当时，，解得；当时，由得出，两式相减得，化简得，即，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；（2）对于任意，有.当时，，；当时，由，可得，上述两式相减得，.适合上式，因此，.由于和两项之间插入个数，使得这个数成等差数列，这个数列的公差为.，且，所以，；（3）由，得.当、，该不等式显然成立；当时，，由，得，设，，当时，，即当时，，即，则.所以，数列的最大项为，又，.由题意可中，满足不等式，和不满足不等式.，则，因此正整数的值为.【题目点拨】本题考查利用求数列的通项公式、等差数列定义的应用，同时也考查了数列不等式的求解，涉及数列单调性的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）连结交于，连结，先证明，再证明平；（2）取的中点为，连结，，，先证明平面，再证明平面平面．【题目详解】证明：（1）连结交于，连结，由于棱柱的侧面是平行四边形，故为的中点，又为的中点，故是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中点为，连结，，，在中，，由，知为正三角形，故，又，，故，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．【题目点拨】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.20、（1）1或3（2）【解题分析】

试题分析：（1）在中,因为，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用表示出，再利用三角函数求最值得试题解析：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角