2024届河北省抚宁一中高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届河北省抚宁一中高一数学第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．2．设全集，集合，则（）A． B． C． D．3．若关于x的方程sinx+cosx-2A．(2,94] B．[2,54．在中，已知a，b，c分别为，，所对的边，且a，b，c成等差数列，，,则（）A． B． C． D．5．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（）A． B． C． D．6．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C7．已知向量，，，则（）A． B． C． D．8．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（）A． B． C． D．9．若，则下列正确的是（）A． B．C． D．10．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（）A．异面直线和所成的角为定值 B．直线和平面平行C．三棱锥的体积为定值 D．直线和平面所成的角为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图是一个算法流程图.若输出的值为4，则输入的值为______________.12．如图，在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，若，，为△外一点，，，则平面四边形面积的最大值为________13．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．14．设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__．15．数列中，若，，则______；16．若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设为数列的前项和，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求证：．18．某超市为了解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量（单位：g）进行了问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数；（Ⅲ）求这1000名消费者的人均粽子购买量（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．19．已知公差的等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：是数列中的项；（3）若正整数满足如下条件：存在正整数，使得数列，，为递增的等比数列，求的值所构成的集合.20．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分分)如图所示，已知图中的平均数与中位数相同.现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平均分且低于分)和“很满意”(分数不低于分)三个级别.(1)求茎叶图中数据的平均数和的值;(2)从“满意”和“很满意”的人中随机抽取人，求至少有人是“很满意”的概率.21．在△中，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△的面积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D2、B【解题分析】

先求出，由此能求出．【题目详解】∵全集，集合，∴，∴．故选B．【题目点拨】本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．3、D【解题分析】

换元设t=sinx+cos【题目详解】sinx+cosx-2sint=sinx+cosa=t-如图：数a的取值范围为[2,故答案选D【题目点拨】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.4、B【解题分析】

利用成等差数列可得,再利用余弦定理构造的结构再代入求得即可.【题目详解】由成等差数列可得,由余弦定理有,即,解得,即.故选：B【题目点拨】本题主要考查了等差中项与余弦定理的运算,需要根据题意构造与的结构代入求解.属于中档题.5、D【解题分析】

作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【题目详解】根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而，故面积最大值为4，答案为D.【题目点拨】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.6、B【解题分析】

由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【题目详解】由题BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选：B．【题目点拨】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题7、D【解题分析】

利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.【题目详解】，，，，解得，故选D.【题目点拨】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.8、B【解题分析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【题目详解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面积为.故选：B.【题目点拨】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9、D【解题分析】

由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．【题目详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【题目点拨】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．10、D【解题分析】

结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析，即可得解.【题目详解】，在棱长为的正方体中，点在线段上运动易得平面，平面，，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确，直线和平面平行，所以直线和平面平行，故正确，三棱锥的体积还等于三棱锥的体积，而平面为固定平面且大小一定，，而平面点到平面的距离即为点到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，故正确，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误故选【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-1【解题分析】

对的范围分类，利用流程图列方程即可得解．【题目详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意．当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意．故输入的值为：【题目点拨】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题．12、【解题分析】

根据题意和正弦定理，化简得，进而得到，在中，由余弦定理，求得，进而得到，，得出四边形的面积为，再结合三角函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，在中，因为，所以，可得,即，所以，所以，又因为，可得，所以，即,因为，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，又因为，所以四边形的面积为，当时，四边形的面积有最大值，最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.13、【解题分析】

先找出线面角，运用余弦定理进行求解【题目详解】连接交于点，取中点，连接，则，连接为异面直线与所成角在中，，,同理可得,,异面直线与所成角的余弦值是故答案为【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．14、【解题分析】由已知,是与的等比中项，则则，当且仅当时等号成立故答案为2【题目点拨】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．15、【解题分析】

先分组求和得，再根据极限定义得结果.【题目详解】因为，，……，，所以则.【题目点拨】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.16、【解题分析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以，解得，则该组样本数据的方差为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】

（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和的前项和，从而可证明出所证不等式成立.【题目详解】（1）当时，，解得；当时，由得，上述两式相减得，整理得.则，且.所以，数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可知，则．因为，所以.又因为，所以．综上，．【题目点拨】本题考查利用前项和求数列通项，考查等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或通项公式的结构选择合适的方法进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解题分析】

（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子购买量在的频率，由此能求出这1000名消费者的粽子购买量在的人数；（Ⅲ）由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购买粽子购买量【题目详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.1．（Ⅱ）∵粽子购买量在600g～1400g的频率为：（0.00055+0.1）×400＝0.62，∴这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数为：0.62×1000＝2．（Ⅲ）由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购买量为：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【题目点拨】本题主要考查了频率、频数、以及频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19、(1)；(2)证明见解析；(3)见解析【解题分析】

(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.

(2)先求出,再证明满足的通项公式.

(3)由数列,,为递增的等比数列可得,从而根据的通项公式求的值所构成的集合.【题目详解】(1)因为为等差数列,故,故或,又公差,所以,故,故.

(2)由可得,故,若是数列中的项,则即,即,故是数列中的项；(3)由数列，，为递增的等比数列,则即.由题意存在正整数使得等式成立,因为,故能被5整除,设,则,又为整数,故为整数设,即，故,解得,又,故,不妨设,则.即又当时,由得满足条件.综上所述,.【题目点拨】(1)本题考查等差数列性质：若是等差数列，且，则(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.20、（1）平均数为；（2）【解题分析】

(1)由题意，根据图中个数据的中位数为，由平均数与中位数相同，得平均数为，所以，解得；(2)依题意，人中，“基本满意”有人，“满意”有人，“很满意”有人.“满意”和“很满意”的人共有人.分别记“满意”的人为，，，，“很满意”的人为，，，.从中随机抽取人的一切可能结果所组成的基本事件共个：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.用事件表示“人中至少有人是很满意”这一件事，则事件由个基本事件组成：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有22个.故事件的概率为【