2024届聊城市重点中学高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届聊城市重点中学高一数学第二学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A． B． C． D．2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中，）A．14 B．16 C．18 D．203．在中，内角的对边分别为，且，，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．4．设偶函数定义在上，其导数为，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．5．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A． B．C． D．6．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品7．函数的单调增区间是()A． B．C． D．8．若函数的最小正周期为2，则（）A．1 B．2 C． D．9．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”10．设，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．和的等差中项为__________．12．已知向量（1，2），（x，4），且∥，则_____．13．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为________.14．若6是-2和k的等比中项，则______.15．已知一圆台的底面圆的半径分别为2和5，母线长为5，则圆台的高为_______.16．函数，的反函数为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求.18．的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，点在边上，，，求的面积．19．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．20．已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．21．已知等差数列满足，前项和.（1）求的通项公式（2）设等比数列满足，，求的通项公式及的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.【题目详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，所以三人中至少有一人被录取的概率为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.2、B【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.【题目详解】如图所示，扇形的半径为，所以扇形的面积为，又三角形的面积为，所以弧田的面积为，又圆心到弦的距离等于，所示矢长为，按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢，所以两者的差为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.3、B【解题分析】

利用正弦定理化简，由此求得的值.利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式化简，由此求得的值，进而求得的值.【题目详解】利用正弦定理化简得，所以为锐角，且.由于，所以由得，化简得.若，则，故.若，则，由余弦定理得，解得.综上所述，，故选B.【题目点拨】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.4、C【解题分析】构造函数，则，所以当时，，单调递减，又在定义域内为偶函数，所以在区间单调递增，单调递减，又等价于，所以解集为．故选C．点睛：本题考查导数的构造法应用．本题中，由条件构造函数，结合函数性质，可得抽象函数在区间单调递增，单调递减，结合函数草图，即可解得不等式解集．5、D【解题分析】

由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.【题目详解】直线恒过点则，本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.6、B【解题分析】

根据对立事件的概念，选出正确选项.【题目详解】从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.故选：B【题目点拨】本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.7、D【解题分析】

化简函数可得y＝2sin（2x），把“2x”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x的范围，即是所求函数的增区间．【题目详解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函数的单调增区间是[kπ，kπ]（k∈z），故选D．【题目点拨】本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．8、C【解题分析】

根据可求得结果.【题目详解】由题意知：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.9、D【解题分析】

写出所有等可能事件，求出事件“至少有一个黑球”的概率为，事件“都是红球”的概率为，两事件的概率和为，从而得到两事件对立.【题目详解】记两个黑球为，两个红球为，则任取两球的所有等可能结果为：，记事件A为“至少有一个黑球”，事件为：“都是红球”，则，因为，所以事件与事件互为对立事件.【题目点拨】本题考查古典概型和对立事件的判断，利用两事件的概率和为1是判断对立事件的常用方法.10、C【解题分析】

首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【题目详解】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分条件故选：C【题目点拨】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设和的等差中项为，利用等差中项公式可得出的值.【题目详解】设和的等差中项为，由等差中项公式可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.12、．【解题分析】

根据求得，从而可得，再求得的坐标，利用向量模的公式，即可求解.【题目详解】由题意，向量，则，解得，所以，则，所以.【题目点拨】本题主要考查了向量平行关系的应用，以及向量的减法和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的平行关系，以及向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13、1.【解题分析】

取AC的中点E，连结DE，BE，可知DE⊥AC，由平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，DE⊥BE，而，再结合ABCD是正方形可求出.【题目详解】取AC的中点E，连结DE，BE，显然DE⊥AC，因为平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥BE，而，所以，.【题目点拨】本题考查了空间中两点间的距离，把空间角转化为平面角是解决本题的关键.14、-18【解题分析】

根据等比中项的性质，列出等式可求得结果.【题目详解】由等比中项的性质可得，，得.故答案为：-18【题目点拨】本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.15、4【解题分析】

根据圆台轴截面等腰梯形计算．【题目详解】，设圆高为，由圆台轴截面是等腰梯形得：，即，，故答案为：4.【题目点拨】本题考查求圆台的高，解题关键是掌握圆台的性质，圆台轴截面是等腰梯形．16、【解题分析】

将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.【题目详解】因为，所以，则反函数为：且.【题目点拨】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；（2）．【解题分析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.试题解析：(1)设公差为，因为，，成等数列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：，结合范围，可得，进而可求A的值．（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面积公式即可计算得解．【题目详解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，∵，∴，∴，可得：．（2）∵，点D在边上，，∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，可得：，∴，∴，∴．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．19、（1）见解析；（2）.【解题分析】

(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【题目详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【题目点拨】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐