广东省百校2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

广东省百校2024届数学高一第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）A．， B．，C．， D．，2．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（）A．棱台 B．圆台 C．圆柱 D．圆锥3．设，函数在区间上是增函数，则（）A． B．C． D．4．已知向量，若，则（）A． B． C． D．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．A1D1 C．A1D D．BD6．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，那么在此数列中()A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大7．中，则A． B． C． D．8．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．9．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A． B． C． D．10．若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．12．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围为______.13．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.14．若则的最小值是__________．15．已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值________．16．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角所对的边分别为．且．（1）求的值；（2）若，求的面积．18．已知数列为等差数列，是数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．19．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；（2）求面积的最大值.20．如图，正方体．（1）求证：平面；（2）求异面直线AC与所成角的大小．21．在平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，当长最小时，求直线的方程；（3）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点，若直线分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现，，选项中的两个向量均共线，得到正确结果是．【题目详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求中两个向量是，，则故与不共线，故正确；中两个向量是，两个向量共线，项中的两个向量是，两个向量共线，故选：．【题目点拨】本题考查平面中两向量的关系，属于基础题.2、B【解题分析】

直接由三视图还原原几何体得答案．【题目详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆台．故选：．【题目点拨】本题考查三视图，关键是由三视图还原原几何体，属于基础题．3、C【解题分析】

首先比较自变量与的大小，然后利用单调性比较函数值与的大小.【题目详解】因为，函数在区间上是增函数，所以.故选C.【题目点拨】已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小.4、A【解题分析】

先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．【题目详解】向量，，

解得，

∴，

故选A．【题目点拨】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．5、D【解题分析】

在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直【题目详解】，平面，平面，则平面又因为平面则故选D【题目点拨】本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果6、A【解题分析】，所以，令，解得n≤7，即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….所以a7＝a8最大．本题选择A选项.7、B【解题分析】试题分析：由余弦定理，故选择B考点：余弦定理8、D【解题分析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.9、D【解题分析】

如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.10、B【解题分析】

根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案.【题目详解】因为点在角的终边上，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【题目详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.12、0＜a≤或a．【解题分析】

运用偶函数的性质，作出函数f（x）的图象，由5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围．【题目详解】函数是定义域为的偶函数，作出函数f（x）的图象如图：关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），当0≤x≤2时，f（x）∈[0，]，x＞2时，f（x）∈（，）．由，则f（x）有4个实根，由题意，只要f（x）＝a有2个实根，则由图象可得当0＜a≤时，f（x）＝a有2个实根，当a时，f（x）＝a有2个实根．综上可得：0＜a≤或a．故答案为0＜a≤或a．．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．13、【解题分析】若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）,当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是．故答案为14、【解题分析】

根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【题目详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【题目点拨】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.15、【解题分析】

如图建立平面直角坐标系，∴，当sin时，得到最小值为，故选．16、或【解题分析】

根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.【题目详解】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或.【题目点拨】本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．【题目详解】（1）因为，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．18、（1）（2）【解题分析】

（1）由等差数列可得,求得,即可求得通项公式；（2）由（1）,则利用裂项相消法求数列的和即可【题目详解】解:（1）因为数列是等差数列,且,,则,解得,所以（2）由（1）,,所以【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.【题目详解】（1）由题意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,设,由余弦定理得：,∵为正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴为锐角,,,,∵∴当时,.【题目点拨】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）证明，，即得证；（2）求出即得异面直线AC与所成角的大小．【题目详解】（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形．所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面,所以平面．（2）因为，所以直线AC与所成的角或补角即为AC与的角，又三角形为等边三角形，所以，即直线AC与所成的角为．【题目点拨】本题主要考查线面位置关系的证明，考查异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、（1）；（1）；（3）定值为.【解题分析】试题分析：（1）求出点到直线的距离，进而可求圆的半径，即可得到圆