陕西省汉中市重点中学2024届高一数学第二学期期末调研试题含解析

陕西省汉中市重点中学2024届高一数学第二学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在区间上随机选取一个数，则的概率为（）A． B． C． D．2．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是()A． B． C． D．3．函数在的图像大致为A． B．C． D．4．设向量，，则是的A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．已知直线与互相垂直，垂足坐标为，且，则的最小值为（）A．1 B．4 C．8 D．96．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知a，b为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．8．下列说法中正确的是(

)A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等9．若、、为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．12．已知向量，则________13．若向量与的夹角为，与的夹角为，则______.14．等比数列中前n项和为，且，，，则项数n为____________．15．若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．16．数列中，其前n项和,则的通项公式为______________..三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．18．已知为等边角形，.点满足，，.设.试用向量和表示;若,求的值.19．已知等差数列满足，且.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和的最大值.20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值；（2）求的值．21．设a为实数，函数，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）写出函数在R上的零点个数（不必写出过程）．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据几何概型概率公式直接求解可得结果.【题目详解】由几何概型概率公式可知，所求概率本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.2、D【解题分析】

特值,利用排除法求解即可.【题目详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【题目点拨】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值。3、C【解题分析】

由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象．【题目详解】易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD，时，，可排除A．故选C．【题目点拨】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等．4、C【解题分析】

利用向量共线的性质求得，由充分条件与必要条件的定义可得结论.【题目详解】因为向量，，所以，即可以得到，不能推出，是“”的必要不充分条件，故选C.【题目点拨】本题主要考查向量共线的性质、充分条件与必要条件的定义，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5、B【解题分析】

代入垂足坐标，可得，然后根据基本不等式，可得结果.【题目详解】由两条直线的交点坐标为所以代入可得，即又，所以即当且仅当，即时，取等号故选：B【题目点拨】本题主要考查基本不等式，属基础题.6、B【解题分析】

利用椭圆的性质列出不等式求解即可．【题目详解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得1＜m．则m的取值范围为：（1，）．故选B．【题目点拨】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．7、C【解题分析】

，时，、、不成立；利用作差比较，即可求出．【题目详解】解：，时，，，故、、不成立；，，．故选：．【题目点拨】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．8、B【解题分析】试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.考点：本小题主要考查空间几何体的性质.点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.9、B【解题分析】

利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【题目详解】对于A选项，若，则，故A不成立；对于B选项，，在不等式同时乘以，得，另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.故选B.【题目点拨】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.10、C【解题分析】

设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【题目详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C【题目点拨】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.详解：∵，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.12、2【解题分析】

由向量的模长公式，计算得到答案.【题目详解】因为向量，所以，所以答案为.【题目点拨】本题考查向量的模长公式，属于简单题.13、【解题分析】

根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【题目详解】如图所示，，，所以在中有：，则，故.【题目点拨】本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题.14、6【解题分析】

利用等比数列求和公式求得，再利用通项公式求解n即可【题目详解】，代入，，得，又，得．故答案为：6【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的基本量计算，熟记公式准确计算是关键，是基础题15、【解题分析】

首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可【题目详解】根据，即，故，或，∵在区间（且）上至少含有30个零点，∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），∴的最小值为，故答案为：【题目点拨】本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。16、【解题分析】

利用递推关系，当时，，当时，，即可求出.【题目详解】由题知：当时，.当时，.检验当时，，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查根据数列的前项和求数列的通项公式，体现了分类讨论的思想，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析.【解题分析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．试题解析：（1）设的公比为.由题设可得，解得，.故的通项公式为.（2）由（1）可得.由于，故，，成等差数列.点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18、(1)；；(2).【解题分析】

（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.【题目详解】（1）（2）为等边三角形且，即：，解得：【题目点拨】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.19、（1）（2）144【解题分析】

（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。【题目详解】（1）设公差为，则则则（2）由等差数列求和公式得则所以当时，有最大值144【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题20、（1）（2）【解题分析】

试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.由条件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝21、（1）（2）不存在这样的实数,理由见解析（3）见解析【解题分析】

（1）代入的值,通过讨论的范围,求出不等式的解集即可；（2）通过讨论的范围,求出函数的单调区间,再求出函数的最值,得到关于的不等式组,解出并判断即可；（3）通过讨论的范围,判断函数的零点个数即可【题目详解】（1）当时,,则当时,,解得或,故；当时,,解集为,综上,的解集为（2）,显然,,①当时,则在上单调递增,在上