四川省广元市2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析

四川省广元市2024届高一数学第二学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点（与A、B均不重合），则图中直角三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知等差数列的前n项和为，则A．140 B．70 C．154 D．773．在中，已知，.若最长边为，则最短边长为（）A． B． C． D．4．已知数列的前项和，则的值为（）A．-199 B．199 C．-101 D．1015．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．6．圆心为且过原点的圆的一般方程是A． B．C． D．7．将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（）A． B． C． D．8．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1510．若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是第二象限角，且，且______.12．已知向量，，则与的夹角等于_______.13．已知，则__________.14．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.15．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.16．已知数列满足，，，则数列的通项公式为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，与的夹角是（1）计算：①，②；（2）当为何值时，与垂直？18．已知函数.（1）若，求函数有零点的概率；（2）若，求成立的概率.19．如图，在三棱柱中（底面为正三角形），平面，，，，是边的中点.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.20．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=4，点E为线段PA的中点.（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求三棱锥E-BCD的体积.21．已知，与的夹角为.（1）若，求；（2）若与垂直，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．【题目详解】AB是圆O的直径，则AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，则有BC⊥PC，则△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，则△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，则△ACB是直角三角形.综上可知：此三棱锥P−ABC的四个面都是直角三角形.故选D.【题目点拨】本题考查直线与平面垂直的性质，考查垂直关系的推理与证明，属于基础题.2、D【解题分析】

利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【题目详解】等差数列的前n项和为，.故选D.【题目点拨】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.3、A【解题分析】试题分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.考点：正弦定理.4、D【解题分析】

由特点可采用并项求和的方式求得.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查并项求和法求解数列的前项和，属于基础题.5、A【解题分析】

先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【题目详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【题目点拨】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、D【解题分析】

根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【题目详解】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是，故选．【题目点拨】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。7、D【解题分析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择D选项.8、A【解题分析】

连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【题目详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.故选A.【题目点拨】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.9、B【解题分析】

已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【题目详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为故选：B【题目点拨】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、C【解题分析】

根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．【题目详解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:==与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C【题目点拨】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式可求出的值.【题目详解】是第二象限角，则，由诱导公式可得.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.12、【解题分析】

由已知向量的坐标求得两向量的模及数量积，代入数量积求夹角公式得答案．【题目详解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，则cos，∴与的夹角等于．故答案为：．【题目点拨】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是基础题．13、【解题分析】

对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【题目详解】因为，所以，即，所以.【题目点拨】本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.14、【解题分析】

先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。【题目详解】取CD中点为E，并连接AE、BE在中，由等腰三角形的性质可得,同理则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,在中，【题目点拨】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.15、7【解题分析】

利用的通项公式，依次求出，从而得到，即可得到答案。【题目详解】由于表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且所以，，故，所以解下4个环所需的最少移动次数为7故答案为7.【题目点拨】本题考查数列的递推公式，属于基础题。16、.【解题分析】

由题意得出，可得出数列为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式.【题目详解】设，整理得，对比可得，，即，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，，故答案为.【题目点拨】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）①；②；（2）.【解题分析】

利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.【题目详解】由已知得：（1）①②（2）若与垂直，则即：，解得：【题目点拨】本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）求得有零点的条件，运用古典概率的公式，计算可得所求；（2）若，即，画出不等式组表示的区域，计算面积可得所求．【题目详解】解：（1）函数有零点的条件为，即，，可得事件的总数为，而有零点的个数为，，，，，，共7个，则函数有零点的概率为；（2）若，即，画出的区域，可得成立的概率为．【题目点拨】本题考查古典概率和几何概率的求法，考查运算能力，属于基础题．19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）由，为的中点，可得，又平面，可得，即可证明平面，结合平面，即可证明平面平面；（2）设点到平面的距离为，由等体积法，，即，求解即可.【题目详解】（1）证明：，为的中点，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，平面，平面，.，，，.设点到平面的距离为，由，得，即，，即点到平面的距离为.【题目点拨】本题考查了面面垂直的证明，考查了利用等体积法求点到面的距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.20、（1）见解析（2）16【解题分析】

（1）证明EO∥PC得到PC∥平面BDE.（2）先证明EF就是三棱锥E-BCD的高，再利用体积公式得到三棱锥E-BCD的体积.【题目详解】（1）证明：连结AC交BD于O，连结EO.∵四边形ABCD是正方形，在ΔPAC中，O为AC中点，又∵E为PA中点∴EO∥PC.又∵PC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE.∴PC∥平面BDE.（2）解：取AD中点F，连结EF.则EF∥PD且EF=1∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF就是三棱锥E-BCD的高.在正方形ABCD中，SΔBCD∴