广西桂林、贺州、崇左三市2024届数学高一下期末达标测试试题含解析

广西桂林、贺州、崇左三市2024届数学高一下期末达标测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列中，为其前n项和，若，则（）A．60 B．75 C．90 D．1052．在中，角的对边分别为，若，则A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数无法确定3．在正方体中为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．4．若存在正实数，使得，则（）A．实数的最大值为 B．实数的最小值为C．实数的最大值为 D．实数的最小值为5．已知不等式的解集是，则()A． B．1 C． D．36．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度（）．A． B． C． D．7．已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．8．若，则的大小关系为A． B． C． D．9．如图，某人在点处测得某塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A．20米 B．15米 C．12米 D．10米10．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，，若向量与垂直，则__________．12．若数列满足，，则的最小值为__________________．13．在中，给出如下命题:①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心；②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；③是内一定点，且，则；④若且，则为等边三角形，其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）14．如图所示，分别以为圆心，在内作半径为2的三个扇形，在内任取一点，如果点落在这三个扇形内的概率为，那么图中阴影部分的面积是____________.15．在中，是斜边的中点，，，平面，且，则_____．16．半径为的圆上，弧长为的弧所对圆心角的弧度数为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设，，求．18．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，，试计算．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；20．在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.（1）求的值；（2）若，试求周长的最大值.21．已知数列{}的首项.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若，求最大正整数.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果.【题目详解】，即，而，故选B.【题目点拨】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.2、C【解题分析】

求得，根据，即可判定有两解，得到答案.【题目详解】由题意，因为，又由，且，所以有两解.【题目点拨】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

取BC中点为M，连接OM，EM找出异面直线夹角为，在三角形中利用边角关系得到答案.【题目详解】取BC中点为M，连接OM，EM在正方体中为底面的中心，为的中点易知：异面直线与所成角为设正方体边长为2，在中：故答案选B【题目点拨】本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.4、C【解题分析】

将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.【题目详解】由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.【题目点拨】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5、A【解题分析】

的两个解为-1和2.【题目详解】【题目点拨】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。6、B【解题分析】

根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角。【题目详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小．∴最小正角为.故选B.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。7、D【解题分析】

设，对比得到答案.【题目详解】设，则故答案为D【题目点拨】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.8、A【解题分析】

利用作差比较法判断得解.【题目详解】①，∵，∴，故.②∵，∴，所以a＞ab.综上，故选A.【题目点拨】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、B【解题分析】

设塔底为，塔高为，根据已知条件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.【题目详解】设塔底为，塔高为，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.故选B.【题目点拨】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.10、A【解题分析】

利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．【题目详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为．故选：A．【题目点拨】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】，所以，解得．12、【解题分析】

由题又,故考虑用累加法求通项公式,再分析的最小值.【题目详解】,故,当且仅当时成立.又为正整数,且,故考查当时.当时,当时,因为,故当时,取最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时的取值最近的两个正整数.13、①②④．【解题分析】

①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.【题目详解】①:，同理可得：,，所以本命题是真命题；②:，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；③:由，可得设的中点为，,,故本命题是假命题；④:由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.【题目点拨】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.14、【解题分析】

先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出的面积,进而求出阴影部分的面积.【题目详解】∵,∴三块扇形的面积为:,设的面积为,∵在内任取一点,点落在这三个扇形内的概率为,,∴图中阴影部分的面积为:,故答案为:.【题目点拨】本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.15、【解题分析】

由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．【题目详解】如图，EC⊥面ABC，而CD⊂面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，∴CD＝5，ED1．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定和性质定理，利用勾股定理求线段的长度，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．16、【解题分析】

根据弧长公式即可求解.【题目详解】由弧长公式可得故答案为：【题目点拨】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．【题目详解】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，又．可得，∴sinBcosBsinB，则．又∵B∈（0，π），可得．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，解得．【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解题分析】

（1）根据不等式可得，把代入即可解出（2）根据化简，利用为有理数即可解决（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．【题目详解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，当时，∴当时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，∴当时，∴当时，∴，∴．【题目点拨】本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．19、（1）；（2）,乙组加工水平高．【解题分析】

（1）根据甲、乙两组数据的平均数都是并结合平均数公式可求出、的值；（2）利用方差公式求出甲、乙两组数据的方差，根据方差大小来对甲、乙两组技工的加工水平高低作判断．【题目详解】（1）由于甲组数据的平均数为，即，解得，同理，，解得；（2）甲组的个数据分别为：、、、、，由方差公式得，乙组的个数据分别为：、、、、，由方差公式得，，因此，乙组技工的技工的加工水平高．【题目点拨】本题考查茎叶图与平均数、方差的计算，从茎叶图中读取数据时，要注意茎的部分数字为高位，叶子部分的数字为低位，另外，这些数据一般要按照由小到大或者由大到小的顺序排列．20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用三角公式化简得到答案.（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.【题目详解】（1）原式（2），时等号成立.周长的最大