2024届河南省信阳市高级中学数学高一下期末考试试题含解析

2024届河南省信阳市高级中学数学高一下期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．与a的值有关联2．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A． B． C． D．3．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．44．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定5．设，则下列不等式中正确的是()A． B．C． D．6．已知向量若为实数，则＝（）A．2 B．1 C． D．7．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．8．等差数列中，已知，则()A．1 B．2 C．3 D．49．在中，已知，.若最长边为，则最短边长为（）A． B． C． D．10．在中，角,,的对边分别为,,，若，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为等差数列，若，则_____．12．已知，则__________．13．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．14．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.15．函数的值域是__________.16．函数的最小正周期是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，已知，，且，求.18．如图，圆锥中，是圆的直径，是底面圆上一点，且，点为半径的中点，连.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当是边长为4的正三角形时，求点到平面的距离.19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面积.20．在锐角中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.21．求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为．考点：几何概型，圆的面积公式．2、D【解题分析】

设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【题目详解】设OA＝1，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，图Ⅲ部分的面积为π﹣1．设整个图形的面积为S，则p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故选D．【题目点拨】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．3、A【解题分析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A．4、C【解题分析】

通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.【题目详解】因为，所以，所以，即.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形.【题目点拨】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.5、B【解题分析】

取，则，，只有B符合．故选B．考点：基本不等式．6、D【解题分析】

求出向量的坐标，然后根据向量的平行得到所求值．【题目详解】∵，∴．又，∴，解得．故选D．【题目点拨】本题考查向量的运算和向量共线的坐标表示，属于基础题．7、C【解题分析】

直接根据所给信息，利用排除法解题。【题目详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C【题目点拨】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题。8、B【解题分析】

已知等差数列中一个独立条件，考虑利用等差中项求解.【题目详解】因为为等差数列，所以，由，,故选B.【题目点拨】本题考查等差数列的性质，等差数列中若，则,或用基本量、表示，整体代换计算可得,属于简单题.9、A【解题分析】试题分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.考点：正弦定理.10、A【解题分析】

由正弦定理求得sinA，利用同角三角函数的基本关系求得cosA，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得

的值．【题目详解】△ABC中，由正弦定理可得

，∴

，∴sinA=

，cosA=.

sinB=sin(120°+A)=

•+•=

，再由正弦定理可得

=

=

，

故答案为

A.【题目点拨】本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式的应用，求出sinB是解题的关键，属基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。12、【解题分析】13、【解题分析】

由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．14、【解题分析】若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）,当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是．故答案为15、【解题分析】

根据反余弦函数的性质，可得函数在单调递减函数，代入即可求解．【题目详解】由题意，函数的性质，可得函数在单调递减函数，又由，所以函数在的值域为．故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、【解题分析】

根据函数的周期公式计算即可.【题目详解】函数的最小正周期是.故答案为【题目点拨】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解题分析】

首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．【题目详解】由得，，所以或，由余弦定理有，，故或，即或．【题目点拨】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．18、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）由平面，证得，再由为等边三角形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（Ⅱ）利用等体积法，即可求得点到平面的距离.【题目详解】（Ⅰ）证明：在圆锥中，则平面，又因为平面，所以，因为，，所以，又，所以为等边三角形，因为为中点，所以，又，所以平面；（Ⅱ）依题意，，因为为直径，所以，又，所以，中，边上的高为，的面积为，又，，则面积为，所以，解得.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及利用等体积法求解点面距，其中解答中熟练线面位置关系的判定定理，以及合理运用等体积法的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，从而得到；（2）根据余弦定理，得到关于的方程，从而得到，再根据面积公式，得到答案.【题目详解】（1）在中，根据正弦定理，由，可得，所以，因为为内角，所以，所以因为为内角，所以，（2）在中，，，由余弦定理得解得，所以.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得到本题答案.【题目详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以，由为锐角三角形，则；（2）因为，所以，所以，即（当且仅当时取等号），所以.【题目点拨】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21、（x﹣4）2+（y+3）2=21，圆的半径为【解题分析】

设出圆的一般方程，把代入所设,得到关于的方程组，求解,即可求得圆的一般方程，化为标准方程，进一步求得圆心坐标与半径.【题目详解】设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则