二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如《心家〕的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代

数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以.是广为二次根式的前提条

a>0yja

件,如⑻际Ge等是二次根式，而口r等都不是二次根

式。

知识点二：取值围

1二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁。时，厂有意义,

是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即

可。

2二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，厂没

有意义。

知识点三：二次根式厂〔0〕的非负性

y]aa>0

厂〔〕表示a的算术平方根，也就是说，厂〔〕是一个非负数，

a>0yjaa>0

即厂01〕。

>a>0

注：因为二次根式厂〔〕表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正

0

数，0的算术平方根是0,所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即L

a>0-Ja>

0c]，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类

a>0

似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0;假设

+^Jb=0

,那么a=0,b=0;假设，那么a=0,b=0。

J&+同=。/+52=0

知识点四：二次根式〔〕的性质

4a,2

.word.zl.

（向2=a

文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

知识点五：二次根式的性质

知识点六：（出尸与汗的异同点

1、不同点：（g）2与岸表示的意义是不同的，（向2表示一个正数a的算术平方

根的平方，而岸表示一个实数a的平方的算术平方根；在（而2中心。，而用

中a可湿正.，°，许但⑹与值都是非负数，即函”0,在

因而它的运算的结果是有差异％而—，而*小仁喜

2、一样点：当被开方数都是非负数，即时，厂/F；时，厂2无

a>0（&）《aa<0（Ja）

意义，而ry.

=­a

知识点七：二次根式的运算

口〕因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就

可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么

先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以，仔根号外面

的正因式平方后移到根号里面.

〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次

根式.

〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，

所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

严广,b>OJ;Cb>0,a>0].

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〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的

分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

1例题精选】

二次根式有意义的条件:

例1：求以下各式有意义的所有x的取值围。

⑴/2x;(2)3yx

3

解：口〕要使V3F■有意义，必须32x0,由32x。得x_1

2

当X二时，式子OF在实数国有意义。

2

〔2〕要使/「T有意义，x1为任意实数均可,

当x取任意实数时必「均有意义。

〔3〕要使匹工有意义，必须X

网2|x|20

x1且x2,但x2不在x1的围。

当x1且x2时，式子忏?在实数围有意义。

lxl2

小练习：〔1〕当x是多少时，/TT在实数围有意义？

〔2〕当x是多少时，"7+在实数围有意义？②

X1

〔3〕当x是多少时，立三+X2在实数围有意义？

X

〔4〕当时，Jx2JI2x有意义。

2.使式子4(x»有意义的未知数x有〔〕个.

A.0B.1C.2D.无数

3.+5,求二的值。

y

4.假设0T有意义，那么J77=-------

+----

5.假设1有意义，那么m的取值国是。

m1

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最简二次根式

例2:把以下各根式化为最简二次根式:

(1)J96a3ba0,b0

分析：依据最简二次根式的概念进展化简，

口〕被开方数的因数是整数，因式是整式；

〔2〕被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

解：(1)J96a3bJl6a2.6ab4aJ6aba0,b0

25a2bb5ab

^/ba0,b0

121c4TTC2

同类根式:

例3：判断以下各组根式是否是同类根式:

⑴产;

分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数一样，那么这几个二次根式就叫

做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根

式。

解：⑴

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分母有理化：

例4:把以下各式的分母有理化：

（1）Lf；（2）_J；

2V2'2书应

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们

的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如卷与仁，

书6与书&均为有理化因式。

解：

（1）1II1O1.

2丫22M224

（2）V5第2书*2犷炳

2.典2一艰2旷KU）-

求值：例5：计算：

⑴廓明正'孝

分析：迅速、准确地进展二次根式的加减乘除运算是本章的重点容，必须掌握，要特别注意

运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。

解：口〕原式（3隹2*F&）,L

7373

3

.word.zl.

率@/FF/3

(2)原式6促旷共76

#3Jo-O◎

J15

&*7372V3V2

3730675

化简：

例6:化简：

⑴a47ab4b

/23

分析：应注意口〕式a0,b0,⑵a0,所以abVb2,a4b可看作

百24的2可利用乘法公式来进展化简，使运算变得简单。

62出五2加

解：(1)原式------厂—C广--------42加-

Ja2小

Va2VbJa2y/b2

1m2Vb

O2心a4b

例7：化简练习：

(1)7st?s0

(2冲2|J怖军

解：⑴st30

st?0,而s0

t30,即t0

原式Jso?—'tQFt0

.word.zl.

223

2aO

J6

原式V62

76

23

225

化简求值：

例8::a◎一,b?、企求:ab3a3b的值。

22

分析：如果把a,b的值直接代入计算a3,b3的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到

O艰与出艰■互为有理化因子可计算ab,a.b,然后将求值式子化为ab与a-b的

形式。

解：ab*邛&©a.b3"•事版J

''2-2--2-4

ab3a3bab(b2a2)

abab22ab

将ab与a-b的值代入,

'J322.1131155

4442428

小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运

算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

例9：在实数围因式分解：

2x2—4;【提不】先提取2,再用平方差公式.【答案】2〔x+JJ〕QX-^2]..却

-2x2—3.

醺示】先将小看成整体，利用*+px+q=Cx+aJIx+bJ其中a+b=p,ab=q分解.再

用平方差公式分解X2-3.【答案】CX2+1J〔X+Q〕〔x-0〕.

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例10、综合应用:

如下图的RsABC中，ZB=90。，点P从点B开场沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动;

同时，点Q也从点B开场沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后△PBQ的面积为

35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？〔结果用最简二次根式表示〕

【专项训练】：

一、选择题：在以下所给出的四个选择中，只有一个是正确的。

1、y/r~\2a1成立的条件是:

A.a1B.a1C.a1D.a1

把月化成最简二次根式，结果为：

2、

A.躯B,企C的D.#

那999

3、以下根式中，最简二次根式为：

C.AD.户

A.74xB.Jx244)2

4、t<l,化简1tJt22tl得:

A.22tB.2tC.2D,0

5、以下各式中，正确的选项是：

A."27B.JQ720.7

C.J7272D.J0.720.7

6,以下命题中假命题是：

A.设x0,则Jx2xB.设x0,则-1

Jx2

.word.zl.

2

C.设X0,则JjiTXD.设x0,则JxTX2

7、与2#是同类根式的是：

A.炳B.372C.VT8D./75

8、以下各式中正确的选项是：

A.尿FpB.27325/3

C.3a4^x3a4bD.

1、化简J一一

|a24a4

.]v——广求：5xyy2

92、.Xx-,y20X2

拓展训练

一、分式，平方根，绝对值；

1--（/成立的条件是

2-当a时，叵1;当a时，叵10

aa

3•假设辰a,那么a；假设庐巴那么a.

4•把x1J1根号外的因式移入根号，结果为o

5・把-35根号外的因式移到根号，结果为。

6.x<y,那么化简yx呼—y）2~为

b\厂、/3a+是同类二次根式，那么a=____,b=_____。

D假设Y4b与立

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1求母尸为实数的实数a的值为

二、根式，绝对值的和为0；

L假设一J2b3"=0,那么严釜

a3

2.31i。求b2a的算术平方根。

衽AABC中，a,b,c为三角形的三边，那么2cab=

y18x8x1I求代数式xy勺值。

7.d『-24*

&如果广H+g+2'那么2中

三、分式的有理化

③y,x；

~+~

四、X整数局部与小数局部

1.的整数局部是,小数局部是O

4.f1,x的整数局部为a,小数局部为b,求'b?的值。

23ab

五、根式，分式的倒数;

11

l.x+=4,求x-的值。

XX

.word.zl.

2.叵I1

3.假设X-2x+l=O,求+/的值;

六、转换完全平方公式;

b

l.a2b24a2b50求J的值

J-k2f

3&y是实数，祗*+丫2_6丫+9=0,假设axy-3x=y,求a的值;

1、

5、0<x<l,化简:[(x4—jf*)2A

J*

6、化简:

1,525,22;2,,743：

yli1T

七、技巧性运算

1.111

I22334

2、的结果是

3572n2n1

Wb那么a，

4、abbaC2abbeac的值是,

xy95：2,xy925那么xy的值是

J/百J，

6、xy5,xy,求X2xyy?的值

2

附：中考类型

1、在实数围，X有意义，那么X的取值围是〔〕；

A.x>0«B.x<0C.x>0

D.x<0

2、使二次根式x2有意义的x的取值围是C〕;

A.x24"^x2C.x<2D.x>2;

3一个自然数的算术平方根为a,那么和这个自然数相邻的下一个自然数是〔〕；

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A.a1B.a21C.Ja21D.F1

Tj2

4、在电路中,一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P由电功率计算公式P可得它两端

-R-

的电压U为〔〕；

A.UB.U

C.U产D.U

R

5、使代数式有意义的x的取值围是〔

x4

A、x3;B、x>3;C、x4;D、xN3且x4;

6函数y的自变量x的取值围是［]

A.x0B.x>2

C.x2D.x2

J2x+'J中自变量的取值围是

函数yx〔〕

X3

A.x<2;B.x3;C.x2且x3;D.x<2fix3；

二、二次根式的运算问题

7、〔09市〕二次根式'（3）2的值是〔〕；

A.3B.3或3C.9D.3

8、市2021年）下面计算正确的选项是〔〕；

D.C

3C.

9、（09年市以下计算正确的选项是〔〕；

A.立立式B.立立

1C.**3**2**5D.2<〈

10、（09市计算石2的结果等于.

11、黔东南州2021年）

12、（09省计算：右£.

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13、(09年襄樊市计算：JW2g.

备用题、〔09市〕计算：产户.

三、二次根式与绝对值、0指数塞等的混合运算

14、(09黔东南州方程|4x8|产ym0,当y0时，m的取值围是［〕；

A、0m1;B、m>2;C、m2;D、m<2;

15、109市〕当x2时，代数式产的值是

16、109市〕计算:(1)2009

17、(09市计算：।31(71)0竽

四、二次根式与整式的化简求值问题：

1

18、〔09市〕先化简，再求值：(a3)(a3)a(a6),其中a5

2

19、〔09市〕：x1,y1求以下各式的值.

口〕X22xyy2;〔2〕X2y2-

20、〔09威海市〕

先化简，再求值：(ab)2(ab)(2ab)3a2,其中a23,b32.

不V

i2323

i、xly求：X23xyy珀勺值；

2V325

F77

15

2、：xjy,计算：口〕3x212xy3y2〔2〕7x232xy7y2

2名2

五、二次根式与分式的化简求值问题:

21'◎黔东南州】先化简，再求值：\221：:'其中*

22、(09求代数式的值：短2x*22x4，其中x22.

X24x2

3

23、〔09市〕先化简、再求值：㊀其中

尸a2),a33O

2a4a2

.word.zL

24、109黔东南州〕先化简，再求值：*X22x1X21,其中*/2;

"x~Zx_2"x~r7

六、二次根式的探究规律问题：

25、我们看几个等式：J2341=1x4+l=5;『3451=2x5+1=11;

J4561=3x6+1=19;仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一

规律吗？并用你发现的规律猜测下面的结果：

①45671=.

V

②20062007200820091=〔〕x()()；

4

③n(n1)(n2)(n3)1=.

202rl4,4分〕设2=19-1,a在两个相邻整数之间，那么这两个整数是〔

]

A.1和2B12和3C,3和4D.4和5

〔2021,5,4分〕如果(2a1)212a,那么〔〕

A.a<14.应C.a>1D.及1

2222

2021,14,5务〕a、b为两不准续的整数，£a28%,那么ab.

2021江，加试1,6分〕假设m2011,那么仁2m42011m3的值是.

20121

〔202112,4分〕当x2时，11=

—X2X

V---------

2021江，加试3,6分〕63m(n5%3m6(m3)理，那么mn.

2021凉山州，25,5分〕1a、b引有理数，m、n分另减最7的整数局部和小数局部，且

amnbn21,那么2ab

2021黄冈，3,3分〕要使式子㊀2有意义，那么a的取值围为

L

以下运算正确的选项是〔iw

.word.zl.

1

A.yJ-TT3B.(7i3.14()1C.2D.73

2

假设/IJ—*gx+y）2,那么x-y的值为（)(09)

(A)-l.(B)l.(C)2.(D)3.

化简