弹性波动力学

弹性波动力学

主要内容：

O绪论

第一章：应力与应变

第二章：波动方程

第三章：波动方程的解

第四章：克希霍夫积分解

第五章：波动理论的实际应用

1、波动方程模型正演

2、波动方程偏移

第六章：复杂介质中地震波传播概述

绪论

1、地球物理学的基本思想，学术地位，应用领域，

起源：第一次世界大战

发展：20年代：折射波

30年代：反射波

60年代：反摺积，滤波，数字地震仪，数字处理理论。

70年代：偏移感念，3D地震，VSP出现

90年代：高分辨率地震勘探，3D,4D,可视化技术，多波，地震CT

2、震勘探的发展及基本状态

3、地震学分类：儿何地震学，地震波动力学

4、地震波动力学的发展及应用

5、地震勘探中的若干概念：

波；波前（波面）；波后；入射波；反射波；折射波；透射波；波的振幅，频率,

周期；振动图与波剖面；非马原理；惠更斯原理。

第一章：应变与应力

1-1基本概念及其数学描述（有关数学问题）

一向量及其运算

1向量的摸及方向余正玄

向量：A=al+aJ+azk

/、

见，

A=%,

记春彳=（%，%，生）或者

向量的模：1由=也;+」,2+42

N与三个坐标轴的夹角为：以民力

a

cosa--4=■,cosBn--==v■,cosr=-=a=,•

IAIIAIIAI

且有：cos2a+cos2（3+cos2/=1

2向量的内积（点积，标量积）

记着：不下

彳方=面1历cos。，。为两个向量之间的夹角。

若彳=（%,%,%）/=（%%也）

则N/=。也+。也+。也

3向量的外积（叉积，向量积）

记着："是一向量

长度：IAx/1=IAII,Isin。

方向：垂直于两个向量组成的的平面。由右手规则确定

mxIl=rXll]lsin6

（T二7A

iJk

=axayaz

I、%外）

物理含义：l/x®为两向量构成平行四边形的面积

4三向量的混合积

三垂向积定义为一个向量记为：（'、'卜乙，这一向量在A,B两向量组成的平

面内，有如下关系：

（Ax8）xC=（CA）8-（CB）A

二向量的微分与积分

1向量的微分

假设一个向量函数而）=（%（）%«），%«））

其导数也是一个向量，表示为：

dA_（dafdayda一、

dt（力，力，力,

d2A

二阶导数记为：H

运算法则：.⑺，瓦。为向量，①⑺为标量函数。

[4（f）+8（f）I=A+B

[①⑺=①4+①A

•（r）B[t}]=AB+^A

=AxB+^xA

2向量函数的积分

若向量函数力（'）的三个分量见⑴，%⑺，%⑴均为连续函数，则向量彳（,）的积分

可表示为：

0«）,〃=Q«>〃+jj«v⑺力+k[生0w

运算法则：a为常数，c为向量

JfA（r）+B（t）]dt=^Adt+^Bdt

j[CA（t）]dt=C\Adt

j[CxA（r）lc/r=Cx^Adt

三积分中值定理

假设函数/（x）在闭区间[a,b]上连续，则在（a,b）内至少存在一点C使得:

b

]7（犬加=/©（/?-a）

«,这就是积分中值定理，

][|7（x,y,z>/s=/（x*,y*,z*）s（*1

体积分：平S面上存在一点U，》，名）

则…办V内存在一点（2，力

四张量的概念

标量：〃=N°=1

向量：N=N'=3

张量：〃=叱=9

N上面的指数称为向量的“秩”，〃为向量分量的个数。在三D坐标中（N）

如：向量，（》，"%）=（见“,7）,%«%力巴",力）是在（x,y,z）处的变化率.，

即：分别是对x,y,z求偏导数，得到％心―，％—①/按照矩阵排列

即：

/、

册，品

ayxayyayz

、1%aJ这个方阵即为张量

1-2应变应力分析

一位移梯度

op=r=[x,y,z)

"■―/*♦*\

op=r=(x,y,z)

而一相对很小时,

Awxdu=(d",dy,dw)=〃(r+d〃)一〃(r)

,du,du.du,

au=—dx-v—dy-^—dz

dxdydz

,dv,而」dv,

dv=——axH----dvH-----az

dxdy公

,dw,.dw.

aw———dx4-----ay-\-----dz

dxdydz

写成矩阵形式:

du-Adr

du'

瓦¥

小

小

区

不

也

也

du=dvdy

式中：a

、dzJ(dxdydz?

一般称矩阵A为P点的位移梯度

位移梯度的儿何意义

dr*=dr+du=dr+Adr=(/+A)4r

'ioO'

O10

I是单位矩阵1°0JP*0=(/+A)P。

过P点的线元硬，变形后为"由上算式可以看出：位移梯度正好反映了小

线元变形后所发生的方向与长度的变化。

二应变张量

r=r+“(r)dr=(/+A)<7r

过P点的小线元di的长度M万，变形后长度।

小线元的相对变化

\dr\-\dr\

I=--------------=1

\dr\

u-空与、

假设dr的方向余玄为:dr\\dr\\dr\)

用晶表示P点在蓝方向上线元的伸长度，由于晶的任意性，所以常称而为P点

的应变状态(应变状态是指物体内一点在各个方向上的线元伸长度的总称)

\dr\=■yjdx2+dy2+dz2

dr*=dr+dudy,+dv,Jw)

=(dx+du,dy+dv也+dw)

IdrI=《(dx+duj+(dy++(dz+dvv)2

一2/、i[

=\dr\flH----=r(dxdu+dydv+clzdw)+—=(du2+dv2+dw2]]2

\dr\2\dr\-'

在小变形的情况下，任意向量很小，即如，外,dw都很小。省略乘积项后，按

(/1+XJ)2=.1H--1-X

近似公式展开，I72

则：

\dr^\=\dr\[\+—=(dxdu+dydv+dzdw)]

\dr\2

,,*一]

\lm1=-=-(dxdu+dydv+dzdw)

因此：M/

1/du,du,du,]dv.dv.dv.\.

[——dx-\----dy-\-----dzdxf+——ax-\----dy-i-----azdy

IJH7(dxdydz)dxdydzJ

dw,dw,dw,Y

+——ax+——ay+——az]

、dxdydz

y

dul2dv2dw2(duYdvdw(du.

—/+—m+—n+—+—bn+—H------mn+—+—nl

dxdydz[②bx,dy)\dzdx)

引入符号:

dvdw

p——p=—

方犷'北女'

1(du加]

1(dv0〃'21Szdx)

e=-------1------

冲dy)

a=el2+em2+e„n2+2el+2emn+2enl

nxvyyzzxymntyc

m=nErT

n)

上式揭示了弹性体积变形中的一个规律：对于任意一点P，在任意给定方向

上〃，线元伸长度（P点的应变状态）由矩正E确定。因此矩正E描述了物体内

各点的应变状态，并称E为应变张量；应变张量有6个独立的元素。

当〃取X的正方向时，〃=（1，。，。）=，

]=(I,O,O)E|01=

同理:

这三者分别表示x,y,z方向上的伸长度，称为正应变，位于E的主对角线上。

应变张量中另外三个元素的含义，引入变形中剪切的概念，设过P点两个线元,

肛,“2,变形后过P*点的两个线元〃*，虫，如果而，在之间夹角为90度,

r-（___口）一一

人，"弓之间的夹角为a,则称角度2为P点在两个方向上的剪切,

由此可以说明的物理意义。

⑼⑼，且取1旬IT%1=1

记P点在X,Y方向上的剪切为飞

..(71、dr；dr*

sinr=sin----a=cosa=—-----=r

不(2)\dr；\\dr；\

+d/)(d6+d〃2)

|痴||石

_drxdr2+dr[du2+du]dr2+du]du2

又：

\dr\\=\drt1(1+le,1)=1+ei

在小变形的情况下有：

sin%=qyq1丐1

可以不计，d*dZ=c(互相垂直)

且在=duAdu2+dv,dv2+"卬/卬2是小乘积,

■一.一♦•・3•/—»\一・/<

)

则rvv=dr}du2+dr2du}=dr](41弓)+4弓(40

(dududu(dudiidu

dz

/j\dxdydz/Qxdxd：》rn

_dvdvdvj_|_jdvd匕在0

dxdydzdxd、，以。

loj'lojto)

dwdwdwdwdxvdw

、dxdydz)\dxd：ydz)

dudv_1

=----1----=2e”p——r

此式表明：?是P点在X,Y两轴方向上剪切的一半；同理可以得到:

xz的含义，并且称之为切应变。

三应力分析

应力：M为物体内一点，过M点任意做一曲面，把弹性体分成甲乙两部分，甲

部分外法线］

在曲面上取一含［点的面元s,设乙部分通过s作用于甲部分的合力为

如果存在下列极限：

则称巴（加）为M点，曲面法向量G的应力向量，应力向量既与点的位置有关，

又与曲面的法向量有关，且可以看出，应力不是力而是单位面积上的力，一点在

各个不同的曲面法向量的全体｛不（^）｝称为该点的应力状态。

M点在i方向上，0二=一%

在应变分析时得到结论：

一--,

一点的应变状态有应变张量决定，即由三个正应变和三个切应变所确定，

下面讨论应力状态情况：

以M点为顶点做四面体MABC；MA,MB,MC分别平行X,Y,Z轴，设ABC

的单位外法向量为："（〃，，％，%）,面积为：s,则三个侧面面积分别为：

nxs,〃vs.nzs

v=—hS

M到ABC的距离为H,四面体的体积为：3;四面体各个面上的应力

可写为:

%，"）,一；外力记为f,四面体处于平衡状态,合力为零。

JJ］7dv+JJ承s+"又以+口三刃+JJ不ds=O

abctnbcmcamab

由积分中值定理，上式可以写成:

f—hs+cr-s+<J^us+cr-Nys+cr"%s=o

3wx

式中r，。”表示对应某点的取值；令四面体积收缩到M点，从而得到M点的应

力向量关系式；%*=%*%+%*%+4*2.................1

上式表明：如果已知一•点的各坐标平面上的应力向量，则可以确定经过这点的任

意截面的应力向量，由于坐标系是任意的，因此，一点的任意三个相互垂直截面

上的应力向量完全确定这一点的应力状态。将上式用坐标分量表示如下：

了=4“；+%，+以

°；=%/+。"1+，仄

.2

by

2式代入1式得到：

<7„,=<rmnx+an+an

O"=w〃\+%〃.、+/〃：）

将上式写成矩阵形式：丐=7"

T描述了这一点的应力状态，称为应力张量，有9个分量，这是一个对称矩正,

有六个独立分量，对角线上为主应力，其他为切应力。

1-3广义胡克定律（应力与应变之间的关系）

■若干概念

正应力

e杨氏模量=

正应变

切应力

〃切变模量=

切应变

压缩

丫泊松比=

V—V

体应变：6=:（体积的相对变化率）

匕一分别是在围压巳尸作用下的体积。P-P。=一如代称为体变模量）

体变模量=%鬻必参数）=女一3入…起称为拉梅系数，在五个变量中,

只有两个是相互独立的;如已知儿〃，其他三个可以表示为:

dx.=dXj

dy-=dyi+(dv).

dz-=dzt+（dw）.

代入上式并按照行列式在性质展开:

dy、(dx(dv\

x废。rpw),肛xe(“叫'

v*=dxdy%+(da%+dxdy(dw)2

22dy22(八)22

dzj[(du\⑷3

的dy3d%也(Mj

z

zd\

r()

(du)(dv),以、\f"e/I孙(dw\四(g(”w)J({du\(dv\{dw\

zd\

+(!

+(d“)2⑷)2dz2dy2(dw)2T

\仇/2卜dx?⑷卜（dw）2+（甸2（小％（小吆

zdX

()d%(dw\,⑹3(6/VV)J[(d")3(di)(dw)

、(八)3(小小七k\/3也

由于是小变形，位移分量的乘积项可以略去，故最后四项可以略去，第一项是V,

第二项为：

(z

包

包

/包

四

m+血+

\&yl

/z\

々

()办Kayaz

包

\/Ir曳

血

勾

八

/\办

l)%四

一++

办

一

\/2及

私

八

z\力k

/)%血

加

Iv73r包

包

四+¥+

&”

Lk

dvdw

同理可以得到：第三，四项分别为：8“及“

*dudvdw

v=vd--v+—vd---v

所以&②&

八dudvdwv*-v

(7=---1---1---=e+e+e=-----

则：dxdy8z。v

2

e=〃(3%+2〃)V=2(/1+〃)

耳〃,,2

k=4+q〃

如已知：e#则%〃，々可以表示为:

ev

(1+v)(l-2w)

2(l+v)

3(l-2v)

二体应变与应变的关系

对于一平行六面体，应变前后关系如下:

'dx、如dzC

v-dr•(叱xdq)=

dx2dy2dz2

/3

dy3dz3)变形前的体积

dydz*「

="■(叱*xdr*3)=

Vdx*2dy2d?*2

、dx*3dy”dz*3)

广义胡克定律

实验表明：应变小时，应变一应力之间成线形关系，他们的关系用矩阵关系表示

(一\14cl5c16]

XX

CT

,vG]C22c23c24c25c26e”

%

。31。32。33。34。35。36%

°\vC41c42c43c44C45c46卜

%C51C52C53C54C55C56葭

[C61c62c63。64c65。66J

如下：产,二)

这就是广义胡克定律，系数矩阵成为弹性常数矩阵，有36个量，在均匀介质中

是具有对称性的，因而有21个独立常数，在均匀各向同性介质中有两个独立的

弹性常数，利用拉梅系数和广义胡克定律表示如下：

T,="/+2点

7；为应力张量，E是应变张量

’100、%2%.2s、

a+2〃=

yx%7=A0010%2“e,,AO+2«evv

%J、°0bR%，、2"42uezie+2〃e一

b=+2uea=2〃e_

yyyyxqr

+4V=2〃4，

上式称为物态方程。

1-4弹性介质的机械能量

动能与势能成为机械能

一弹性介质的机械能

1、弹性势能（应变势能）

弹性体在应变过程中应力做功，储蓄一定的势能，当外力作用下消失后，弹性体

对外力做功，势能转化为动能，使它恢复原来的状态，弹性体的截面积为S,长

度为L,沿X的伸长量屹“，正应力为4,,作用在截面上的力为MM,应变过程

中应力应变的变化所做的功：

dA=stdexx/,(cru.=EeJ

lcp~ryp

A=sIE\edexx=

022

这是弹性在应变状态下的势能，称为应变势能。

能量密度：单位体积所具有的能量称为能量密度。

(

-psi—

动能:2ddt7

色绘，动能4/史］

2

则：单位体积内的势能是：2I况J

总的机械能密度为：

„1/X1㈤2

E=］（+%臼v+",+%鬼+%忌+":J+万

考虑各项同性介质：将X用应变替代得：

/一、2

A1一/\1Ia«I

E=-1^.^+++o;、，4y+b、/.+^xe^）+-p—

2/W

二能流密度

设I向量是表示在单位时间内通过与它垂直的单位截面积的机械能，称为能流

密度。

胸

考虑体积V,其表面积为S,向量场I的通量：？是单位时间内经过表面S

散失的能量。

dh=nds,1是面元ds法线方向单位向量。设机械能密度为：E,则在V中总

Ev=fffEJv

机械能为：V，根据能量守恒原理：单位时间内总机械能减少量：dt,

等于通过表面流失的能量，即：

的=.J喈源

sV

JjpzvWvV

divI+—=Q

dt

上式表明：已知能量密度，求出能流密度，近而计算出弹性波传播的过程中能量

的传播。

三能流密度与应力张量，位移的关系（能流密度的计算）

机械能密度对时间的偏导:

2+3+9]+2〃]

.2+e%+e叼

dtdtdtJJ◎dt»dtadt)

Je区+e%+e、dud2u

]+p-------

[*%-dtyz初）dtdt2r

2

3/8。yy网一阻y8”deQudu

CT-------FO'-------FCT„----+C-------PCT-------F(7

xxdt»dtndt*dt>zdtkarpdtdt2

dudu-：dv-dwr

—lH-----/H-------K

dt[dtdtdt

考虑运动平衡方程:

d2u।啊、啊、、2+七+外、\daSerd(j,.]

j+k

、&dydz?I&dydz)dydz>

两式相乘得:

2

dudu(6%Saxydo■、八du(8a+注+空平+降+等+必辿

『前=h?+而+

dzJdtIdxdydz)dtfirdzJdt

则:

dEdvSyr】d.dudv加】d.dudvdw

k+b--]+—b—+b-+bz--]+k[b—+cr—+b

aTdtdtdyydt"dtV"dtdzdt"dt

6EdE-(__、

------=divJ(7_I

显然：视是某一向量的散度，dl\J-')

-7=zdudvdw-dudvdw-/dudv仇v、:

J(cy—+cy—+o'—)i+(zcr—+cy-----Fc—)/+(<T-----Po'—+cy—)k

口dt，dtxzdtwdtdtyzdtxzdt*dt“dt

因此有：

加

/一ai/+b-+b•T

=一

X初

应

町

夕

<o@o加

4一

=§+」+r-

K初

¥打-

byyb加

包

一T

人_++

aw及

一¥

，a

ar

此式表明：已知应力张量和质点运动速度可以计算弹性介质的能流密度。

第二章波动方程

2-1有关概念及数学描述

一场

空间领域中每一点都有一个确定的物理量，这就是场；标量场，向量场;

二方向导数

标量场沿某方向的方向导数表示为：

d(pd(pd(p介的

—=—^cosa+—^cosB+—^cos/

dldxdydz

“(cosa,cos/,cosy)为在L上的单位向量。

三算符

rd_d_d_

V=心+理+%e哈密顿算子

dxdydz、dx，dy5dz,

222aU

ddddddddy2

方'+谈+芯=Vv=v

dx'dy'dz>0'犷匆拉普拉斯算子

四标量场的梯度

grad(p=—i+—j+—k=V。(反映变化率最大的方向)

oxdydz

运算性质：

grad（夕+〃）=grad（p+gradi//

grad(年吟=(pgradi//+i//grad(p

grad(F(力))=F((p)grad(p

五向量场的散度

向量场：口=(忆",，忆)

(dddy\(\3k。匕3匕

力n科=V〃=—(夕v，〃J=「+k+丁

散度定义为：dydzPdx®&

若「是位移向量”=伍匕卬)

dudvdw

divuk+二r+k="+，Y+e%=0（体应变）

dxdy&

山元=0（无体积涨缩，即无纵波）

如果把e视为质流密度场，出y『反映源头的分布情况,

div

运算法则：12（%+〃2）=V\+divi//2

div（i//{y/2）=i//2divi//{+i//{divy/2

向量场的旋度

（二

ddd8dd

rotcp=Vxi//x（R，9,2）

Q，Sy，&dxSydz

定义:l%化，

3%

+包

、法办）

%，4，%）,各点的线速度为

设一刚体绕某一点转动，转动角度为万=

，匕/,取定点为原点，各点的径向为：r=（x，、z），则有:

一皿平

v=G7^r=G78=（初y_y^z）i+（皿:-z%），+（巩

V

则:

、

匕二Z匕一%

v=xw,—ddd

yv4”rotv2w

dxdydz

V.=）吗-xw,

即线速度向量的旋度，。”为•向量，等于刚体转动角速度向量的2倍，反映刚体

的旋转运动，rotv=0,表示无旋运动。

运算法则：

rot（i//{+%）=侬%+roty/2

rotWw）=一y/\di、Wz

七梯度，散度，旋度之间的几个关系运算

div(gradcp)=N(p

div{roti//^=0

rot(gradcp)=0

grad^div(p^=0

rot^roti//^=grad(diu")一△”

八有势场

定义:对于一个已知向量场方（2,如果它是某一个标量场。（加）的梯度，即

可以表示成为gm"®.））,则称为向量场方（〃?）为一个有势场，。（"）称为口加）

的势函数，对于给定的有势场，其中势函数有许多，但是只相差一个常数，除常

数外，其势函数是唯一的。对于一般向量场”（加），其旋度不一定为零，当方（相）

为有势场时，其旋度一定为零。由此得到如下结论：

①若向量场”（加）在单连通域。内连续，则沙（“）有势的充要条件是其旋度为零;

②若向量场口加）在所考虑的区域q上，它的「。加和力而都有意义；则这个向

量可以分解为无旋部分和无散部分；即：

具有：侬-=0和divi//2=0

又：高斯公式

设S为空间域V的边界曲面，〃=（cosa，cosAcos7）为$上一点的外法向量，向

量。=（牝,%,程）在（v+s）上有连续偏导数，则有高斯公式

^ands=^divadv

或者Sadada

cosa+acos夕+&cosy}ds=——-+—:H--------)dv

y及

SV

2.2平衡状态下的基本方程

（1）儿何关系：（应变与位移的关系）

«=_L®+2'

"瓦2•dy）

5V1（dwdvy

c=—e、、_=-----1---

》/北dz）

dw_1fdw\

@=莅/层菽J

（2）物态方程（应力与应变的关系）（本构方程）（广义胡克定律）

G1G2G3cl4c15cl6xr

CCe

2122°23c24C25C26yy

C31，32,33。34。35,36%

C41C42-A4C46^xy

051c52c53c54c55c56

（。61。62。63。64c65。66八£、忆,

（3）平衡方程

设物体内各质点所受的外体力人（/s/v"J，在物体内任取一体积V,S为V的

表面，S上各点的面力（外法向应力）为％;那样在平衡状态下，V受到的体力

与面力之和应等于零，即：

JJP法+JKds=。

VS

写成分量形式：

JjfZa+“"s=o

川7办+〕卜、泌=°

C八+0%处=0

对于第一个分量方程应用高斯公式得:

同样道理可以得到第二个分量和第三个分量

da6cr

vr+vv+上+。=0

dxdydz

d(yQ

——^+华+(=0

dxdydz-

这三个方程称为平衡方程O

将物态方程代入平衡方程得：(各向同性介质中)

基本方程：

+++<=0

(4+〃喟+,+&-=。

(九+〃)普+〃△卬+工=0

OZ

式中：

Q05(dudvd2ud2vd2w

I

dxdydz)dx2dydxdxdz

d0d2ud2vd2w

dydxdydy2dydz

d0d2ud2vd2w

—'l+i

dzdxdzdydzdz~

上式称为弹性力学的基本方程0综合位移和外力边界条件可求解。

2-3弹性介质中的波动方程

一波的描述及其相关理论

1波前，波尾，波阵面；

2惠更斯原理，非马原理。

3振动图与波剖面，波长，周期，波速。

二弹性介质中波动方程

上面描述的是弹性力学基本方程是在平衡条件下的，下面讨论运动状态下的

情况

在运动状态下，位移向量2不仅仅是点(x,y,z)的函数，而且是时间T的函数：

»=w(x,y,z,f)+("(x,y,z,f),v(x,y,z/),w(x,y,z,f))

点的位置也是时间T的函数：r(x，y，z)=(x(f),y(f),z。))

此时体积V的总力还应该加上惯性力v次；

则在运动状态下用位移向量表示的弹性力学基本方程为：(牛顿定律)

(〜xdOArS2U

(%+〃)菽+〃”+<=：夕法

U+M甯+心+4=暗

(九+4噌+心卬+工=0*

dududxdudydudzdu

—=-----1------1------1---

所以：力bxtdytdztdt

du_du

在小变形条件下：

dv_dvdw_dwd2u_d2ud2v_d~vd2w_d2w

同样道理：~dt~lt，~dt~~^，W~~dtr，~dtT~~dtT，~dtr~~dtr，

运动方程表示为：(分量形式)

(4+〃)詈+心+£=「患

(几+川卷+心v+/,=0*

/,dO人，32vv

(，+〃)x至+a+工=夕布

写成向量形式：

+++/=p^-7-

无体力作用时：f=°

_d2u

(X+〃)grade+心〃=。前

在每个分量方程中都有三个未知数"，匕W,求解很困难；为此，利用场论中的结

果将位移分解；设】=E+E；

ro加=0,7为无旋场,只有涨缩运动。无旋转运动；

力£；=0,芯为无散场，只有旋转运动，无涨缩运动

rotu{=0必有势，则存在一个标量位夕使得5=grad(p-,

divu2=0,的可以表示某一向量的旋度U2=roW

u=grad(p+rot(p

o2___

p—^(grad(p4-roti//)=(4+//)grad[div{grad(p+roti//)]4-//Agrad(p+roti//j

初

=(X+/J)grad[div(grad(p^+div(roti//j]+〃A(grad°)+2卜。")

上式进一步表示为：(利用梯度，散度，旋度的关系)

/2\(

,Oa(P

gradp—+rotp5V=gra>矶(4+2〃)公0]+3(心”)

I^')(

比较等式两边，取:

P禀=(力+2〃)△夕

...........................................(1)

对于第二式P誓一两二g「adG

令G=0得至U：

将(1),(2)

.■1d2<p

A。=----

%

2

d~(p1d(p1d~(p----1---d--~-(p-

2222

dv--dy----dz----vpdr

4+2〃〃

式中：

这样借助”的分解可得到4个独立分量的标量方程，也称为波动方程，因为它反

映了波在介质中传播。

注：1当介质是理想的流体时，只有正应力，没有切应力。

4)，==%r=0即〃=0；

弹性波方程化为:

P~^T=九grad8=kgradO

取散度，变换微分次序得:

Q2_

p—^-divu=kdiv^gradO^

P为声压，V为声速，只有P波，没有S波

2从微分方程组来看，P波，S波在介质中传播是丰富的，但是在边界上是联系

的（下一章讨论）

第三章波动方程的解

3-1基本数学问题

-、二阶线形常微分方程

常系数线形方程：y"+ay+by=O

特征方程：k2+ak+b=Q

①若存在两个不相等的实根；

x

通解为：y=c/'+c2e^

②若特征方程存在一对共扼复根，

通解为：

kx9=a±/3i

)，=，*网»2产次或

as

y=e(qcos/3x+c2sin°x)

③若特征方程有两个相等的实根

k,x

y=(c,+c2x)e

④如果a=0,y,+by=Q

通解为：y=c1COS@X+c?sinaX

二偏微分方程的定解问题与适定性

泛定方程：给定一个方程，只能描述某种运动的一般规律，而不能具体的确定运

动状态，这个方程称为泛定方程，增加一些附加条件和约束条件后，就可以确定

具体的运动状态，这样的条件为定解条件，包括初始条件和边界条件。

定解问题：给定一个泛定方程核定界条件的数学物理问题称为定解问题。若函数

U满足泛定方程和定解条件，则U为定解问题的解。

定解问题的适定性：满足存在性，稳定性，唯一性，就称为定解问题是适定的，

三者有其中一个不成立，则定解问题是不适定的。

三付氏变换及性质(略)

F(T)为非周期函数，且满足下列条件：

4<O

f"（f）l力存在

①绝对可积：-X

②F（T）在任何一个区域内有界，且只有有限个不连续点和有限个极值点。则

存在下列付氏积分公式：

+00

-00

[+00

尸（。=—\F[co）eiw,d（o

—co

性质：

①线性性：力（'）一月（动，上（，）一63）a,尸为常数;

尸[。力（。+4人。）]=。"（。）+£工（0

②时移性：

fS-F⑼

则:尸"（壮.）]=6±码歹3）

③微分性质:若8J«）T°，则:F[f'（t）]=icoF（（o）

+00[

Hj7（M1=一尸⑼

④积分性质：-iis

⑤乘积定理：耳3）=F"（力，尸2⑷=网力（5；

]-K»[+<x>

,,,"("2(f)

三=yJK(仍(同d口

则：-00—co—00

+00

⑥摺积定理：J工⑺%称为两个函数的褶积•/；（。*力⑺

-00

3-2：无限均匀介质的平面波

前面我们得到运动状态下弹性力学的基本方程：

。2万

p=（4+/Z）grand6+〃△万

将u分解得到四个分离的波动方程:

1。2①1gy,

△①

=­V；r-初72匕2靖

先将方程写成分量形式：

d2u,,、朋

P^v=M+A）—+MA»

dtdx

曲de•

。获=（〃）的+心

2

duZ1、ee,

=M+A）—+

对，的三分量U、V、W作四维付氏变换得:

2rx+riy+r,z+fi}

M(r|5r2,^,/)=JjJ|w(x,y,z,t)e~'^'dxdydzdt

心，弓,弓")=川卜(x,%z/)e3E，+S>d必收小

w(6，&，6J)=JjJJw(x,y,z,t)e~i2^r'x+r2y+r3Z+fndxdydzdt

反付氏变换为：

l2rx+r2y+liZ+f)

u(x,y,z,t)=JJJ,r2,r3,f)e^'''dridr2dr3df

v(x,y,z,t)=JJJJv(rf