高中数学考试压轴题讲义-参数范围与最值不等建解不宜迟（含答案）

【题型综述】参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．学……科网参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.【典例指引】类型一参数范围问题例1【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。类型二方程中参数范围问题例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【解析】类型三斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】类型四离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【扩展链接】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则①.②.③.④.；⑤.；⑥.；【新题展示】1．【2019陕西第二次质检】已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于、两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围．【思路引导】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。2．【2019江苏南通基地学3月联考】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【思路引导】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围．3．【2019湖北恩施2月质检】在直角坐标系中，椭圆的方程为，左右焦点分别为，，为短轴的一个端点，且的面积为．设过原点的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的一点，且直线，的斜率都存在，．（1）求的值；（2）设为椭圆上位于轴上方的一点，且轴，、为曲线上不同于的两点，且，设直线与轴交于点，求的取值范围．【思路引导】（1）设点A（x1，y1）、P（x2，y2），则B（-x1，-y1），将点A、P的坐标代入椭圆C的方程，得出两个等式，将两等式相减，结合直线PA、PB的斜率之积，得出=，再利用△RF1F2的面积为，得出bc＝，联立两个方程，可求出a、b的值；

（2）设直线QM的斜率为k，结合已知条件得出直线QN的斜率为-k，将直线QM的方程与椭圆方程联立，求出点M的横坐标，利用-k代替k得出点N的横坐标，然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为−，于是得出直线MN的方程为y＝−x+d，将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，由△＞0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围．4．【2019江苏扬州一模】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，线段的长为4．点在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作，，直线，交于点．（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；（2）直线与椭圆的另一交点为，且，求的取值范围．【思路引导】(1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为．分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点的坐标，利用点的横坐标为，求出，进而可求出点的坐标；(2)联立消去，整理得，求得．由，可得，结合即可求出的取值范围．5．【2019河北五个一名校联盟一诊】椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由．【思路引导】（Ⅰ）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．6．【2019辽宁沈阳一模】椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【思路引导】(1)由题意分别确定a，b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可．7．【2019广东惠州三调】已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【思路引导】（1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得c，再利用椭圆过点求得、，从而求出椭圆方程。（2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由得到k与m的不等关系，再由AG直线与直线垂直，斜率乘积为-1，得到k与m的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。8．【2019陕西彬州一模】已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的右焦点为，右顶点为，经过点的动直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为和，求的最大值．【思路引导】（1）由题意，列出方程组，求的，，即可得到椭圆的标准方程；（2）由（1），设直线的方程为，联立方程组，利用根和系数的关系，得到，利用基本不等式，即可求解。【同步训练】1．已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得，结合离心率的范围可知则的取值范围是.【详细解析】2.在中，顶点所对三边分别是已知,且成等差数列.(1)求顶点的轨迹方程；(2)设顶点A的轨迹与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围【思路点拨】(1)由成等差数列，可得；结合椭圆的定义可求得的轨迹方程为；(2)将与椭圆方程联立，判别式大于得.根据点关于直线对称，得.讨论，两种情况即可求出的取值范围.【详细解析】3.已知A，B，C是椭圆C：（a>b>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。【详细解析】4.已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足，求的取值范围.【思路点拨】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．【详细解析】5.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.【思路点拨】（1）由已知即可以解得a,b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.学……科网【详细解析】6.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.【思路点拨】(1)由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可；【详细解析】7.已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2（1）求曲线C的方程（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若，当时，求K的取值范围【思路点拨】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2=，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；【详细解析】8.如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围．【思路点拨】（1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到．设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，利用韦达定理，求出，解出，将椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围．【详细解析】9.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．（1）求椭圆E的离心率；（2）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．【思路点拨】（1）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）通过，结合△＞0推出m2＜4k2+1，利用韦达定理|CM|=|DN|．求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可．学#科网【详细解析】10.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点F的直线x+y﹣2=0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得∠MDE=∠MED，求t的取值范围．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，结合，设P（x0，y0），推出a2=3b2，结合c=2然后求解椭圆C的方程．（2）设线段DE的中点为H，说明MH⊥DE，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，设D（x3，y3），E（x4，y4），利用韦达定理求出H的坐标，通过kMH•kl=﹣1，求解即可．【详细解析】11.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|=2，∠F1AF2=60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程．（2）存在这样的点M符合题意．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．【详细解析】12.已知椭圆E：mx2+y2=1（m＞0）．（1）若椭圆E的右焦点坐标为，求m的值；（2）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围．【思路点拨】（1）化椭圆E的方程为标准形式，通过焦点在x轴上，求出a，然后求解m即可．（2）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x1，y1），C（x2，y2），BA与BC不与坐标轴平行，且kBA•kBC=﹣1＜0，设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可．学%科网【详细解析】【题型综述】参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.学*科网【典例指引】类型一参数范围问题例1【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.所以解得.因此，实数t的取值范围是.类型二方程中参数范围问题例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【解析】（1）抛物线的焦点为由点在直线上，得，即所以抛物线C的方程为因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为②因为在直线上所以，即由①知，于是，所以因此的取值范围为学……科网类型三斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.类型四离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得，故，．因此．由于，，得，因此，=1\*GB3①因为=1\*GB3①式关于，的方程有解的充要条件是，所以．因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值范围为．【扩展链接】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.学*科网抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则①.②.③.④.；⑤.；⑥.；【新题展示】1．【2019陕西第二次质检】已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于、两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围．【思路引导】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。【解析】（1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为：．（2）设，由，得，由韦达定理得：，，由得或．又因为原点在线段为直径的圆外部，则，，即，综上所述：实数的取值范围为2．【2019江苏南通基地学3月联考】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【思路引导】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围．【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为3．【2019湖北恩施2月质检】在直角坐标系中，椭圆的方程为，左右焦点分别为，，为短轴的一个端点，且的面积为．设过原点的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的一点，且直线，的斜率都存在，．（1）求的值；（2）设为椭圆上位于轴上方的一点，且轴，、为曲线上不同于的两点，且，设直线与轴交于点，求的取值范围．【思路引导】（1）设点A（x1，y1）、P（x2，y2），则B（-x1，-y1），将点A、P的坐标代入椭圆C的方程，得出两个等式，将两等式相减，结合直线PA、PB的斜率之积，得出=，再利用△RF1F2的面积为，得出bc＝，联立两个方程，可求出a、b的值；

（2）设直线QM的斜率为k，结合已知条件得出直线QN的斜率为-k，将直线QM的方程与椭圆方程联立，求出点M的横坐标，利用-k代替k得出点N的横坐标，然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为−，于是得出直线MN的方程为y＝−x+d，将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，由△＞0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围．【解析】（1）解：设，，则，进一步得，，，两个等式相减得，，所以，所以，因为，所以，即，设，，因为，所以，由的面积为得，，即，即，，所以，；（2）设直线的斜率为，因为，所以，关于直线对称，所以直线的斜率为，算得，，所以直线的方程是，设，由消去得，，所以，所以，将上式中的换成得，，所以，所以直线的方程是，代入椭圆方程得，，所以，所以，又因为在点下方，所以，所以．4．【2019江苏扬州一模】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，线段的长为4．点在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作，，直线，交于点．（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；（2）直线与椭圆的另一交点为，且，求的取值范围．【思路引导】(1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为．分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点的坐标，利用点的横坐标为，求出，进而可求出点的坐标；(2)联立消去，整理得，求得．由，可得，结合即可求出的取值范围．【解析】（1）设直线的斜率为，，由题意得，，所以，，，所以椭圆的方程为．因为点在椭圆上，且位于第一象限，所以，，直线的方程为．因为，所以，所以直线的方程为．联立，解得，即．因为，所以，则直线的方程为．因为，所以．则直线的方程为．联立，解得，即．因为点的横坐标为-1，所以，解得．因为，所以．将代入可得点的坐标为．（2）设，，又直线的方程为．联立消去，整理得，所以，解得．因为，所以．因为，所以．5．【2019河北五个一名校联盟一诊】椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由．【思路引导】（Ⅰ）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以，整理得．故椭圆的方程为．由已知得椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意得直线的方程为．由消去整理得，其中．设，的中点则，所以∴，∴点C的坐标为．假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．①当时，则过点且与垂直的直线方程，令，则得．若，则，∴．若，则，∴．②当时，则有．综上可得．所以存在点满足条件，且m的取值范围是．6．【2019辽宁沈阳一模】椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【思路引导】(1)由题意分别确定a，b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可．【解析】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．7．【2019广东惠州三调】已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【思路引导】（1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得c，再利用椭圆过点求得、，从而求出椭圆方程。（2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由得到k与m的不等关系，再由AG直线与直线垂直，斜率乘积为-1，得到k与m的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。【解析】（1）〖解法1〗抛物线的焦点为F（-1，0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，又椭圆过点，∴由椭圆的定义知，，∴，又，∴∴椭圆的方程为．（1）〖解法2〗抛物线的焦点为F（-1，0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，又椭圆过点，∴解得，∴椭圆的方程为．（1）〖解法3〗抛物线的焦点为F（-1，0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，又椭圆过点，∴∴，∵∴可解得，∴椭圆的方程为．（2）〖解法1〗由消去整理得，直线与椭圆交于不同的两点，，整理得……①设，线段的中点A，则，∴∴，∴点A的坐标为，∴直线AG的斜率为，又直线AG和直线MN垂直，∴，∴，将上式代入①式，可得，整理得，解得．∴实数的取值范围为．（2）〖解法2〗设则两式相减得即点满足方程①．又直线且过点点也满足方程②联立①②解得，即点在椭圆内部的取值范围为8．【2019陕西彬州一模】已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的右焦点为，右顶点为，经过点的动直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为和，求的最大值．【思路引导】（1）由题意，列出方程组，求的，，即可得到椭圆的标准方程；（2）由（1），设直线的方程为，联立方程组，利用根和系数的关系，得到，利用基本不等式，即可求解。【解析】（1）由题意得：，解得：，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）得，可设直线的方程为联立得，得，设当时，显然当时，当且仅当，即时取等号综合得：时，的最大值为．【同步训练】1．已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得，结合离心率的范围可知则的取值范围是.【详细解析】（1）由题意得，∴.又因为，∴.所以椭圆的方程为.（2）由得.设.所以，2.在中，顶点所对三边分别是已知,且成等差数列.(1)求顶点的轨迹方程；(2)设顶点A的轨迹与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围【思路点拨】(1)由成等差数列，可得；结合椭圆的定义可求得的轨迹方程为；(2)将与椭圆方程联立，判别式大于得.根据点关于直线对称，得.讨论，两种情况即可求出的取值范围.学%科网【详细解析】（1）由题知得，即（定值）．由椭圆定义知，顶点的轨迹是以为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为，半焦距为，于是短半轴长为．∴顶点的轨迹方程为．（2）由消去整理得,∴，整理得：…①.令，则.设的中点，则.i)当时，由题知，．ii)当时，直线方程为，3.已知A，B，C是椭圆C：（a>b>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。【详细解析】（1）由A的坐标为(2，0)，所以，，知OC=AC,所以C(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程：。（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-2<t<2,当直线时，设直线方程：y=kx+t,由消去整理得，设，PQ中点，D(0,-2),则，，化简得，得，，所以，代入,化简得，代入，即，所以综上所述，4.已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足，求的取值范围.【思路点拨】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．学%科网【详细解析】（1）椭圆C1的方程为的左、右焦点为（﹣，0），（，0），则C2的左、右顶点为（﹣，0），（，0），C1的左、右顶点为（﹣2，0），（2，0），则C2的左、右焦点为（﹣2，0），（2，0）．则双曲线的a=，c=2，b=1．即有双曲线C2的方程为：；5.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.【思路点拨】（1）由已知即可以解得a,b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.【详细解析】（1）由已知，，设的方程为（2）过的直线若斜率不存在，则或3.设直线斜率存在，则由（2）（4）解得，代入（3）式得化简得由（1）解得代入上式右端得解得综上实数的取值范围是.6.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）学……科网（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.【思路点拨】(1)由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可；【详细解析】（Ⅰ）设动点，则，且，①又，得，代入①得动点的轨迹方程为．（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，得，由，解得，②设，线段的中点，则．7.已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2（1）求曲线C的方程（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若，当时，求K的取值范围【思路点拨】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2=，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；【详细解析】（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x2=4y；（2）①依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，△=（﹣4k）2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∵，∴（﹣x2，y2）=λ（x1﹣x2，y1﹣y2），，，即4k2+2=，∵λ∈[]，∴，∵函数f（x）=x+在[]单调单调递减，∴4k2+2∈[2，]，∴k的取值范围是[﹣，]．8.如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围．【思路点拨】（1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到．设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，利用韦达定理，求出，解出，将椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围．【详细解析】（1）因为BF1⊥x轴，得到点，所以，所以椭圆C的方程是．（2）因为，所以．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8=0．即得（*）又，有，将代入（*）可得：．因为，有，则且λ＞2．综上所述，实数λ的取值范围为．9.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．（1）求椭圆E的离心率；（2）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．【思路点拨】（1）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）通过，结合△＞0推出m2＜4k2+1，利用韦达定理|CM|=|DN|．求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可．【详细解析】（1）由，可知即椭圆方程为…..…．（2分）离心率为…．…．（4分）（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知…．（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0⇒4k2﹣m2+1＞0即m2＜4k2+1，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分）10.