数学物理方法第二章

1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2.1复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)——复平面上的线积分第一页1第二页，共96页。简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.第二页2第三页，共96页。2.积分的定义:第三页3第四页，共96页。(第四页4第五页，共96页。关于定义的说明:第五页5第六页，共96页。3.存在的条件和计算法证正方向为参数增加的方向,第六页6第七页，共96页。第七页7第八页，共96页。根据线积分的存在定理,第八页8第九页，共96页。当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,第九页9第十页，共96页。在形式上可以看成是公式积分的计算法1第十页10第十一页，共96页。积分的计算法2第十一页11第十二页，共96页。在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.第十二页12第十三页，共96页。设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则性质：常数因子可以移到积分号外函数的和的积分等于各函数积分之和反转积分路径，积分反号全路径上的积分等于各段上积分之和第十三页13第十四页，共96页。注意到性质(5)可以写为

特别地，若在L上有，L的长记为L，则性质(5)成为

注意：数学分析中的积分中值定理不能推移到复变函数积分上来，例如：而

(6)第十四页14第十五页，共96页。例1解直线方程为第十五页15第十六页，共96页。这两个积分都与路线C无关第十六页16第十七页，共96页。例2解(1)积分路径的参数方程为y=x第十七页17第十八页，共96页。(2)积分路径的参数方程为y=x第十八页18第十九页，共96页。y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第十九页19第二十页，共96页。例3解积分路径的参数方程为第二十页20第二十一页，共96页。例4解积分路径的参数方程为第二十一页21第二十二页，共96页。重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.第二十二页22第二十三页，共96页。2.2柯西定理讨论复变函数积分与积分路径的关系（一）单通区域情形在区域中做任何简单闭合围道，围道内的点都属于该区域单连通区域：复连通区域，或称多连通区域

区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。

连续变形：变形时曲线始终属于该区域。第二十三页23第二十四页，共96页。复习：二元函数积分的格林公式路径无关的充要条件：实变线积分在单连通区域B内与在B内的偏导数连续，并且由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件第二十四页24第二十五页，共96页。单连通区域柯西定理：

如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有

推广：如果函数f(z)在单通域B上解析，在闭单连通域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有Bl第二十五页25第二十六页，共96页。由定理得第二十六页26第二十七页，共96页。连续，且格林公式同理连续，且证明：回路积分化成面积分第二十七页27第二十八页，共96页。例1解根据柯西定理,有第二十八页28第二十九页，共96页。例2证由柯西定理,第二十九页29第三十页，共96页。由柯西定理,由上节例4可知,第三十页30第三十一页，共96页。例3解根据柯西－古萨定理得第三十一页31第三十二页，共96页。第三十二页32第三十三页，共96页。奇点：复变函数不解析的点

若f(z)在z=b不解析（或没有定义），而在z=b的无心邻域0<

z−b

<R内解析，则z=b为f(z)的孤立奇点。含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域（二）复通区域情形有时，所研究的函数在区域上并非处处解析第三十三页33第三十四页，共96页。沿着一条简单曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为负方向。区域境界线正方向：第三十四页34第三十五页，共96页。在

l

围成的区域中含f(z)的孤立奇点

，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在余下的区域(一复连通区域)中，

f(z)解析。由柯西定理或又

l与l1方向相反，但与-l1方向相同。第三十五页35第三十六页，共96页。(多连通域柯西定理)

设B是以边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在

上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：第三十六页36第三十七页，共96页。例1解依题意知,第三十七页37第三十八页，共96页。根据复合闭路定理,第三十八页38第三十九页，共96页。例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,第三十九页39第四十页，共96页。例3解第四十页40第四十一页，共96页。由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.第四十一页41第四十二页，共96页。例4解由上例可知第四十二页42第四十三页，共96页。柯西定理总结闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分第四十三页43第四十四页，共96页。定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.两个主要定理:2.3不定积分第四十四页44第四十五页，共96页。第四十五页45第四十六页，共96页。定理二证利用导数的定义来证.第四十六页46第四十七页，共96页。由于积分与路线无关,第四十七页47第四十八页，共96页。第四十八页48第四十九页，共96页。由积分的估值性质,第四十九页49第五十页，共96页。此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]第五十页50第五十一页，共96页。2.原函数的定义:原函数之间的关系:证第五十一页51第五十二页，共96页。那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]第五十二页52第五十三页，共96页。3.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)第五十三页53第五十四页，共96页。证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.第五十四页54第五十五页，共96页。典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,第五十五页55第五十六页，共96页。例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)第五十六页56第五十七页，共96页。例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,第五十七页57第五十八页，共96页。例3另解此方法使用了微积分中“分部积分法”第五十八页58第五十九页，共96页。例4解利用分部积分法可得课堂练习答案第五十九页59第六十页，共96页。例5解第六十页60第六十一页，共96页。例6解所以积分与路线无关,根据牛—莱公式:第六十一页61第六十二页，共96页。2.4柯西公式

柯西积分公式:

若f(z)在闭单通区域B上解析，l为B境界线，

为B内的任一点，那么证明：由于只需证明第六十二页62第六十三页，共96页。如果l是圆周z=

+reiθ，这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。

若f(z)在l所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点后的复通区域。在复通区域上f(z)解析，显然柯西公式仍然成立，只要将l理解为所有境界线，并且其方向均取正向。

定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为：其中l为解析区域内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线。第六十三页63第六十四页，共96页。Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）设f(z)在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有则f(z)在G内解析。证明：由路径无关性，定义f(z)

的连续性0所以F(z)解析，其导数为f(z)，再由高阶导数的存在性，f(z)在G内解析。第六十四页64第六十五页，共96页。模数定理：f(z)在某个闭区域上解析，则|f(z)|只能在境界线上取极大值应用柯西公式证明：对若|f(z)|在l上极大值为M，|z|的极小值为

，l的长为s第六十五页65第六十六页，共96页。

Liouville定理：如

f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|

N，则

f(z)必为常数。半径为R的园周总结复数复数函数复数函数单值复数函数多值复数函数单值复数函数单值函数与实变函数相似两个二元实变函数的有序组合重点第六十六页66第六十七页，共96页。奇点柯西定理及推论极限连续积分导数(微分)解析函数解析区域柯西公式高阶导数公式u,v可微C-R条件点点可导(不解析的点)积分区域有无奇点第六十七页67第六十八页，共96页。典型例题例1解第六十八页68第六十九页，共96页。由柯西积分公式第六十九页69第七十页，共96页。例2解由柯西积分公式第七十页70第七十一页，共96页。例3解由柯西积分公式第七十一页71第七十二页，共96页。例４解根据柯西积分公式知,第七十二页72第七十三页，共96页。例5解第七十三页73第七十四页，共96页。例5解第七十四页74第七十五页，共96页。由闭路复合定理,得例5解第七十五页75第七十六页，共96页。例6解根据柯西积分公式知,第七十六页76第七十七页，共96页。比较两式得第七十七页77第七十八页，共96页。例1解第七十八页78第七十九页，共96页。第七十九页79第八十页，共96页。根据复合闭路定理第八十页80第八十一页，共96页。第八十一页81第八十二页，共96页。例2解第八十二页82第八十三页，共96页。第八十三页83第八十四页，共96页。例3解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得第八十四页84第八十五页，共96页。第八十五页85第八十六页，共96页。课堂练习答案第八十六页86第八十七页，共96页。例4解第八十七页87第八十八页，共96页。根据复合闭路定理和高阶导数公式,第八十八页88第八十九页，共96页。第八十九页89第九十页，共96页。例5(Morera定理)证依题意可知第九十页90第九