4.3等比数列（十四大题型）（原卷版）

4．3等比数列课程标准学习目标1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．2、探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．4、体会等比数列与指数函数的关系．1、能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值．2、能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式．3、掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算．4、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．5、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点01等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知识点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列；⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了．【即学即练1】（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（

）．A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列知识点02等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．知识点诠释：①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项．②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一．③当时，、、成等比数列．④是、、成等比数列的必要不充分条件．【即学即练2】（2023·广西桂林·高二校考期中）已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于.知识点03等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义可得：∴；；；……当n=1时，上式也成立∴归纳得出：（2）叠乘法：根据等比数列的定义可得：，，，……，把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知识点诠释：①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况．【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（

）A． B．C． D．知识点04等比数列的性质设等比数列的公比为①若，且，则，特别地，当时．②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．【即学即练4】（2023·广西钦州·高二钦州一中校考期中）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是.知识点05等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则：（1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点．①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列；③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列．（3）当时，等比数列是摆动数列．知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列．【即学即练5】（2023·河南信阳·高二统考期末）已知等差数列、等比数列的前项和之积为，设等差数列的公差为、等比数列的公比为，以下正确的所有序号为.①；②；③；④.知识点06等比数列的前n项和公式等比数列的前项和公式推导过程：（1）利用等比性质由等比数列的定义，有根据等比性质，有所以当时，或．（2）错位相减法等比数列的前n项和，①当时，，；②当时，由得：所以或．即知识点诠释：①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法．②在求等比数列前项和时，要注意区分和．③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．【即学即练6】（2023·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）若等比数列的前n项和为，且，，求.知识点07等比数列前n项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．【即学即练7】（2023·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．知识点08等比数列前n项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．【即学即练8】（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（

）A．65 B．80 C．90 D．105【方法技巧与总结】等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量．题型一：等比数列的判断例1．（2023·新疆伊犁·高二统考期中）如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（

）A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍例2．（2023·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）数列的前n项和，则（

）A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列例3．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知数列，则“”是“为等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．（2023·上海浦东新·高二统考期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（

）A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既不充分又非必要条件．变式2．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，则（

）A． B．5 C． D．【方法技巧与总结】一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．题型二：等比数列的通项公式及其应用例4．（2023·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．例5．（2023·福建漳州·高二校考阶段练习）在等比数列中，，，则首项等于（

）A．2 B．1 C． D．例6．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A． B． C．32 D．64变式3．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2变式4．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的公比（

）A．2 B． C．2或 D．或变式5．（2023·黑龙江大庆·高二校考期末）已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．题型三：等比数列的证明例7．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知数列满足，

(1)求(2)若，求证数列是等比数列并求数列的通项公式(3)求数列的通项公式例8．（2023·高二课时练习）已知数列满足：，．(1)求证：为等比数列；(2)求的通项公式．例9．（2023·天津北辰·高二校考期末）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.(1)求的通项公式；(2)证明：是等比数列.变式6．（2023·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列的通项公式．变式7．（2023·上海浦东新·高二统考期末）已知数列的前项和为，且N(1)求证:数列是等比数列;(2)数列，求数列的前项和.【方法技巧与总结】1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列．4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．题型四：等比中项及应用例10．（2023·吉林·高二校联考期末）在等比数列中，，，则与的等比中项为例11．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）5和15的等比中项是.例12．（2023·高二课时练习）在等比数列中，，则和的等比中项为．变式8．（2023·高二课时练习）与的等比中项为．变式9．（2023·高二校考课时练习）已知成等差数列，成等比数列，则.【方法技巧与总结】（1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项．（3）a，G，b成等比数列等价于．题型五：等比数列的实际应用例13．（2023·全国·高二随堂练习）计算机的价格不断降低，若每年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为（

）．A．300元 B．900元 C．2400元 D．3600元例14．（2023·北京·高二校考期中）我国古代哲学著作《庄子》中有一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截去一半，永远也截不完.从数学上来说，如果木棍初始长度为1，记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为，则数列的各项依次为（

）A．1，，，，… B．，，，，…C．，，，，… D．，，，，…例15．（2023·全国·高二专题练习）党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署．某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（

）A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人变式10．（2023·全国·高三专题练习）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（

）A． B． C． D．变式11．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（

）A．2 B． C． D．3【方法技巧与总结】等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．题型六：等比数列性质的应用例16．（2023·甘肃白银·高二校考阶段练习）正项等比数列中，，则的值是．例17．（2023·新疆喀什·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则.例18．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）在各项均为正数的等比数列中，若，则．变式12．（2023·新疆·高二校考期中）已知递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去后成等差数列.则的公比为.变式13．（2023·山东青岛·高二校联考期中）正项等比数列中，，是方程的两个根，则.变式14．（2023·上海黄浦·高二统考期末）在正项等比数列中，有，则；变式15．（2023·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）正项等比数列中，若，则.变式16．（2023·辽宁阜新·高二校考期中）若等比数列满足，，则．变式17．（2023·安徽滁州·高二校考期末）在等比数列中，，，则等于．变式18．（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等比数列中，若，，则.【方法技巧与总结】利用等比数列的性质解题（1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．（2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．题型七：灵活设元求解等比数列问题例19．（2023·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数．例20．（2023·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数.例21．（2023·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．变式19．（2023·江苏·高二课时练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数．变式20．（2023·全国·高二专题练习）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数.变式21．（2023·全国·高二课时练习）已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．【方法技巧与总结】几个数成等比数列的设法（1）三个数成等比数列设为．推广到一般：奇数个数成等比数列设为，（2）四个符号相同的数成等比数列设为．推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为，（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为．题型八：等比数列前项和的有关计算例22．（2023·上海静安·高二校考阶段练习）求和：.例23．（2023·甘肃白银·高二校考阶段练习）若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则．例24．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则变式22．（2023·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为.变式23．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期中）在等比数列中，已知，，，则的值为．【方法技巧与总结】等比数列前n项和运算的技巧（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体．（3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．题型九：等比数列前项和的性质例25．（2023·江西吉安·高二吉安三中校考期末）等比数列的前项和，则的值为.例26．（2023·广东·高二统考阶段练习）若等比数列的前n项和，则．例27．（2023·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）若等比数列的前n项和，则．变式24．（2023·江西萍乡·高二统考期中）已知等比数列的前项和为，若，则.【方法技巧与总结】处理等比数列前项和有关问题的常用方法（1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．（2）灵活运用等比数列前项和的有关性质．题型十：递推公式在实际问题中的应用例28．（2023·湖南·高二期末）年月日日，备受瞩目的年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行．假设年株洲轨道产业的年利润为百亿元，预计从年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少百亿元，设从年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为、、、.(1)请用一个递推关系式表示与之间的关系．(2)证明：数列为等比数列．(3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．例29．（2023·全国·高二单元测试）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（2）若，求数列的前项和．例30．（2023·全国·高二课时练习）某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．（参考数据：，，）变式25．（2023·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方公里，则第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系如下：；(1)证明是等比数列并求通项公式；(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（）变式26．（2023·上海市松江二中高一期末）在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）【方法技巧与总结】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．题型十一：利用错位相减法求数列的前项和例31．（2023·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.例32．（2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期中）已知数列满足：，，设．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和．例33．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.变式27．（2023·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.变式28．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．变式29．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知数列满足（）(1)求数列的通项公式：(2)设为数列的前项和【方法技巧与总结】错位相减法的适用范围及注意事项（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和．（2）注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式．②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况．题型十二：等比数列中与的关系例34．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知数列的前n项和分别为，且，(1)求数列的通项公式(2)求的通项公式例35．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和为，．证明：(1)数列为等比数列；(2)当时，．例36．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．变式30．（2023·吉林辽源·高二校联考期末）已知数列的前n项和为，且，.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和.变式31．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立.①，②，③.变式32．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和为，，．(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．变式33．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【方法技巧与总结】与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．题型十三：等比数列片段和的性质例37．（2023·贵州黔南·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（

）A．13 B．16 C．9 D．12例38．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．3例39．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．变式34．（2023·高二课时练习）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（

）A．64 B．66 C． D．变式35．（2023·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（

）A．85 B．64 C．84 D．21变式36．（2023·河南南阳·高二统考期中）设等比数列的前项和为10，前项和为60，则该数列的前项和为（）A．360 B．720C．1560 D．1800【方法技巧与总结】若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．题型十四：等比数列的奇数项与偶数项和例40．（2023·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8 B． C．4 D．2例41．（2023·高二课时练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．例42．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．60变式37．（2023·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8变式38．（2023·江西南昌·高一南昌二中阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（

）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8【方法技巧与总结】等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．一、单选题1．（2023·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为．若，则等于（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（

）万元．A． B． C． D．3．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在等比数列中，，则其公比q的值为（

）A． B． C．1或 D．﹣1或4．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）已知等比数列的前n项和为，，.则公比q等于（

）A．或 B． C．1 D．1或5．（2023·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．6．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（

）A．126 B．128 C．254 D．2567．（2023·天津津南·高二校考期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．没有最大值二、多选题9．（2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期中）设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（

）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若（A，B为常数），则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等比数列，则也成等比数列10．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）在数列中，，，下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列B．数列是等差数列C．D．数列是递增数列11．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）某高中通