甘肃省3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】

九年级数学上学期期末复习培优综合练习-人教版九年级中考

数学真题汇编（甘肃省）

­.一元二次方程的解（共1小题）

1.（2020•甘肃）已知x=1是一元二次方程（《?-2），+4x-/??2=0的一个根，则，”的值为

（）

A.-1或2B.-IC.2D.0

二.解一元二次方程-配方法（共3小题）

2.（2022•甘肃）用配方法解方程7-2%=2时，配方后正确的是（）

A.（x+1）2=3B.（x+1）2=6C.（x-1）2=3D.（x-1）2=6

3.（2021•兰州）解方程：x2-6x-1=0.

4.（2021•兰州）解方程：/+4x-l=0.

三.解一元二次方程-因式分解法（共2小题）

5.（2020•兰州）一元二次方程x（%-2）=x-2的解是（）

A.XiB.xi1C・xi=0,X2=2D.x\-1,

6.（2020•天水）一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程/-8x+12=0的根，

则该三角形的周长为.

四.根的判别式（共2小题）

7.（2022•兰州）关于x的一元二次方程k^+2x-1=0有两个相等的实数根，则k=（）

A.-2B.-IC.0D.1

8.（2021•甘肃）关于x的方程/-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是

五.二次函数的性质（共3小题）

9.（2022•兰州）已知二次函数y=2f-4尤+5,当函数值y随尤值的增大而增大时，x的取

值范围是（）

A.x<lB.x>\C.x<2D.x>2

10.（2021•兰州）二次函数y=，+4x+l的图象的对称轴是）

A.x=2B.x=4C.x=-2D.-4

11.（2021•兰州）二次函数y=/+lv+2的图象的对称轴是）

A.x=-1B.x=-2C.x=\D.x=2

六.二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）

12.(2020•兰州)点A(-4,3),B(0,k)在二次函数y=-(x+2)?+：的图象上,则k

七.二次函数的应用（共2小题）

13.（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞

行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：，"）与飞行时间t

（单位：s）之间具有函数关系：/z=-5p+20r,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时

间t—s.

14.（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名

女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（，"）与水平距离x（相）之

间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为$,“，当水平距离为3m时，实心球行进

3

至最高点3m处.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从

起点到落地点的水平距离大于等于6.70〃?，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考

试中是否得满分，请说明理由.

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》

A.二次函数综合题（共8小题）

15.（2022•兰州）如图，在Rt△力BC中，NACB=90°，AC=3cm,BC=4cm,M为AB边

上一动点，BNLCM,垂足为M设A,"两点间的距离为xc/n（0&W5）,B,N两点

间的距离为yc/w(当点M和B点重合时，B,N两点间的距离为0).

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

(1)列表：下表的已知数据是根据A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别

得到了y与尤的几组对应值：

xlctn00.511.51.822.533.544.55

ylem43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

请你通过计算，补全表格：。=:

(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画

出函数y关于x的图象；

3।-----rr

II

II

2।-----r

1

x

(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；

(4)解决问题：当8N=2AM时，AM的长度大约是cm.(结果保留两位小数)

16.(2022•甘肃)如图I,在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x+3)(x-“)与x轴交于A,

4

B(4,0)两点，点C在y轴上，S.OC=OB,D,E分别是线段AC,A8上的动点(点

D,E不与点A,B,C重合).

(1)求此抛物线的表达式；

(2)连接。E并延长交抛物线于点P,当轴，且AE=1时，求QP的长;

(3)连接8D.

①如图2,将△BCD沿x轴翻折得到△BFG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

01图2图3

17.(2021•兰州)如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)图象交坐标轴于点A,B(0,-2),

点尸为x轴上一动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点P作轴分别交线段AB,抛物线于点。，C,连接AC.当OP=1时，

求△ACQ的面积；

(3)如图2,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段尸。.当点。在抛物线上时，

图1图2

18.(2021•兰州)如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A,B(0,-

2),点P为x轴上一动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点P作PQ，x轴分别交线段AB,抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时，

求△4C。的面积；

(3)如图2,将线段绕点P逆时针旋转90°得到线段尸D

①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；

②点E(2,-互)在抛物线上，连接尸E,当PE平分NBPO时，直接写出点P的坐标.

3

19.(2021•甘肃)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=工？+反+c与坐标轴交于A(0,

2

-2),B(4,0)两点，直线BC：y=-2x+8交y轴于点C.点0为直线AB下方抛物线

上一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,OG分别交直线8C,A8于点E,F.

(1)求抛物线>>=景+以+c的表达式；

(2)当GF=」时，连接8。，求ABO尸的面积；

2

(3)①，是)，轴上一点，当四边形BE”尸是矩形时，求点”的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足P4=PC+2,求周长的最小值.

20.(2020•兰州)如图，二次函数)=y+fcc+c的图象过点A(4,-4),B(-2,m),交

y轴于点C(0,-4).直线80与抛物线相交于另一点。，连接AB,A。，点E是线段

A8上的一动点，过点E作E/〃交于点F.

(1)求二次函数y=」』+/?x+c,的表达式；

4

(2)判断△A3。的形状，并说明理由：

(3)在点E的运动过程中，直线8。上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形，请判断

此时AG与8。的数量关系，并求出点E的坐标；

(4)点H是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点P是平面内使得NEPF=90°的点，

在抛物线的对称轴上，是否存在点Q,使得△HPQ是以/PQH为直角的等腰直角三角形,

若存在，直接写出符合条件的所有点。的坐标；若不存在，请说明理由.

21.(2020•天水)如图所示，抛物线)=0?+云+。(aWO)与x轴交于A、B两点,与y轴

交于点C,且点A的坐标为4(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=l.点

。是抛物线上一个动点，设点。的横坐标为〃7(1〈机〈4),连接AC,BC,DC,DB.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的3时，求，"的值;

4

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否

存在这样的点M,使得以点8,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直

接写出点例的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（2020•甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+bx-2交x轴于A,B两点,

交y轴于点C,且OA=2OC=8。&点尸是第三象限内抛物线上的一动点.

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若PC〃/1B,求点尸的坐标；

（3）连接AC,求△B4C面积的最大值及此时点P的坐标.

九.圆周角定理（共4小题）

23.（2022•兰州）如图，△A8C内接于是00的直径，/AC£>=40°,则NB=

（）

24.(2021•甘肃)如图，点A,B,C,D,E在。。上，AB=CD,ZAOB=42°,则/CEO

=()

E

A.48°B.24°C.22°D.21°

25.（2020•兰州）如图，AB是。。的直径，若NBAC=20°,则NAOC=（）

C.70°D.80°

26.（2020•甘肃）如图，4是。。上一点，8C是直径，AC=2,AB=4,点。在00上且平

C.275D.V10

一十.圆内接四边形的性质（共1小题）

27.（2022•甘肃）如图，。0是四边形ABCD的外接圆，若NA8C=110°,则NADC

直线与圆的位置关系（共1小题）

28.（2020•天水）如图，在△48C中，ZC=90°,4。平分NBAC交BC于点。，点。在

AB上，以点。为圆心，04为半径的圆恰好经过点。，分别交AC、AB于点E、F.

（1）试判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由：

（2）若80=2代，AB=6,求阴影部分的面积（结果保留IT）.

一十二.切线的性质（共2小题）

29.（2020•天水）如图所示，PA,PB分别与。0相切于A、B两点，点C为。。上一点,

连接AC、BC,若NP=70°,则NAC8的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

30.（2020•甘肃）如图，。。是△ABC的外接圆，其切线4E与直径8。的延长线相交于点

E,且AE=A8.

（1）求NACB的度数；

（2）若。E=2,求。。的半径.

一十三.弧长的计算（共3小题）

31.（2022•甘肃）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（窟），点

。是这段弧所在圆的圆心，半径0/1=90%,圆心角N4OB=80°,则这段弯路（窟）的

长度为（）

C.40nmD.50Tlm

32.（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm,转动轮转n,传送带上的

物品A被传送12Tte7",则n

33.（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm,转动轮转,传送带上的

物品A被传送6ncm,则n=

一十四.扇形面积的计算（共3小题）

34.（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部

分示意图如图2所示，它是以。为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角/。=120°形

成的扇面，若OA=3，〃，02=15",则阴影部分的面积为（）

35.（2021•甘肃）如图，从一块直径为4面2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,

则此扇形的面积为dm2.

36.（2020•甘肃）若一个扇形的圆心角为60°,面积为工cm?,则这个扇形的弧长为

6

cm（结果保留n）.

一十五.圆锥的计算（共1小题）

37.（2020•天水）如图所示，若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接

缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是.

一十六.旋转的性质（共2小题）

38.（2020•天水）如图，在边长为6的正方形A8CQ内作NEAF=45°,AE交BC于点E,

AF交CO于点凡连接EF,将△△£>F绕点A顺时针旋转90°得到△A8G.若。尸=3,

39.（2020•甘肃）如图，点M,N分别在正方形ABC。的边BC,CD上，且/M4N=45°.把

△ADV绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.

（1）求证：四△AMW.

（2）若8M=3,DN=2,求正方形ABC。的边长.

D

一十七.中心对称图形（共1小题）

40.（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

一十八.概率公式（共3小题）

41.（2022•兰州）无色酚酸溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常

情况下酚醐溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色.现有5瓶缺

失标签的无色液体：蒸储水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酿

试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）

A.AB.2C.旦D.A

5555

42.（2021•兰州）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1

的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个

面被涂色的概率为（）

A.9B.-LC.2D.

2727927

43.（2021•兰州）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1

的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一

个面被涂色的概率为（）

2792727

一十九.列表法与树状图法（共4小题）

44.（2022•甘肃）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家

口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：儿云顶滑雪公园、B.国

家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿

者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.

（1）小明被分配到D国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？

（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.

45.（2020•兰州）某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育

研学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：

A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；

B：陇南市两当兵变纪念馆；

C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；

D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆.

小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地，请你用树状图或列表的方法

求出小宁和小丽抽到同一地点的概率.

46.（2020•天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴

趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意

四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.

不满意

满意程度

请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为度；

（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，己

知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一

男一女”的概率.

47.（2020•甘肃）2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一.截

至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：

平凉岭附山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七

彩丹霞景区.张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩.

（1）张帆一家选择氏张掖七彩丹霞景区的概率是多少？

（2）若张帆一家选择了氏张掖七彩丹霞景区，他们再从A,B,C,。四个景区中任选

两个景区去旅游，求选择A,。两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）.

二十.利用频率估计概率（共3小题）

48.（2022•兰州）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树

在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情

况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000

幼树移植成活数878934485722489831344318044

（棵）

幼树移植成活的频0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

率

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是.（结果精确到0.1）

49.（2020•甘肃）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中

放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出•个

球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85

左右，估计袋中红球有个.

50.（2021•甘肃）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜

色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回

箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，

求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

九年级数学上学期期末复习培优综合练习-人教版九年级中考

数学真题汇编（甘肃省）

参考答案与试题解析

一.一元二次方程的解（共1小题）

1.（2020•甘肃）已知x=l是一元二次方程（川-2）/+4x-#=o的一个根，则根的值为

（）

A.-1或2B.-1C.2D.0

【解答】解：把x=l代入（m-2）7+4x-形2=0得：

m-2+4-〃?2=o,

-m2+m+2=0,

解得：mi=2,mi--1,

V（/7?-2）X2+4X-m2=0是一元二次方程，

••in-2W0,

••他W2,

••"?=-1,

故选：B.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等

于0.

二,解一元二次方程.配方法（共3小题）

2.（2022•甘肃）用配方法解方程X?-2%=2时，配方后正确的是（）

A.（x+1）2=3B.（x+1）2=6C.（x-1）2=3D.（x-1）2=6

【解答】解：?-2x=2,

x2-2x+l—2+1,即（x-1）2=3.

故选：C.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步

骤是解决问题的关键.

3.（2021•兰州）解方程:?-6x-1=0.

【解答】解：x2-6x-1=0,

移项得：x2-6x=l,

配方得：?-6x+9=10,即(x-3)2=10,

开方得：X-3=±JI5，

贝!]XI=3+V15，X2—3--/10.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系

数化为1,常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全

平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解.

4.(2021•兰州)解方程：/+4x-l=0.

【解答】解：：X2+4X-1=0

.•.7+4x=l

•*.x2+4x+4=1+4

(JC+2)2=5

-2±V5

.,.xi-2+A/5>X2=-2-y/S-

【点评】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2

的倍数.

三.解一元二次方程-因式分解法(共2小题)

5.(2020•兰州)一元二次方程x(x-2)=x-2的解是()

A.Xi=x2=0B.x\=x2=lC.xi=0,X2=2D.XI=1,x2=2

【解答】解：x(x-2)=x-2,

移项，得

x(x-2)-(x-2)=0,

提公因式，得

(x-2)(%-1)=0,

Ax-2=0或x-1=0,

解得XI=2,X2=1-

故选：D.

【点评】本题考查解解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解

方程.

6.(2020•天水)一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程/-8x+12=0的根，

则该三角形的周长为13.

【解答】解：•.•/-8x+12=0,

二(x-2)(x-6)=0,

•・xi=2,X2^6,

•三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程7-8x+12=0的根，2+2<5,2+5>6,

三角形的第三边长是6,

,该三角形的周长为：2+5+6=13.

故答案为：13.

【点评】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关

性质及定理是解题的关键.

四.根的判别式(共2小题)

7.(2022•兰州)关于x的一元二次方程去1=0有两个相等的实数根，则&=()

A.-2B.-IC.0D.1

【解答】解：根据题意得且A=2?-4kX(-1)=0,

解得％=-1.

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c=0(aW0)的根与A=h2-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当AV0时，方程无实数根.

8.(2021•甘肃・)关于x的方程/-2x+A=0有两个相等的实数根，则♦的值是1.

【解答】解：\•关于x的方程/-2x+A=0有两个相等的实数根，

；.△=(-2)2-4XlXk=0,

解得：k=l.

故答案为：1.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=()时，方程有两个相等的实数根”是解题

的关键.

五.二次函数的性质（共3小题）

9.（2022•兰州）已知二次函数y=2/-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时，x的取

值范围是（）

A.x<1B.x>1C.x<2D・x>2

【解答】解：：尸2?-4x+5=2（x-1）2+3,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

时，y随x增大而增大，

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

10.（2021•兰州）二次函数y=』+4x+l的图象的对称轴是（）

A.x=2B.x=4C.x=-2D.x=-4

【解答】解：•••二次函数y=f+4x+l,

二抛物线对称轴为直线x=---2.

2X1

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称轴为直线x=一且.

2a

11.（2021•兰州）二次函数），=7+公+2的图象的对称轴是（）

A.x=-1B.x=-2C.x=lD.x=2

【解答】解：,.•y=f+2x+2中。=1,b=2,

...抛物线对称轴为直线X=-M=-1.

2a

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称轴为直线X=-a.

2a

六.二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）

12.（2020•兰州）点A（-4,3）,B（0,k）在二次函数y=-（x+2）2+力的图象上,则一

=3・

【解答】解：由二次函数y=-（X+2）2+%可知，抛物线的对称轴为直线x=-2,

•"•A（-413）关于对称轴的对称点为（0,3）1

•：B（0,k）在二次函数y=-G+2）?+/,的图象上，

•••点B就是点A的对称点，

：.k=3,

故答案为3.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标适合解析

式是解题的关键.

七.二次函数的应用（共2小题）

13.（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞

行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：，〃）与飞行时间t

（单位：s）之间具有函数关系：h=-5?+20r,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时

间t=2s.

【解答】解：•:h=-5»+20f=-5G-2）2+20,

且-5<0,

当，=2时，人取最大值20,

故答案为：2.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式.

14.（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名

女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（机）与水平距离x（加）之

间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为包〃，当水平距离为3〃?时，实心球行进

3

至最高点3"?处.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从

起点到落地点的水平距离大于等于6.70〃?，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考

试中是否得满分，请说明理由.

图1图2

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》

【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y=a（x-3）2+3,

把（0,1）代入解析式得：5=a（0-3）2+3,

33

解得：a=-A,

27

关于x的函数表达式为3>=（x-3）2+3；

27

（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：

令y=0,则-且（x-3）2+3=0,

27

解得：xi=7.5,X2=-1.5（舍去），

V7.5>6.70,

该女生在此项考试中是得满分.

【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题

转化为方程为题.

A.二次函数综合题（共8小题）

15.（2022•兰州）如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=3c〃?，8c=4c〃?，M为AB边

上一动点，BN±CM,垂足为M设A,M两点间的距离为（0WxW5）,B,N两点

间的距离为ycm（当点M和8点重合时，B,N两点间的距离为0）.

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

（1）列表：下表的已知数据是根据A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别

得到了y与x的几组对应值：

xlctn00.511.51.822.533.544.55

ylem43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

请你通过计算，补全表格：a=3.2；

(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画

出函数y关于x的图象；

(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：y随x的增大而减小；

(4)解决问题：当BN=2AM时，AM的长度大约是1.67cm.(结果保留两位小数)

【解答】解：(1)如图,

在RtZXABC中，AC=3,BC=4,根据勾股定理得，AB=5,

过点C作CATLAB于M,

SAABC=AABC=AAB•CAT,

22

ACM'=12,

5

在RtZ\AC"中，根据勾股定理得，AM=^AC2-CM/2=1-8,

当x=1.8时，点M与点”重合，

■:BN人CM,

.•.点M,N重合，

:.a=BN=BM=AB-AM=3.2,

故答案为：3.2；

(2)如图所示,

故答案为：y随x的增大而减小;

(4)借助表格和图象得，当BN=2AM时，AM的长度大约是1.67a”，

故答案为：1.67.

【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是

解本题的关键.

16.(2022•甘肃)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线)，=工(户3)(x-a)与x轴交于A,

4

B(4,0)两点，点C在)，轴上，且OC=OB,D,E分别是线段AC,AB上的动点(点

D,E不与点A,B,C重合).

(1)求此抛物线的表达式；

(2)连接。E并延长交抛物线于点尸，当。轴，且AE=1时，求QP的长；

(3)连接BD.

①如图2,将△BCC沿x轴翻折得到△BFG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

图1图2图3

【解答】解：(1)•抛物线y=q(x+3)(x-a)与x轴交于A,B(4,0)两点,

AA(4+3)(4-a)=0,

4

解得a=4,

.\y=—(x+3)(x-4)--kx-3,

,444

即抛物线的表达式为y=y--3；

(2)在(x+3)(x-4)中，令y=0,得了=-3或4,

4

・・・A(-3,0),OA=3,

OC=OB=4,

：.C(0,4),

：.DE=AE^anZCAO=AE^^-=1X9=9，OE=OA-AE=3-1=2,

0A33

：.E(-2,0),

•・・DE_Lx轴，

..XP=XD=XE=-2,

Ayp=-1.(-2+3)(-2-4)=-—)

42

2

DP=DE+PE=_l+3=JZ；

326

(3)①如下图，连接力G交48于点例,

：.DG±AB,DM=GM,

设0M=〃(a>0),则AM=OA-0M=3-a,

MG=MD=AM'tanZCAO=^.(3-a),

3

：.G(-a,A(n-3)),

3

•.•点G(-a,A(67-3))在抛物线)，=2(x+3)(x-4)上，

3-4

/.A(-a+3)(-a-4)=—(a-3),

43

解得4=4或3(舍去)，

3

：.G(-A,-20)；

39

②如下图，在AB的下方作/EAQ=NOC8,且AQ=BC,连接EQ,CQ,

"：AE=CD,

：./\AEQ^/\CDB(SAS),

：.EQ=BD,

...当C、E、。三点共线时，8O+CE=EQ+CE最小，最小为C。,

过点C作Ca_LAQ,垂足为”，

：OC_LOB,0C=0B=4,

：.ZCBA=45°,8c=4衣，

•.,/CAH=180°-NC4B-NE4Q=180°-ZCAB-ZDCB^ZCBA=45°,

AC=VOA2-K)C2=V32+42=5,AH=CH=J^AC=84,

HQ=AH+AQ=AH+BC=^L+4加

.•.02-皿2=小(平产+(^1)2=收，

即8D+CE的最小值为收；

方法二：过点C作CF〃x轴，使得CF=AC,作BGLFC延长线于点G,

J.ZFCA^ZCAE,

又；CD=AE,CF=AC,

:.AFCD经ACAE(SAS),

：.FD=CE,

D、B三点共线时CE+BZ)=FD+8£)取到最小值,

•.•4C=5,C(0,4),B(4,0),

:・BF的长=Y(5+4)+42=V97.

【点评】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角

形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键.

17.(2021•兰州)如图1,二次函数y=a(x+3)Q-4)图象交坐标轴于点A,B(0,-2),

点P为x轴上一动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点尸作PQLx轴分别交线段AB,抛物线于点Q,C,连接AC当OP=1时，

求△AC。的面积；

(3)如图2,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时,

图1图2

【解答】解：(1)将B(0,-2)代入y=a(x+3)(x-4),

6

(x+3)(x-4)

666

(2)令y=0,则(x+3)(x-4)=0,

6

J.x=-3或x=4,

.♦.A(4,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b>

.[b=-2

l4k+b=0，

b=~2

1r-2,

2

V。尸=1,

：.P(1,0),

・・/0_Lx轴,

：.Q(1,-3),c(1,-2),

2

：.AP=3,

•'•SMCQ=S^CP-SA4PQ=LX3X2-_lx3义旦=旦；

2224

(3)设PG,0),

如图2,过点。作x轴垂线交于点M

；NBPD=90°,

；.NOPB+NNPD=90°,ZOPB+ZOBP=90°,

：.NNPD=NOBP,

,:BP=PD,

：./\PND^^BOP(A4S),

：.OP=ND,BO=PN,

：.D(r+2,-f),

-f=A(f+2+3)(r+2-4),

6

解得r=l或f=-10,

图2

图1

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解

析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，熟练掌握二次函数的图象

及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键.

18.(2021•兰州)如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A,B(0,-

2),点P为x轴上一动点.

图2

(1)求二次函数y=a(x+3)(X-4)的表达式;

(2)过点P作轴分别交线段AB,抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时,

求aACQ的面积;

(3)如图2,将线段P8绕点尸逆时针旋转90°得到线段尸口

①当点。在抛物线上时，求点。的坐标;

②点E(2,-$)在抛物线上，连接PE,当PE平分NBPO时，直接写出点P的坐标.

3

【解答】解：(1)将8(0,-2)代入y=a(x+3)(x-4),

6

.,.y—A(x+3)(x-4)=-kr2--kr-2；

666

(2)令y=0,贝壮(x+3)(%-4)=0,

6

'.x--3或x=4,

AA(4,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

,Jb=-2,

-l4k+b=0,

・♦«N,

b=-2

.*.y=—x-2,

,2

'：OP=1,

：.P(1,0),

・*QL轴,

：.Q(1,-2),C(1,-2),

2

：.AP=3,

-,-S£,ACQ—S^ACP-S^APQ——X3X2-」X3x3=3；

2224

(3)①设尸(t,0),

如图2,过点。作x轴垂线交于点M

；NBPD=90°,

；.NOPB+NNPD=90°,ZOPB+ZOBP=90°,

：.ZNPD=ZOBP,

,:BP=PD,

:./XPNDWABOP(A4S),

：.OP=ND,BO=PN,

：.D(t+2,-t),

：.-(r+2+3)(f+2-4),

6

解得f=l或，=-10,

：.D(3,-1)或O(-8,10)；

②如图3,〈PE平分NBPD,

：.ZBPE=ZEPDf

'：ZBPD=90°,

：.ZBPE=45°,

当PE〃y轴时.,NOBP=45°,

：.P(2,0)；

如图4,过3点作5GL尸5交PE于点G,过G点作FG，.y轴，交于点F,

•：NPBF+NFBG=90°,NFBG+NFGB=90°,

:./PBF=/FGB,

VZBPG=45°,

:.BP=BG,

:•△BPOW/\GBF(A4S),

；.BF=OP,FG=OB,

•・・OB=2,

：.FG=2,

,：E(2,-5)

3

，E点与G点重合，

P0=BF=2-互=工,

33

：.P（-Xo）；

3

综上所述：P点的坐标为（2,0）或（-工，0）.

【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，分类讨论,

数形结合是解题的关键.

19.(2021•甘肃)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=[2+bx+c•与坐标轴交于A(0,

2

-2),B(4,0)两点，直线BC：y=-2x+8交y轴于点C.点。为直线AB下方抛物线

上一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,OG分别交直线BC,AB于点E,F.

(1)求抛物线y=*/+6x+c的表达式；

(2)当6尸=工时，连接B。，求△BO尸的面积；