2022年广东省广州市南沙区九年级数学二模试卷

2022年广东省广州市南沙区九年级数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．若a与b互为相反数，则（

）A． B． C． D．3．有一组数据：2，﹣2，2，4，6，7这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．4 D．64．如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，则∠BCA的度数为（）A．25° B．50° C．65° D．75°5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（A．40° B．70° C．110° D．140°6．下列命题中是真命题的是（

）A．不等式的最大整数解是B．方程有两个不相等的实数根C．八边形的内角和是D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．58．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y＜5 B．﹣4＜y＜5 C．﹣3≤y≤5 D．﹣4＜y＜﹣39．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（）A．3 B．8 C．2 D．10．已知，直线l:与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线l上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为（）A． B．3 C． D．二、填空题11．因式分解：．12．某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账，其中不打折的概率为．13．某楼梯的侧面如所述，测得，，则该楼梯的高度．14．若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第象限．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB=AC=4，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以为边，作矩形，与相交于点H．则下列结论：①；②若，则；③；④当F是的中点时，．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．．18．解方程：2（x+1）2=x+1．19．小鹏和小娟玩一种游戏：小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5，小娟有两张扑克牌6、7，现二人各自把自己的牌洗匀，小鹏从小娟的牌中任意抽取一张，小娟从小鹏的牌中任意抽取一张，计算两张数字之和，如果和为奇数，则小鹏胜；如果和为偶数则小娟胜．（1）用列表或画树状图的方法，列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．20．一副直角三角板如图放置，点A在延长线上，，，，(1)求的度数；(2)若取，试求的长（计算结果保留两位小数）21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高，当无机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．（结果保留小数点后一位．，）22．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上的一个动点，已知A（﹣2，0）、C（0，﹣2），且抛物线的对称轴是直线x＝1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB，则PC+PB的最小值是；(3)连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB＝60°，请求出P点坐标．24．（1）证明推断如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．①求证：；②推断：的值为______；（2）类比探究如图2，在矩形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）的条件下，连接CE，当，时，若，求EF的长．参考答案：1．A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】将A图沿竖直的直线折叠，直线两旁的部分能重合，可知A图是轴对称图形，将A图绕中心旋转能本身重合，可知A是中心对称图形，所以A符合题意；将B图沿某直线折叠，直线两旁的部分不能重合，可知B图不是轴对称图形，将B图绕中心旋转能本身重合，可知B是中心对称图形，所以B不符合题意；将C图沿竖直的直线折叠，直线两旁的部分能重合，可知C图是轴对称图形，将C图绕某点旋转不能本身重合，可知C不是中心对称图形，所以C不符合题意；将D图沿某直线折叠，直线两旁的部分不能重合，可知D图不是轴对称图形，将D图绕某点旋转不能本身重合，可知D不是中心对称图形，所以D不符合题意．故选：A.【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能重合，这样的图形是轴对称图形，将某图形绕某点旋转能本身重合，这样的图形是中心对称图形．2．A【分析】根据互为相反数的两个数和为0，即可得到答案．【详解】解：∵a与b互为相反数，∴，故选：A．【点睛】本题考查相反数，互为相反数的两数和为0．3．B【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．【详解】解：将这组数据排序得：﹣2，2，2，4，6，7，处在第3、4位两个数的平均数为（4+2）÷2＝3，故选：B．【点睛】考查中位数的意义和求法，找一组数据的中位数需要将这组数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数．4．D【分析】根据证明，可得，根据三角形内角和定理即可求得的度数．【详解】解：在与中，，，，．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．5．B【分析】先证明再求解从而利用圆周角定理可得答案.【详解】解：∠OAB＝20°，故选B【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，证明是解本题的关键.6．C【分析】根据一元一次不等式的解法、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和公式、三角形的内心逐项判断即可得．【详解】A、不等式的解为，则其最大整数解是0，此项是假命题，不符题意；B、方程的根的判别式，则此方程没有实数根，此项是假命题，不符题意；C、八边形的内角和是，则此项是真命题，符合题意；D、三角形的内心到三角形的三条边的距离相等，则此项是假命题，不符题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和公式、三角形的内心，熟练掌握各公式和定义是解题关键．7．D【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵∴∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】先将二次函数的解析式化为顶点式，可得当时，该二次函数有最小值-4，从而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，然后把和分别代入，即可求解．【详解】解：∵，∴该二次函数图象的顶点坐标为，图象开口向上，∴当时，该二次函数有最小值-4，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，，当时，，∴当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．9．A【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵点A（－3，3），B（，），∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，∴OA＝＝6，OB＝＝3，∵tan∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，同理，∠BON＝30°，因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，由题意得，，解得，，因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，故选：A．【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．10．B【分析】取直线l与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接AD、AN，过B作BH⊥AN于H点，先求出直线l与坐标轴的交点坐标，然后再证明△AOD为等边三角形，再根据旋转的性质和等边三角形的性质得出有关边或角线段，利用SAS证明，得出，由于为定角，则可确定点N在定直线上，最后利用三角函数求出BH长即可．【详解】解：如图，取直线l与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接AD、AN，过B作BH⊥AN于H点，在中，令，则，∴令，则，∴，∴，，∵，D为AE的中点，∴，DO=DA=DE，∴，∴，∴∠OAB=60°，∴为等边三角形，∴，，∴，∵旋转，∴，，即，∴，∵，∴，∴，∵为定点，为定值，∴当在直线上运动时，也在定直线AN上运动，∵点B和点A关于y轴对称，∴（-，0），∴，∵，∴，则BN的最小值等于BH，为3．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定、勾股定理和三角函数，以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点在定直线上，通过垂线段最短的性质求BN的最小值．11．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．【分析】根据概率的计算方法，可得答案．【详解】P(不打折），故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．【分析】由的．【详解】解：在△ABC中，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．14．三【分析】把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可．【详解】由，得x=2+m．∵关于x的方程的解是负数，∴2+m＜0，解得m<-2∴(m，m+2)在第三象限故答案是：三．【点睛】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．15．【分析】连接，根据圆周角定理求出∠的度数，再由即可得出结论．【详解】连接，如图，∵AB是圆O的直径，AC为切线。AB=AC=4∴∠∴∠∵∴∴∴是等腰直角三角形∴故答案为：【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．16．①②④【分析】①由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，进而可得；②先证可得，再证可得，进而说明四边形是正方形，即，然后代入求出即可判定②；③由勾股定理可得，再运用线段的和差可得∴、，再结合判定是否成立即可；④设，则、，则；再运用勾股定理可得，可表示出，最后代入比较即可解答．【详解】解：①∵矩形，∴，∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；故①正确；②∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴；故②正确；③若，∴，∴，∴，∵，∴；故③错误；④当F是的中点时，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故④正确．综上所述：①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识先，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．17．【分析】根据特殊三角函数值可进行求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．18．x1=﹣1，x2=﹣．【分析】将x+1看作整体，进而利用提取公因式法分解因式解方程即可．【详解】解：2（x+1）2=x+12（x+1）2﹣（x+1）=0，（x+1）[2（x+1）﹣1]=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．19．（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解；（2）根据计算概率比较即可．【详解】（1）画出树状图如下：（2）此游戏公平，由树形图可知：小娟赢的概率==小鹏赢的概率．20．(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理及平行线的性质得出，结合图形即可求解；（2）过点B作于M，根据题意得出，，利用三角函数确定，在中，继续利用三角函数求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，∵，∴，∴；（2）过点B作于M，由（1）得：，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形，利用所学的三角函数的关系进行解答．21．大树BC的高约为米．【分析】如图，连接，过作于则四边形为矩形，证明再利用锐角三角函数求解则再证明，从而可得答案．【详解】解：如图，连接过作于，则四边形为矩形，，，由题意可得：则．答：大树BC的高约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，作出适当的辅助线，构建需要的直角三角形是解本题的关键．22．(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元．(2)采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．（2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．【详解】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，由题意得：，解得：，∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，由题意得：，其正整数解为：或或当时，利润（元），当时，利润（元），当时，利润（元），∵，∴当时，利润最大，答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．23．（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）3；（3）P（0，+），（0，﹣﹣）．【分析】(1)根据待定系数法，可得答案；(2)连接AC，作BH⊥AC于H，交OC于P，此时PC+PB最小．最小值就是线段BH，求出BH即可．(3)根据勾股定理，可得PA，PB，根据锐角三角函数，可得BC的长，根据三角形的面积，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）将A，C点坐标代入函数解析式，及对称轴，得解得抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，(2)连接AC，作BH⊥AC于H，交OC于P，如图1，此时PC+PB最小．理由：当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2（舍）x＝4，即B（4，0），AB＝4﹣（﹣2）＝6．∵OA＝2，OC＝2，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝30°，∴PH＝PC，∴PC+PB＝PH+PB＝BH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝4﹣（﹣2）＝6，∠HAB＝60°，∴sin60°＝＝，∴BH＝6×＝3，∴PC+PB的最小值为3，故答案为3．(3)如图2，作BC⊥PA于C，设P（0，n），由勾股定理，得PB＝，PA＝，由sin∠APB＝sin60°，得∠CPB＝，∴BC＝，由S△PAB＝AB•|n|＝AP•BC，得6|n|＝,化简，得n4﹣28n2+64＝0，解得n²＝14+2，n²＝14﹣2（不符合题意，舍）＝＝+，＝﹣＝﹣﹣∴P（0，+），（0，﹣﹣）．【点睛】本题是二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求二次函数的解析式，解（2）的关键是垂线段最短的性质，又利用了锐角三角函数；解（3）的关键是利用三角形的面积得出关于n的方程．24．（1）①证明见解析；②1（2）=m，过程见解析（3）【分析】（1）①推出△BEG是等腰三角形，从而BE＝EG，再推出∠AEB＝∠GEF，∠ABE＝∠G，从而命题得证；②根据①求得结果；（2）根