投影作图基础

第2章 投影作图根底【知识目标】熟悉投影的定义及方法，掌握三视图的画法。熟悉根本体视图的画法及尺寸标注方法；了解切割体的截交线的画法及相贯体的相贯线的画法。【技能目标】能熟练正确地绘制出形体的三视图；能熟练地绘制出平面体及回转体的三视图并标注尺寸；学会截交线和相贯线的画法。工程图样是采用投影法绘制的，学习并掌握投影的根本原理，对于画图、看图具有极其重要的指导意义。下面我们从投影的根本原理入手，学习各类形体三视图的画法。2.1投影法与三视图【知识目标】熟悉投影的根本方法及正投影的特性，掌握三视图的投影规律及其画法。【技能目标】能熟练地用正投影法绘制三视图。2.1.1投影法【知识要点】1.投影法的概念在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。如图2.1所示，我们把光线SA称为投射线；地面或墙壁P面称为投影面；影子a称为物体在投影面上的投影。人们对这类现象加以抽象概括，总结出其中规律建立了投影法。投影法是根据投射线通过物体，向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法。图2.1投影法的概念2.投影法的分类

工程上常用的投影法分为两大类:中心投影法和平行投影法。〔1〕中心投影法如图2.2〔a〕所示，设S为投射中心，通过ABC上各点的投射线SA、SB、SC与投影面的交点a、b、c，称为点在平面上的投影。这种投射线都通过投射中心的投影法称为中心投影法。日常生活中，照相、电影和人眼看东西得到的影像，都属于中心投影。由于用中心投影法绘制的图形符合人们的视觉习惯，立体感强，因而常用来绘制建筑物的透视图。但由于它作图复杂，且度量性差，故机械图样中很少采用。我们规定用大写字母表示空间点，而用小写字母表示相应空间点的投影。2.2〔a〕中心投影法〔2〕平行投影法如图2.2〔b〕、〔c〕所示，如果将投射中心移至无穷远处，这时所有的投射线都互相平行。这种用互相平行的投射线对物体进行投射的方法，称为平行投影法。用平行投影法作出的投影称为平行投影。2.2(c)正投影2.2(b)斜投影平行投影法又根据投射线与投影面垂直与否分为斜投影法与正投影法。①斜投影法投射线或投射方向与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法。用斜投影法作出的投影叫做斜投影，如图2.2〔b〕所示。②正投影法投射线或投射方向与投影面垂直的平行投影法称为正投影法。用正投影法作出的投影叫做正投影，如图2.2〔c〕所示。由于应用正投影法能在投影面上较准确地表述空间物体的形状和大小，而且作图也比较简便，因此在工程上应用很广泛。绘制工程图样主要采用正投影法，这里我们主要介绍正投影法。今后凡未作特殊说明的投影，均指正投影。3.正投影法的根本性质(1)同素性点的投影是点，如图2.1所示；直线的投影一般仍是直线，如图2.3所示；平行投影所具有的这一性质称为同素性。图2.1投影法的概念

图2.3直线的投影仍然为直线

(2) 附属、定比性不变、定比性是平行投影的不变性。如图2.4所示，假设点在直线上，那么该点的投影在该直线的同名投影上，且点分线段的比值一定等于点的投影分线段投影的比值，即点对直线的附属图2.4附属定比性(3)平行性不变

如图2.5所示，假设空间两直线相互平行那么两直线的同名投影一般仍相互行。图2.5平行性不变(4)真实性

如图2.6所示，当直线或平面平行于投影面时,直线的投影反映实长，平面的投影反映实形，这种投影特性称为真实性。图2.6真实性

〔5〕积聚性

如图2.7所示，当直线或平面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点，平面的投影积聚成直线，这种投影特性称为积聚性。图2.7积聚性〔6〕类似性

如图2.8所示，当直线或平面倾斜(既不平行、也不垂直)于投影面时，直线的投影仍然是直线，但长度缩短，平面的投影是原图形的类似形，但投影面积变小，这种投影特性称为类似性。图2.8类似性

2.1.2三视图【知识要点】根据有关标准和规定，用正投影法所绘制出物体的图形，称为视图，如图2.9〔a〕所示。在正投影中，用一个视图一般只能反映出物体一个方向的形状，而不能确定物体的形状和大小。如图2.9〔b〕、〔c〕所示，两个形状不同的物体，在同一个投影面上的投影形状完全相同。为了确切地表达物体的形状，必须增加由不同投射方向，在不同的投影面上所得到的几个视图，只有他们之间的互相补充，才能把物体表达清楚，通常采用三面视图来表示物体的形状。(a)〔b〕

〔c〕图2.9视图1. 三视图的形成过程〔1〕三面投影体系的建立为了表达物体的形状，通常设有三个互相垂直的平面把空间分成八个局部，每个局部称为一个分角，如图2.10所示。将机件置于第一分角内进行投影的方法称为第一角投影法；将机件置于第三分角内进行投影的方法称为第三角投影法。我国国标规定：机件的图样采用第一角投影法。在第一分角内，三个相互垂直相交的平面即构成三投影面体系，如图2.11所示；图2.10空间八个分角图2.11三投影面体系三个投影面分别为：直立在观察者正对面的投影面叫正立投影面，简称正面，用V表示；右侧放置的投影面叫侧立投影面，简称侧面，用W表示。水平位置放置的投影面叫水平投影面，简称水平面，用H表示；三个投影面之间的交线称为投影轴；V面与H面的交线称为OX轴(简称X轴)，它代表长度方向；H面与W面的交线称为OY轴(简称Y轴)，它代表宽度方向；0Z轴(简称Z轴)，是V面与W面的交线，它代表高度方向。三根投影轴相互垂直，其交点0称为原点。〔2〕三视图的形成将物体置于三投影面体系中，如图2.12〔a〕所示，按正投影法分别向三个投影面投射，由前向后投射在V面上得到的视图称为主视图；由上向下投射在H面上得到的视图，称为俯视图；由左向右投射在W面上得到的视图，称为左视图。图2.12三视图的形成〔a〕〔3〕三投影面的展开为了在同一张图纸上画出三个视图，需将三个投影面展开到同一平面上，其展开方法如下:V面不动；H面绕OX轴向下旋转90°；W面绕OZ轴向右旋转90°，转到与V面处于同一平面上，如图2.12〔b〕、〔c〕所示。由于视图所表达的物体形状与投影面的大小、投影面之间的距离无关，所以工程图样上常不画出投影面的边界和投影轴，如图2.12〔d〕所示，这种画法称为无轴画法。(c)〔b〕〔d〕2.12三视图的形成〔1〕位置关系以主视图为准，俯视图配置在它的正下方，左视图配置在它的正右方，如图2.12〔d〕所示。画三视图时必须按上述关系排列三视图的位置，叫做按投影关系配置视图。2.三视图的关系及投影规律〔2〕尺寸关系物体有长、宽、高三个方向的尺寸，每个视图都反映物体两个方向的尺寸，即主视图反映长度和高度，俯视图反映长度和宽度，左视图反映宽度和高度。这样，相邻两个视图同一方向的尺寸应相等，即主、俯视图长度相等，且对正；主、左视图高度相等，且平齐；俯、左视图宽度相等。三视图之间“长对正、高平齐、宽相等〞的“三等〞关系，揭示了物体各视图之间的内在联系，即三视图的投影规律。各视图不仅整体上要满足这一投影规律，而且每个视图中各局部都必须符合这一投影规律。在画图、看图时要严格遵守这一投影规律，如图2.13所示。〔a〕总的长、宽、高尺寸关系

〔b〕立板的尺寸关系〔c〕底板的尺寸关系

图2.13三视图之间的长、宽、高的尺寸关系

〔3〕方位关系 所谓方位关系，是指以观察者面对正面(即主视图的投射方向)为准来观察物体，确定物体的上、下、左、右、前、后六种方位，如图2.14所示。主视图反映物体的上、下和左、右关系。俯视图反映物体的左、右和前、后关系。左视图反映物体的上、下和前、后关系。【提示】俯、左视图靠近主视图的一侧(里边)，表示物体的后面；远离主视图的一侧(外边)，表示物体的前面。图2.14三视图的方位关系

(a)〔b〕3.画三视图的方法步骤根据物体(或轴测图)画三视图时，首先应分析物体的形状，将物体的位置放正(使其主要外表与投影面平行)，选择反映物体形状特征最明显的方向作为主视图的投射方向。再确定图纸幅面和绘图比例，最后绘制三视图。作图时，一般先画出三个视图的作图基准线，再从主视图入手，按正投影法分别向各投影面投射，根据“长对正、高平齐、宽相等〞的投影规律，依次画出各局部的视图。注意：画图过程中，应几个视图配合着画，各局部应从反映特征的视图画起。【工程实训】

根据轴测图，如图2.15所示，画出三视图。具体步骤如下：〔1〕将物体放正，选择主视图的投射方向，如图2.15〔a〕所示。〔2〕画底板，从反映特征的俯视图入手，画出底板的三视图，如图2.15〔b〕所示。〔3〕画左后立板，从反映特征的主视图入手，画左后立板的三视图，如图2.15〔c〕所示。〔4〕画右前立板，从反映特征的主视图入手，画出右前立板的三视图，如图2.15〔d〕所示。〔5〕加深完成形体的三视图,如图2.15〔e〕所示。(a)轴测图图(b)画底板(e)完成形体的三视图(c)画左后立板(d)画右前立板

2.15三视图的画图步骤

作图过程中用丁字尺保证高相等，用三角板与丁字尺保证长对正，而保证宽度相等的三种方法：用直尺、分规或45°斜线等，如图2.16所示。〔a〕用直尺〔b〕用分规〔c〕用45°斜角线图2.16保证宽相等的方法【工程训练】【训练1】参照轴测图，在三视图中填写物体的方位，如图2.17所示。【训练2】看懂三视图，补齐视图中所缺的图线，如图2.18所示。【训练3】根据轴测图，画出形体的三视图，如图2.19所示。〔a〕(b)(a)(b)(a)(b)图2.17参照轴测图填写物体的方位图2.18补齐视图中所缺的图线图2.19根据形体的轴测图画三视图2.2根本体的视图及尺寸标注【知识目标】掌握平面体和回转体三视图的画法及尺寸标注的方法。熟悉根本体外表取点的方法。【技能目标】能熟练地绘制各类根本体的三视图，并在其外表取点和标注尺寸。平面体和回转体的视图画法及其外表取点的方法【知识要点】机械零件一般都是由根本体组成，而根本体根据其外表的几何性质可分为两大类：平面体——外表由假设干平面构成，如棱柱、棱锥等；曲面体——外表由曲面或平面和曲面构成，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。而熟练地掌握根本体视图的绘制与阅读为复杂形体视图的表达打下良好的根底。1.平面体我们这里主要介绍棱柱和棱锥三视图的画法及外表取点的方法。〔1〕棱柱和棱锥的三视图画法〔以正六棱柱,如图2.20所示和正三棱锥，如图2.21所示为例〕图2.20正六棱柱的投影图2.21正三棱锥的投影表2.1正六棱柱和正三棱锥的三视图画法见课本表2.2正六棱柱和正三棱锥的外表取点方法见课本〔2〕棱柱和棱锥的外表取点〔以六棱柱和三棱锥为例，如表2.2所示〕2.回转体〔1〕圆柱、圆锥、圆球的三视图画法〔如表2.3所示〕〔2〕圆柱、圆锥、圆球的外表取点〔如表2.4所示〕表2.3圆柱、圆锥、圆球的三视图的画法见课本表2.4圆柱、圆锥、圆球的的外表取点方法见课本【工程实训】1.物体的主、俯视图，补画左视图，如图2.22〔a〕所示。分析：从物体的主、俯视图(参照立体图)可想像出，物体由两局部组成:下部为四棱柱，上部为被垂直于正面的平面左右各切去一角的三棱柱，三棱柱的棱线垂直于侧面，它的一个侧面与四棱柱的顶面重合。作图：〔1〕如图2.22〔b〕所示，先补画出下部四棱柱的左视图。〔2〕作三棱柱上面中间棱线的侧面投影。由于该棱线垂直于侧面，其侧面投影积聚为一点(在图形中间)，过该点与矩形两端点连线，即完成左视图，如图2.22〔c〕所示。注意:左视图上的三角形为三棱柱左、右两个斜面(垂直于正面)在侧面上的投影；两条斜线为三棱柱前、后两个棱面(垂直于侧面)的积聚性投影。(a)(b)(c)图2.22主、俯视图，补画左视图【工程实训】1.物体的主、俯视图，补画左视图，如图2.22〔a〕所示。分析：从物体的主、俯视图(参照立体图)可想像出，物体由两局部组成:下部为四棱柱，上部为被垂直于正面的平面左右各切去一角的三棱柱，三棱柱的棱线垂直于侧面，它的一个侧面与四棱柱的顶面重合。作图：〔1〕如图2.22〔b〕所示，先补画出下部四棱柱的左视图。〔2〕作三棱柱上面中间棱线的侧面投影。由于该棱线垂直于侧面，其侧面投影积聚为一点(在图形中间)，过该点与矩形两端点连线，即完成左视图，如图2.22〔c〕所示。注意:左视图上的三角形为三棱柱左、右两个斜面(垂直于正面)在侧面上的投影；两条斜线为三棱柱前、后两个棱面(垂直于侧面)的积聚性投影。(a)(b)(c)图2.22主、俯视图，补画左视图2.：如图2.23所示，由点N、K的V面投影n′、k′，求另外两面的投影可知，K点位于球体的下、后由于N点在前半球和后半球的分界圆上，故N点的正面和侧面投影可直接作出；而由K点的正面投影半球，可利用辅助平面法求出。作图：由n'别向水平和侧面投影，在水平中心线上得n点，侧面中心线上得n"。过〔k'〕点作正平面的投影圆，并在水平投影作出其对应的直线投影，并求出水平投影〔k〕，再利用点的投影规律求出侧面投影〔k"〕。分析：图2.23圆球外表上取点【工程训练】1.如图2.24所示，根据立体的两面投影补画第三面投影，并求出立体外表上点的其余投影。图2.24补画第三投影并求立体外表上点的其余投影(a)(b)2.如图2.25所示，根据立体图，用1：1的比例画三视图〔a〕〔b〕图2.25形体的立体图平面体和回转体的尺寸标注【知识要点】视图只能表示形体的形状，而形体的各局部的形状大小及其相对位置必须由标注的尺寸来确定。尺寸标注的根本要求是：正确、齐全和清晰。正确是指符合国家制图标准规定；齐全是指标注尺寸既不遗漏，也不重复；清晰是指尺寸书写要清晰。熟悉并掌握根本体的尺寸标注方法是学好后继课程的根底。表2.5常用根本体的尺寸标注见课本【工程实训】1.标注如图2.26〔a〕〔c〕所示被切圆柱体、圆球的尺寸。分析：既要标注圆柱体的定形尺寸，又要标注〔a〕图的切槽的定位和定形尺寸，及〔c〕图的定位尺寸。标注结果如图〔b〕和〔d〕所示图2.26被切回转体的尺寸标注

〔a〕(b)(c)(d)【工程训练】1.补全如图2.27所示以下图形中的尺寸〔数值从图中量取〕图2.27补齐形体的尺寸〔a〕(b)(c)2.补全如图2.28所示以下图形中的尺寸〔数值从图中量取〕(a)(b)(c)图2.28补齐形体的尺寸2.3截交线【知识目标】熟悉各种形体被平面截切的截交线的形状，掌握圆柱、圆锥、圆球的各种形状截交线的画法,了解同轴复合回转体的截交线的画法。【技能目标】能熟练利用各种方法绘制圆柱、圆锥、圆球的各种形状截交线,并能绘制同轴复合回转体的截交线。如图2.29所示，截切根本几何体的平面称为截平面；立体被截切后的断面称为截断面；截平面与根本几何体外表所产生交线称为截交线。由于立体的几何性质不同、截平面的数量及截平面与立体相交位置的不同，那么产生的截交线形状也不同。但截交线都具有以下两个根本性质:〔1〕共有性截交线是截平面和立体外表的共有线，截交线上的点是两相交面的共有点。〔2〕封闭性截交线是一封闭的平面图形。图2.29平面截切根本几何体求作截交线就是求出截平面与立体外表一系列共有点，再按顺序依次连接各共有点即可。常用求作截交线的方法有以下四种:(1)交点法求出立体外表上直线与截平面的交点，连接交点即可。(2)外表取点法利用立体外表的某投影具有积聚性的特点求解。〔3〕辅助线法在立体外表上作辅助素线及辅助纬圆求解。(4)辅助平面法借助辅助平面与立体外表及截平面相交求解，又称为三面共点法。平面体的截交线【知识要点】截平面与平面立体相交时，因平面立体的外表均是平面图形，所以产生的截交线是由直线段所组成的封闭的平面多边形，该多边形的各个顶点是截平面与平面立体各棱线的交点，多边形的每一条边是平面立体的棱面与截平面的交线。平面与平面立体相交的截交线求法可归结为两种:(1)求平面立体棱线与截平面的交点，顺次连接各交点，即得截交线，这种方法称线面交点法。(2)求截平面与平面立体外表的交线，这种方法称面面交线法。截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。我们主要以特殊位置截平面为例说明求解平面立体截交线的方法和步骤。【工程实训】1.四棱锥SABCD被正垂面P切割，求其截交线的投影，如图2.30〔a〕所示。分析:由图2.30(a)可知，截平面P与四棱锥的四个侧外表相交，截交线为四边形。四边形的顶点1、2、3、4分别是四条棱线SA、SB、SC、SD与截平面P的四个交点。由于平面P是正垂面，它的V面投影积聚为一条直线，故截交线的V面投影积聚为直线段，可直接求出；然后由其V面投影求出W面的投影，再由V、W面投影确定其H面投影。

(a)图2.30用线面交点法求截交线作图步骤:如图2.30〔b〕所示。(1) 直接标出四条棱线与P平面四个交点的V面投影1′、2′、3′、4′；(2)根据直线上点的投影性质，由V面投影求出交点的W面投影1"、2"、3"、4"，由V、W两投影再求出四个交点的H投影1、2、3、4；(3)顺序连接四个交点的同面投影，即得截交线的各投影；(4)判别可见性并整理轮廓，图中四棱锥的上部被P平面切去，因而截交线的三个投影均可见，棱线SC的W面投影为不可见棱线，画为虚线。(b)图2.30用线面交点法求截交线2.求P、Q两平面与三棱锥SABC相交的截交线的投影分析:由图2.31(a)可见，正垂面P与三棱锥的两侧外表SAB和SAC相交于两段直线12和13水平面Q也与两侧外表SAB和SAC相交于水平线24和34，它们分别与三棱锥底面的边AB和AC平行，即24和34的方向，只要求出点4的投影，就可求出点2、3的投影。P、Q两截平面相交于直线23。点1和点4位于SA棱线上，其V面投影和，由V面投影可直接求出其H、W投影1、1“和4、4〞；2、3两点可采用先求水平面上点的方法，由V投影2'、(3')求出其H、W投影2、2"和3、3"。(a)图2.31面面交线法求平面体的截交线如图2.31所示作图步骤：如图2.31〔b〕所示:

(1)直接标出P、Q两平面与SA棱线交点的V面投影1'、4'，以及P、Q两平面交线的V面投影。并直接求出1、4，及1"和4"；

(2)在H面投影面上，作42∥ab、34∥ac，由V面投影、(3")点向下引垂线，求出H面投影点2和3；

(3)再由2、2'求出2"，由3、3'求出3"；

(4)顺序连接各点的同面投影，即得截交线的投影；

(5)判断可见性，P、Q两平面交线的H面投影23为不可见，画成虚线；其他交线可见，画成粗实线。

(b)图2.31面面交线法求平面体的截交线【工程训练】1. 求作被正垂面截切后四棱台的三视图，如图2.32所示。(a)(b)图2.32求作四棱台的截交线2.根据主、左视图，补画俯视图，如图2.33所示。图2.33补画被截四棱柱台的俯视图回转体的截交线【知识要点】平面与曲面立体相交时，所产生的截交线的形状通常是一条封闭的平面曲线，或是由截平面上的曲线和直线所围成的平面图形或多边形。截交线是截平面和曲面立体外表的共有线，截交线上的点是它们的共有点，截交线的形状取决于曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置。当截平面为特殊位置平面时，截交线的投影就积聚在截平面具有积聚性的投影上，可用在曲面立体外表上取点、取线的方法求作截交线。取点时，首先要在截交线上取能确定其形状范围的特殊点，主要是曲面投影的转向线上的点，截交线在对称轴上的顶点，椭圆长短轴的端点以及最高、最低、最左、最右、最前、最后点等。求作曲面立体的截交线时，通常先作出这些特殊点，然后按需要再作一些一般点，最后连接各点的同面投影，并判别可见性。1.圆柱、圆锥、圆球的截交线如表2.6、2.7、2.8所示。表2.6截平面和圆柱轴线的相对位置不同时所得的三种截交线见课本表2.7截平面与圆锥轴线的相对位置不同时所得的几种截交线见课本表2.8圆球的截交线见课本*2.同轴复合回转体的截交线同轴复合回转体的截交线是组成该回转体所有根本体截交线的组合，求截交线的方法为：〔1〕分析该立体是由哪些回转体组成的；〔2〕分析各根本体的截交线的形状并求解；〔3〕正确连接截交线并描深。【工程实训】1.求如图2.34〔a〕所示圆柱截断体的投影分析：圆柱的截断面为椭圆，其正面投影积聚成一斜线，水平投影与圆柱面投影重合，仅需求出侧面投影即可。作图步骤：(1)求特殊点对于椭圆应求出长、短轴的四个端点。这四点的正面投影分别是1'、3'、4'、〔5'〕，水平投影是1、3、4、5，根据投影关系可求出侧面投影1"、3"、4"、5"。(2)求一般点作图时，在投影为圆的视图上取适当数量的一般点，如2、6点等，根据投影关系可求出正面投影2'、6'和侧面投影2"、6"，如图2.34(b)所示。(3)画截交线依次光滑地连接l"、2"、3"、4"、5"、6"各点，即得左视图中的截交线——椭圆。(4)判断可见性，完成轮廓线，描深完成全图如图2.34(c)所示。(a)(b)(c)图2.34圆柱的截交线2.如图2.35〔a〕所示，圆柱被两个截平面P、Q截切，主视图和俯视图，求左视图。分析:截平面P为侧平面，与圆柱面的轴线平行，与圆柱面的交线为两条与圆柱轴线平行的直线，其正面投影积聚在p'上，水平投影积聚在圆上。截平面Q为正垂面，与圆柱面的轴线倾斜，交线为一段椭圆弧，其正面投影积聚在q'上，水平投影积聚在圆上。同时,P与Q的交线为一条正垂线。作图步骤:如图2.35(b)所示，先求出截平面P与圆柱的截交线,正面和水平投影均为直线，侧面投影为一矩形；再求出Q面与圆柱面的截交线，正面投影积聚为一直线，水平投影积聚到圆上，侧面投影为一椭圆弧，分别求出特殊点和一般位置点。注意:不要漏画两截平面交线的侧面投影b"d"。(a)(b)(c)(d)(e)图2.35圆柱体被两平面截切3.用辅助素线法，求图2.36(a)所示圆锥的截交线。分析：截交线上任一点M，可看成是圆锥外表某一素线SⅠ与截平面P的交点。因M点在素线SI上，故M点的三面投影分别在该素线的同面投影上。由于截平面P为正垂面，截交线的正面投影积聚为一直线，故需求作截交线的水平投影和侧面投影。图2.36用辅助素线法求圆锥的截交线(a)作图步骤:

(1)求特殊点C为最高点，根据c'，可求出c及c"。A为最低点，根据a'，可求出a及a"。B为最前、最后点，根据b'，可求出b"，进而求出b，如图2.36(b)所示。

(2)利用辅助素线法求一般点作辅助素线，s‘l'与截交线的正面投影相交，得m'，求出辅助素线的其余两投影sl及s"l"，进而求出m和m"，如图2.36(c)所示。

〔3〕画截交线将求出的各点依次连成光滑的曲线，即为截交线的投影，

(4)判断可见性完全轮廓线，加深完成全图如图2.36(d)所示。(b)(c)(d)图2.36用辅助素线法求圆锥的截交线

4.用辅助平面法

求图2.37(a)所示圆锥的截交线。分析：作垂直于圆锥轴线的辅助平面Q，Q平面与圆锥面的交线是一个圆，此圆与截平面P相交得Ⅱ、Ⅳ两点，Ⅱ、Ⅳ是圆锥面、截平面P和辅助平面Q三个面的共有点，当然也是截交线上的点。由于截平面P为正平面，截交线的水平投影和侧面投影分别积聚为一直线，故只需作出正面投影。(a)图2.37利用辅助平面求圆锥的截交线

作图步骤:(1)求特殊点Ⅲ为最高点，根据侧面投影，可求出3及3'。Ⅰ、V为最低点，根据水平投影1及5，可求出1‘、5'及1"、5"，如图2.37(b)所示。(2)利用辅助平面法求一般点作辅助平面Q与圆锥相交，交线是圆(称为辅助圆)，辅助圆的水平投影与截平面的水平投影相交于2和4，即为所求共有点的水平投影。根据水平投影2和4，再求出2‘、4’及2"、4"，如图2.37(c)所示。(3)画截交线将求出的各点依次连成光滑的曲线，即为截交线的正面投影。(4)判断可见性，完成轮廓线，加深完成全图如图2.37(d)所示。(b)(c)(d)图2.37利用辅助平面求圆锥的截交线

5.根据被切圆球的主视图，如图2.38〔a〕、〔b〕所示，补画俯、左视图。分析:圆球被任何位置的平面切割，截交线都是圆。由于该圆球的凹槽是由两个侧平面和一个水平面切割而成，其三段被切出的截交线都是圆形的一局部，且在它所平行的投影面上的投影反映实形，另两面投影均积聚成直线，故作图的关键是找出画这三段截交线圆的半径、、。另外，还要注意圆球原有外形轮廓线的变化情况，如开槽局部的外形轮廓线，在水平投影和侧面投影中均被切掉，以及槽底侧面投影的可见性判断。(a)(b)图2.38补画被切圆球的俯、左视图

作图:〔1〕求水平截交线的投影；〔2〕求侧面截交线的投影；〔3〕完成全图，并加深。(c)(d)(e)图2.38补画被切圆球的俯、左视图

6.求作顶尖头部的截交线，如图2.39〔a〕所示。分析：顶尖是轴线垂直于侧面的圆锥和圆柱组成的同轴回转体，圆锥与圆柱的公共底圆是它们的分界线。顶尖的切口由平行于轴线的平面P和垂直于轴线的平面Q(侧平面)截切。P平面与圆锥的截交线为双曲线，与圆柱的截交线为两条直线；Q平面与圆柱的交线为一圆弧。平面P和Q相交于直线段。(a)图2.39顶尖头部的截交线作图步骤:〔1〕求作P平面与顶尖的截交线。如图2.39〔b〕所示，由于P的V面、W面的投影具有积聚性，因此只需求水平投影。先找出圆锥与圆柱的分界线，从V面投影可知分界点1'、2'，侧面投影为1"、2"，可求出1、2。分界点左边为双曲线，通过取点可求出水平投影；右边为直线，可直接画出。〔2〕Q平面的V面投影和H面投影都积聚为直线，W面投影为积聚到圆周的一段圆弧，可直接作出。(b)(c)图2.39顶尖头部的截交线

【工程训练】分析以下各立体的截交线，并补齐立体的三面投影图2.40补各截断体的截交线

〔a〕(b)(c)2.3.3识读切割体的三视图【知识要点】1.定义：线面分析法就是将物体的外表进行分析，弄清各个外表的形状和相对位置的方法，称为线面分析法。2.看图的方法步骤：就是以线框(及图线)分析为根底，先分析物体外表的形状，再分析各个外表之间的相对位置，最后将其加以归纳、综合，想象出物体形状的过程。【提示】〔1〕要先确定切割体的原始形状。明确切割体被切前的原形，便于根据截平面的位置分析截交线的形状，也容易联想其被切后的形状。〔2〕要先看容易看懂的局部，后看难以看懂的局部。把先看懂的局部“剥离〞出去后，余下的线条就比较清晰，容易分析和看懂。(3〕要善于进行线框分析和投影分析。要理解“一个封闭的线框表示物体的一个面〞、“相邻的两个封闭线框表示物体上位置不同的两个面〞的含义。在进行线框分析时，应先从具有特征的部位入手，找出另两面的对应投影，以形成一个线框组，在此根底上再进行投影分析；假设一个线框对应两条线，那么表示为投影面平行面；假设一条线对应两个线框，那么表示为投影面垂直面；假设三个线框相对应，那么表示为一般位置平面。尤其应注意视图中的斜线，它们一般为投影面垂直面的投影，要抓住其积聚性投影和另两面投影为边数相等的类似形的特点，应用于读图。3.由两视图补画第三视图是训练看图能力，培养空间想象能力的重要手段补画视图的步骤为:先根据视图想象物体的大致形状；再按线框分析，逐个面地补画；补完后，要将三个视图联系起来识读，想象物体确实切形状。【工程实训】1. 识读图2.41〔a〕所示的三视图(l)从三视图的外形可以看出，该形体的原形为长方体；(2)分析面的形状从左视图右侧具有明显特征的缺口入手，斜线4"及其对应投影4'、4所形成的线框组为“一线对两框〞，故表示侧垂面(四边形)；与其相接的上、下两竖线及其另两面投影所形成的线框组为“一框对两线〞，均表示正平面(四边形)；另一特征是主视图中的斜线2'，据此找出2、2"，其线框组为“一线对两框〞，故表示正垂面(六边形)；同样，可分析出线框Ⅰ〔1、1'、1"〕为正平面(三角形)，线框Ⅲ〔3、3'、3"〕为侧平面(矩形)(a)图2.41识读切割体的三视图〔3〕分析面的相对位置

根据线框判别相邻外表的前后、上下、左右或相交的相对位置。希读者自行分析。综上所述，该体是由长方体用一个正平面和正垂面在左前部切掉一个三角块，又用一个正平面和侧垂面在前上方切掉一个四棱块所形成的，如图2.41〔b〕所示。注意：看图时并不是要求对视图中所有的线框都加以分析，一般只就一个主要视图或在不同视图中找出几个主要线框进行分析就可以了。图2.41识读切割体的三视图(b)【工程训练】

由两个视图补画漏线和第三视图(a)(b)图2.42补画第三视图

2.4相贯线【知识目标】掌握各种求相贯线的方法,熟悉特殊相贯线的画法。【技能目标】能熟练地绘制圆柱与圆柱相交的相贯线的画法,并能绘制圆锥与圆柱相交的相贯线，以及特殊情况下的相贯线。两立体外表相交称为相贯，其外表交线称为相贯线。相贯线的性质:〔1〕相贯线是两相交立体外表的共有线；〔2〕由于立体具有一定的范围，所以相贯线不可能超出两立体投影的轮廓线外，且一般是封闭的空间曲线。特殊情况下也可能是平面曲线或直线，亦可能是不封闭的。根据相贯线的性质，求两回转体相贯线的问题，可归结为求两回转体外表的共有点。求作相贯线的一般步骤是先作出相贯线上特殊点的投影，再求一般点的投影，最后判别可见性，并光滑连接，作出相贯线的投影。求相贯线投影常用的方法【知识要点】求相贯线的方法有外表取点法〔又称投影的积聚性法〕、辅助平面法以及辅助球面法。我们这里只讲前两种方法。1.利用投影的积聚性法〔又称外表取点法〕求相贯线的投影两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，那么相贯线在该投影面上的投影就积聚在圆柱面的积聚投影圆周上。这样就可以在相贯线上取一些点，按回转体外表取点的方法作出相贯线的其他投影。具体作图步骤:〔1〕求特殊点；〔2〕求一般位置的点；〔3〕判别可见性并光滑连接。2.辅助平面法求相贯线的投影辅助平面法是用辅助平面同时截切相贯的两回转体，在两回转体外表得到两条截交线，这两条截交线的交点即为相贯线上的点。这些点既在相贯两立体外表上，又在辅助平面上，因此，辅助平面法就是利用三面共点的原理，作假设干个辅助平面求出相贯线上一系列共有点即可求得相贯线。选用辅助平面的原那么是:应使辅助平面与两相贯体的截交线的投影同为最简单的直线或圆，一般选用投影面平行面作为辅助平面。用辅助平面法求相贯线的主要步骤如下:〔1〕设置合理的辅助平面；〔2〕求出辅助平面与回转体外表的交线的投影,辅助平面与乙回转体外表相交得截交线N，辅助平面与甲回转体外表相交得截交线M，那么M、N两组截交线的交点A、B即为相贯线上的点；〔3〕求出交线的交点A、B的投影，再返回到辅助平面的积聚性投影上，以求得该点的另一面投影，并用光滑的曲线连接，即得相贯线。【工程实训】1.如图2.43〔a〕所示，两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线。分析：两圆柱的轴线正交，且轴线分别垂直于H面和W面，相贯线是前、后、左、右对称的一条封闭的空间曲线。因为大圆柱面的侧面投影及小圆柱面的水平投影都具有积聚性，因此相贯线的水平投影和小圆柱的水平投影重合，是一个圆；相贯线的侧面投影和大圆柱的侧面投影重合，是一段圆弧。要求的是相贯线的正面投影。(a)(b)图2.43两圆柱正交的相贯线作图步骤〔1〕求特殊的点从水平投影和侧面投影可以看出，相贯线的最高点为1、2，同时也是最左、最右点；最低点为3、4，同时又是最前、最后点；由于水平投影1、3、2、4和对应的侧面投影1“、3〞、〔2“〕、4〞均为，因此可求出其正面投影1、3(2)、4。〔2〕求一般位置的点由于相贯线的水平投影具有积聚性且为，可直接在水平投影上取5、6、7、8四点，根据点的投影规律找出其侧面投影()、()，再由水平、侧面投影即可求出其正面投影()、()。〔3〕判别可见性并光滑连线顺次光滑连接各点，可见的点之间用粗实线连接，不可见的点用虚线连接。因为相贯线前后对称，因此只画出前半局部可见的相贯线投影即可。2.由于圆柱面可以是圆柱体的外外表，也可以是圆柱孔，因此两圆柱轴线垂直相交可以有三种形式:两圆柱外外表相交、外外表与内外表相交、两内外表相交。外外表与内外表相交、两内外表相交相贯线的形状，如图2.44所示。【提示】两个不等径正交圆柱的相贯线，总是由小圆柱向大圆柱内弯曲，并且两圆柱直径相差越小，曲线顶点越向大圆柱轴线靠近。〔a〕(b)图2.44常见的两圆柱内外表相贯的情况3.求圆柱与半球的相贯线，如图2.45所示。分析：由于圆柱的轴线垂直于侧面，所以相贯线的侧面投影与该圆柱侧面投影重合，因此只需求出其正面投影和水平投影。图2.45圆柱与半球相交(a)(b)作图步骤：〔1〕求特殊位置的点最高点Ⅰ和最低Ⅱ(也是最右、最左点)的正面投影、可直接定出，水平投影1、〔2〕可根据正面投影求出。最前、最后点V、Ⅵ的投影，可用辅助平面Q作出水平投影5、6和正面投影。〔2〕再求一般位置点用辅助水平面P求出Ⅲ、Ⅳ点的水平投影3、4和正面投影、()。〔3〕判断可见性，通过各点光滑连线。因相贯体前后对称，所以相贯线正面投影的前半局部和后半局部重合为一段曲线。水平投影5、6为可见与不可见的分界点，所以把5、3、1、4、6连成实线，把6、〔2〕、5连成虚线。【工程训练】1.分析以下两圆柱体的相贯线，并补全各面的投影，如图2.46所示。2.分析以下圆柱体与圆锥体相交的相贯线，并补全各面的投影，如图2.47所示。图2.46补全两圆柱体相贯线的投影

2.47图补全圆柱体与圆锥台相贯的相贯线的投影【知识要点】1.相贯线的特殊情况