人教A版（新）选择性必修三第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

6.1

分类加法计数原理与分布乘法计数原理第2课时巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用这两个计数原理解决实际问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实1.两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.2.两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是

问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到

；分步乘法计数原理针对的是

问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤

.答案返回分类不重不漏分步完整类型一组数问题例1

用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？解三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种).(2)可以排成多少个三位数？解三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种).解析答案题型探究

重点难点个个击破(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.因而有12＋18＝30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.解析答案反思与感悟反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.解析答案跟踪训练1

用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有___个(用数字作答).解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个).14解析答案反思与感悟类型二抽取(分配)问题例2

3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？反思与感悟解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择，根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.解析答案反思与感悟方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5；分成以下10类：第一类：空盒子标号为：(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为：(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为：(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得：共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.解析答案跟踪训练2

如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有___种.解析按照焊点脱落的个数进行分类：第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况；第二类：脱落两个焊点：有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共有6种情况；第三类：脱落三个焊点：有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)共有4种情况；第四类：脱落四个焊点，只有(1,2,3,4)一种情况.于是脱落焊点的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).13解析答案类型三涂色问题例3

将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？反思与感悟解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.1234反思与感悟涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.反思与感悟解析答案跟踪训练3

将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有________种不同的涂色方法.解析给出区域标记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种.但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色，如果B区域与D区域涂的颜色相同，则有2种涂色方法；如果B区域与D区域所涂的颜色不相同，则只有1种涂色方法.因此应先分类后分步.(1)当B与D同色时，有4×3×2×2＝48(种).(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种).故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法.答案72解析答案类型四种植问题例4

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种).反思与感悟按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.反思与感悟跟踪训练4将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有_____种.解析答案返回解析答案解析分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.abc(2)若第三块田放a：第四块有b或c两种方法：①若第四块放c；第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法.abaabacabab答案42返回解析答案达标检测1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有(

)A.8个 B.10个

C.18个 D.24个解析个位数只要是1或3，所以2种选择首位不能为0，则有2种选择，百位数字有2种选择，十位数字只有1种选择，由分步乘法计数原理，所以用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数为奇数的有2×2×2×1＝8(个).1234A解析答案2.设椭圆

＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1,2,3,4,5}，b＝{1,2,3,4,5,6,7}，则满足上述条件的椭圆个数为(

)A.20 B.24 C.12 D.11解析当a＝1时，b＝2,3,4,5,6,7，有6个.当a＝2时，b＝3,4,5,6,7，有5个.当a＝3时，b＝4,5,6,7，有4个.当a＝4时，b＝5,6,7，有3个.当a＝5时，b＝6,7，有2个.由分类加法计数原理得6＋5＋4＋3＋2＝20(个).A1234解析答案3.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_____种.解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法.ABC

D

1081234解析答案4.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种.解析A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有2种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有1种种植方法.B在左边种植的情形与上述情形相同.故共有2