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第二章极限与连续极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，是这门课程的基本推理工具。极限研究的是在自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势。数列作为可看作一种特殊的函数，如今，我们先从数列入手研究函数的极限。

2.1数列的极限函数的极限例如：数列，可见当无限增大时，无限接近1，则。1、定义：对于数列，若当自然数无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数,则称为当趋于无穷时数列的极限，或称数列收敛于。记作或；若数列的极限不存在，则称数列发散。（一）数列的极限如果用平面直角坐标系中点表示数列地n项，那么数列以A为极限的几何意义可表述为：当n无限变大时，数列所对应的点都会靠近在直线y=A的上下，且越来越靠近。（图2.3）2、数列极限的几何意义：当n无限变大时，数列所对应的点多落在点A的邻域内，直观讲：当n无限变大时，由于是任意小数列所对应的点密集地落在点A的邻域。（图2.2）y=A图2.3

例如：数列，当n无限变大时，数列不趋向于一个确定数，所以发散。定理：（单调有界原理）单调有界数列必有极限． 若数列收敛，则数列有界。（二）函数的极限1.时函数f(x)的极限定义1当无限变大时，恒有（是任意小的整数），则称常数为函数当趋向正无穷大时的极限。记作或2.时函数f(x)的极限定义2当无限变大时，恒有（是任意小的整数），则称常数为函数当趋向负无穷大时的极限。记作或)(xf)()(-¥®®xAxf

3.时函数f(x)的极限定义3设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限.记作 或定义4设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当时函数的右极限。记作 或4.时函数f(x)的极限

5．时函数f(x)的极限定义5设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当时函数的左极限.记作或定理：当时，函数以为极限的充要条件是当与时，函数均以为极限。定理：若时（或），函数有极限，则必存在的一个邻域（除外），（或0的一个邻域之外），在此邻域内函数有界。证明：以为例，已知

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