暑假高二数学第二讲（徐继林）向量的概念表示运算基本定理

镇江市网络同步助学平台苏教版必修4第二章《平面向量》§2.1：向量的概念及表示；§2.2：向量的线性运算；§2.3：向量的坐标表示；1同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键.提示2苏教版必修4第二章《平面向量》前三节镇江市丹徒高级中学徐继林审稿镇江市教研室3

一.向量的有关概念及表示；二.向量的运算；三.平面向量基本定理；四.归纳总结.目录4一、向量的有关概念1.向量的定义：既有大小又有方向的量.注意：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

55.相等向量：大小相等，方向相同的向量.6不能=07例题讲解：例1平行四边形等腰梯形8例2：对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？（1）把平行于直线m的所有单位向量的起点平移到m上的点p；例题讲解：例2解：直线上与点p距离为1的两个点PAB9（2）把所有单位向量的起点平行移动到同一点p；（3）把平行于直线m的一切向量的起点平移到m上的点p．

解：集合表示以p为圆心，

1个单位长为半径的圆；

解：直线m.

PP解：集合表示以p为圆心，

1个单位长为半径的圆；

10二、向量的运算

1.几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；注意运用:一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.11②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

例如：12实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，.注意：.2.实数与向量的积：13设，则：①向量的加减法运算：，

②实数与向量的积：

3.坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，

设，则：①向量的加减法运算：，

设，则：①向量的加减法运算：，

③若则：

当时，表示方向上的单位向量.144.向量的运算律15提醒：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；165.共线定理向量平行(共线)的充要条件：

规定：与任何向量平行.17例题讲解：例3设为坐标原点，向量，将向量向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到向量，则向量的坐标为

.错解：（8,-5）正解：(5,-2)分析：向量为自由向量，平移不改变向量的大小和方向.18例题讲解：例4如图，四边形是以向量为边的平行四边形，又试用表示向量19分析：把所求向量放到三角形或平行四边形中,运用法则进行求解.解：20例题讲解：例5已知=(1,0),=(2,1),当实数

为何值时，向量平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：利用向量平行(共线)的充要条件：21解：从而它们方向相反.22点评：例5主要考查了向量的坐标运算和向量共线的充要条件.23例题讲解：例6已知点.(1)要使点在轴上、轴上、第二象限内，则分别应取什么值？(2)四边形是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的值，如不可能说明理由.24分析：(1)当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即为向量的终点坐标;2526(2)四边形是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的值,如不可能说明理由.分析：要使四边形为平行四边形，只需有一对边向量相等.27若四边形是平行四边形得：所以t无解.故四边形OABP不可能是平行四边形28点评：例6主要考查了向量的坐标表示和坐标运算，以及向量相等的概念.29三、平面向量的基本定理

如果和

是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使30例题讲解：例7设是平面的一组基底，如果求证：三点共线．分析：欲证三点共线，只需证明共起点的两个向量共线，即证31所以向量与共线，又与有公共的起点，所以,三点共线

32例题讲解：例8在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足其中，且，求点的轨迹方程．分析：的坐标即为的坐标；可令

的坐标，则

的坐标满足的等式即为点

的轨迹方程.33解:设，点满足，所以，解得又，所以点的轨迹方程为.想一想：怎么解得？34四、归纳总结1.