大一高数上-第三章

第三章

微分中值定理与导数的应用编辑课件一、罗尔(Rolle)定理定理(Rolle)假设函数f(x)满足〔1〕在闭区间[a,b]上连续〔2〕在开区间(a,b)内可导〔3〕在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)例如,§3.1微分中值定理编辑课件几何解释:假设连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，编辑课件注①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。例如,编辑课件又例如,在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件,再例如在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；编辑课件另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.编辑课件例1．不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判断方程f

(x)=0有几个实根，以及其所在范围。

解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f

(x1)=0，x1是

f

(x)=0的一个实根。在(2,3)内至少存在一点x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)=0的一个实根。

f

(x)=0是二次方程，只能有两个实根，分别在区间(1,2)及(2,3)内。编辑课件二、拉格朗日(Lagrange)中值定理编辑课件几何解释:编辑课件

推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。

证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉格朗日中值定理，就得

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。由假定，f

(x)

0，所以f(x2)

f(x1)

0，即

f(x2)

f(x1)。因此f(x)在区间I上是一个常数。编辑课件

证明：设f(x)

ln(1

x)，显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)，0<x<x。又由0<x<x，有编辑课件三、柯西(Cauchy)中值定理Cauchy定理又称为广义微分中值定理编辑课件结构图Lagrange定理特例Rolle定理推广Cauchy定理拉格朗日中值定理又称微分中值定理.编辑课件第二节洛必达法那么编辑课件定义例如,编辑课件定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法那么.编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件关键:将其它类型未定式化为洛必达法那么可解决的类型.步骤:

例7．求0+lim®xx

n

lnx

(n>0)。

0.=lim0+-=®nxnx

解：xxnxlnlim0+®nxxx-0+®=lnlim10+1lim--®-=nxnxx

编辑课件例8解步骤:编辑课件步骤:例9解编辑课件1．洛必达法那么是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应注意的问题：编辑课件2．本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。所以不能用洛必达法那么。但其极限是存在的：编辑课件

第三节

泰勒(Taylor)公式

多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。编辑课件一、问题的提出编辑课件编辑课件缺乏:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.编辑课件编辑课件二、泰勒(Taylor)中值定理编辑课件----拉格朗日型余项编辑课件----佩亚诺型余项编辑课件麦克劳林(Maclaurin)公式编辑课件三、简单的应用解代入公式,得编辑课件常用函数的麦克劳林公式编辑课件解编辑课件第四节函数单调性与曲线凹凸性导数符号与单调性单调性的判定步骤凹凸与拐点的定义二阶导数符号与凹凸性凹凸与拐点的判定步骤编辑课件一、单调性的判别法函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。编辑课件从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升〔下降〕的。进一步假设曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正〔负〕，曲线就是上升〔下降〕的这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？答复是肯定的。定理编辑课件例1解编辑课件例2解单调减区间为单调增区间为编辑课件二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个局部区间上单调．定义:假设函数在其定义域的某个区间内是单调的，那么该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点．编辑课件单调区间求法:在f

的定义域上求f

的零点及f

不存在的点；2.用f

的零点及f

不存在的点将f

的定义区间划分为子区间；3.根据f

在各子区间内的符号确定f的单调性。4.二、三两步可借助于表格方式完成。编辑课件例3解xf

(x)f(x)(

,1)(1,2)(2,

)↗↘↗＋－＋编辑课件xyO11y=x3说明:一般地，如果f

(x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。

例4．讨论函数y

x3的单调性。

解：函数的定义域为

(

,

)。y

3x2，当x

0时，y

0。

因为当x

0时，y

>0。所以函数y

x3在区间(

,0]及[0,

)内都是单调增加的。因此函数在整个定义域(

,

)内是单调增加的。编辑课件注

利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。因为当x>1时，f

(x)>0，所以f(x)在[1,

)上f(x)单调增加。因此当x>1时，f(x)>f(1)=0，即

例5．证明：当x>1时，xx132->。

证明：令)13(2)(xxxf--=，则

编辑课件三、曲线的凹凸性与拐点定义:假设曲线段向上〔下〕弯曲，那么称之为凹〔凸〕的。图形上任意弧段〔〕位于所张弦的上方。图形上任意弧段〔〕位于所张弦的下方。问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?的中点的中点

编辑课件定义编辑课件四、曲线凹凸的判定定理1编辑课件例6解注意到,xyO11y=x3编辑课件五、曲线的拐点及其求法1.定义2.拐点的求法编辑课件例8解编辑课件凹凸与拐点的判定步骤编辑课件例2解凹的凸的凹的拐点拐点编辑课件第五节函数的极值与最大值最小值由单调性的判定法那么，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰〞、“谷〞，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。编辑课件一、函数极值的定义编辑课件设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0

(a,b)．x1x2x3x4x5x6x7xyOab

y=f(x)

f(a)和f(b)是否为极值？

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。。。如果

U(x0)，个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．极值的定义：二、函数的极值编辑课件取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，那么切线是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7

y=f(x)编辑课件定理1〔必要条件〕设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f(x0)0．驻点：使导数为零的点(即方程f

(x)

0的实根)叫函数f(x)的驻点．应注意的问题：可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点．但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点．编辑课件观察函数f(x)

x３在x

0处的导数与极值情况．xyOy=x3在x=0处，f

(0)

0.但函数在x=0无极值．编辑课件定理2〔第一充分条件〕设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导．(1)如果在x0的某一左邻域内f(x)>0，在x0的某一右邻域内f(x)<0，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果在x0的某一左邻域内f(x)<0，在x0的某一右邻域内f(x)>0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果在x0的左右邻域内f(x)不改变符号，那么函数f(x)在x0处没有极值．取得极值的第一充分条件：编辑课件取得极值的第一充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyOab

y=f(x)

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0在极小值点附近在极大值点附近编辑课件例1

求函数f(x)

1

(x

2)2/3的极值．解(1)当x

2时，(2)函数无驻点，x

2是不可导点；

(3)列表判断：x

f

(x)

f(x)(-，2)2(2，+)+-不存在1极大值函数f(x)在x

2取得极大值，极大值为f(2)

1．编辑课件确定极值点和极值的步骤：(1)求出导数f(x)；(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点；(3)列表判断〔考察f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值〕；(4)确定出函数的所有极值点和极值．编辑课件函数f(x)的极大值为f(

1)

10，极小值为f(3)

22．

例2

求函数f(x)

x3

3x2

9x

5的极值．

解(1)f

(x)

3x2

6x

9

3(x

1)(x

3)．(2)令3(x

1)(x

3)

0，

得驻点x

1

1，x

2

3．(3)列表判断：(3,

)

22(

,

1)

1(

1,3)3

f

(x)

00

f(x)10极大极小x编辑课件应注意的问题：

如果函数f(x)在驻点x0处的二阶导数f

(x

0)

0，那么点x0一定是极值点，并且可以按二阶导数f

(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值．但如果f

(x0)

0，定理3就不能应用．定理2(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f

(x0)

0，f

(x0)

0，那么(1)当f

(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f

(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值．编辑课件讨论：函数f1(x)

x4，f2(x)

x3在点x

0是否有极值？

f

1(x)4x3，f

1(0)

0，

f

1(x)12x2，f

1(0)

0．当x<0时，f

1(x)<0；当x>0时，f

1(x)>0．f1(0)为极小值．

f

2(x)3x2，f

2(0)

0，

f

2(x)6x

，f

2(0)

0．

f

2(x)

0，f2(0)不是极值．1012112xy101x1234y编辑课件(2)令f

(x)

0，求得驻点x1

1，x2

0，x3

1．(3)f

(x)

6(x

2

1)(5x2

1)．(4)因f

(0)

6>0，所以x

0为极小值点，极小值为f(0)

0．(5)因f

(

1)

f

(1)

0，用定理3无法判别．

例3求函数f(x)

(x2

1)3

1的极值．

解法一(1)f

(x)

6x(x2

1)2．同理，f(x)在1处也没有极值．因为在

1的左右邻域内f

(x)<0，所以f(x)在

1处没有极值；2101x12y

f(x)

(x2

1)3

1编辑课件

f

(x)

f(x)(1)f

(x)

6x(x2

1)2．(2)令f

(x)

0，求得驻点x1

1，x2

0，x3

1．(3)列表判断：x(-，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+)-0-0++00无极值无极值极小值

f(x)在x

0处取得极小值，极小值为f(0)

0．

解法二编辑课件极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyOab

y=f(x)最大值：f(b)，最小值：f(x3)．观察：三、函数的最大值、最小值编辑课件x1x2x3x4x5xyOab

y=f(x)最大值：f(x4)，最小值：f(x3)．观察：编辑课件设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数的最大值和最小值一定存在．函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，那么必在开区间(a，b)内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值．因此，函数在闭区间[a，b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者．同理，函数在闭区间[a，b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者．极值与最值的关系：编辑课件设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1，x2，···，xn，那么比较f(a)，f(x1)，f(x2)，···，f(xn)，f(b)的大小，其中最大的便是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是函数f(x)在[a，b]上的最小值．求最大值和最小值的步骤：(1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点；(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的．最大值和最小值的求法：编辑课件

例4

求函数y

2x3

3x2

12x

14在[

3,4]上的最大值与最小值．解f(x)2x33x212x14，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程f(x)0，得x12，x21，由于f(3)2(3)33(3)212(3)1423；f(2)2(2)33(2)212(2)1434；f(1)2312147；f(4)2·433·4212·414142，比较可得f(x)在x4取得它在[3，4]上的最大值f(4)142,在x1取得它在[3，4]上的最小值f(1)7．编辑课件例5铁路线上AB段的距离为100km．工厂C距A处为20km，AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路．铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5．为了使货物从供给站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？100kmDABC20km最大值和最小值的应用：编辑课件解设ADx(km)，那么DB100x，100kmDABC20km设从B点到C点需要的总运费为y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是正数)，即编辑课件先求y对x的导数：，解方程y

0，得x

15．其中以y|x

15

380k为最小，因此当AD

x

15km时，总运费为最省．解设ADx(km)，那么DB100x，设从B点到C点需要的总运费为y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某个正数)，即编辑课件

如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值．特殊情况下的最大值与最小值：

f(x0)Oa

x0

b

x

y

f(x

)y

f(x0)Oa

x0

b

x

y

f(x

)y编辑课件应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值，这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0)是否是极值，就可以断定

f(x0)是最大值或最小值．编辑课件把一根直径为d

的圆木锯成截面为矩形的梁．问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W

最大?其中d

hb

解

b

与h

有下面的关系：

h2

d2

b2，

例6由于梁的最大抗弯截面模量在(0，d)内一定存在，而函数W在(0，d)内只有一个驻点，W的值最大．这时，，于是有编辑课件

f

(x)<0，曲线是凸的．1、函数的单调性与曲线的凹凸性xyO函数单调增加．曲线是凹的．

y=f(x)

f

(x)>0，

f

(x)>0，abxyO

y=f(x)ab函数单调增加．

f

(x)>0，复习：§3.6与函数图像的描绘编辑课件xyO函数单调减少．曲线是凹的．

y=f(x)

f

(x)<0，

f

(x)>0，abxyO

y=f(x)ab函数单调减少．曲线是凸的．

f

(x)<0，

f

(x)<0，编辑课件xyOx1x2x3

f(x3)(x2,f(x2))极大值极小值极小值点极大值点拐点

y=f(x)

f(x1)

f

(x1)=0f

(x2)=0

f

(x3)=02、极值点、极值与拐点编辑课件观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？21012xy观察与思考：编辑课件21012xy观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：编辑课件21012123xy编辑课件321O1234532112345xyx=1是函数的间断点，无极值点和拐点．画函数的图形都要考虑什么？,lim1-¥=-®yx,lim1+¥=+®yx编辑课件(1)确定函数的定义域；(2)观察函数y=f(x)是否具有奇偶性、周期性；(3)求出一阶、二阶导数为零的点和一阶、二阶导数不存在的点；(4)列表，确定曲线的单调性、极值点和极值，确定曲线的凹凸性和拐点；(5)确定曲线有无渐近线；(6)确定一些特殊点(曲线与坐标轴的交点等);(7)在直角坐标系中，描出所有关键性的点，画出渐近线，最后按照曲线的性态逐段描绘．描绘函数图形的一般步骤：编辑课件(4)计算特殊点：f(0)

1；f(

1)

0.

解(1)函数的定义域为(

，

)，(2)f

(x)

3x2

2x

1

(3x

1)(x

1)，f

(x)

6x

2

2(3x

1)．驻点为x

1/3和x

1；二阶导数为零的点为x

1/3．(3)列表分析：

f

(x)f

(x)

f(x)(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3，1)(1，)1++---00---0+++x32/27极大0极小16/27拐点(5)描点连线画出图形：例1画出函数y

x3

x2

x

1的图形．编辑课件补充：

f(3/2)

5/8．(5)描点连线画出图形：(4)计算特殊点：f(0)

1；f(±1)

0．拐点极大值极小值y

x3

x2

x

1编辑课件(3)列表：解(1)所给函数的定义域为(-，-3)(-3，+)；(2)当x=3时，f(x)=0，当x=6时，f(x)=0；(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，+)x

f(x)

f(x)

f(x)--------++004极大11/3拐点例2编辑课件

y=1Oxy63912-3-6-9-12-153-3x=-3(3,4)(-9,-8)(-1,-8)(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，+)x

f(x)

f(x)

f(x)--------++004极大11/3拐点(4)x=-3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线；(5)特殊点：f(0)=1．(6)绘图．补充f(-1)=-8，f(-9)=-8，f(-15)=-11/4；编辑课件例3解偶函数,图形关于y轴对称.(1)(2)(3)编辑课件拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点(4)编辑课件§3.7曲率

s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0．有向弧段的值s(简称为弧s)

：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0显然弧s是x的函数：s

s(x)，而且s(x)是x的单调增加函数．一、弧微分编辑课件设x,x+Dx

为(a，b)内两个邻近的点，它们