专题4.4 实数（章节复习+考点讲练）学生版

2023-2024学年苏科版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题4.4实数（章节复习+考点讲练）知识点01：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论知识点02：实数称为实数.

1.实数的分类①按定义分：实数②按与0的大小关系分：实数细节剖析：（1）所有的实数分成三类：．其中称有理数，叫做无理数．（2）无理数分成三类：①，如，等；②有，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）都是无理数，并且无理数不能写成.（4）是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个，反之都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值——零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数的相反数是；一个正实数的绝对值是；一个负实数的绝对值是；0的绝对值有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数0，0负数，正数大于，两个负数比较，反而小；（3）两个数比较大小常见的方法有：.知识点03：近似数及精确度1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的一般采用取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的细节剖析：（1）精确度是指.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.【典例精讲】（2022秋•高新区校级月考）的平方根是±．【思路点拨】根据平方根的定义解答即可．【规范解答】解：的平方根是±．故答案为：±．【考点评析】本题考查了平方根的运用．解题的关键是掌握平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式训练1-1】（2022秋•海陵区校级期末）64的平方根是（）A．±4 B．4 C．±8 D．8【变式训练1-2】（2016秋•姜堰区期中）4的平方根是（）A．2 B．±2 C． D．﹣2【变式训练1-3】（2012秋•滨湖区校级期中）一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a＝【变式训练1-4】（2016秋•灌云县月考）一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．【典例精讲】（2019春•崇川区校级期末）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为2．【思路点拨】由题意可解出m，n的值，从而求出2m﹣n的值，继而得出其算术平方根．【规范解答】解：将代入二元一次方程组，得，解得：，∴2m﹣n＝4，而4的算术平方根为2．故2m﹣n的算术平方根为2．故答案为：2．【考点评析】本题考查了算式平方根和二元一次方程组的解的知识，属于基础题，难度不大，注意细心运算．【变式训练2-1】（2022•鼓楼区一模）下列说法正确的是（）A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根 C．﹣2是﹣4的平方根 D．是的平方根【变式训练2-2】（2017秋•丰县期中）下列说法正确的是（）A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3【变式训练2-3】（2023春•清江浦区期末）±＝，（）2＝．【变式训练2-4】（2022秋•海陵区校级月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【典例精讲】（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足，则代数式（x+y）2022的值为1．【思路点拨】由已知可求x＝﹣3，y＝2，则有x+y＝﹣1，即可求解．【规范解答】解：∵|3+x|+＝0，∴x＝﹣3，y＝2，∴x+y＝﹣1，∴（x+y）2022的值1，故答案为：1．【考点评析】本题考查实数；熟练掌握绝对值和算术平方根的性质是解题的关键．【变式训练3-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【变式训练3-2】（2018秋•宜兴市校级期中）已知+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2017的值为（）A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017【变式训练3-3】（2022秋•江都区期末）已知a，b都是实数，若，则a﹣b＝．【变式训练3-4】（2021秋•无锡期末）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．【变式训练3-5】（2022春•绥棱县校级期中）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．【典例精讲】（2010秋•苏州校级期中）﹣27的立方根是﹣3，的平方根是±3．【思路点拨】根据平方根和立方根的知识点进行解答，若x3＝a，则x＝，x2＝b（b≥0）则x＝，据此得到答案．【规范解答】解：﹣3的立方为﹣27，故﹣27的立方根为﹣3，＝9，故9的平方根为±3，故答案为﹣3、±3．【考点评析】本题主要考查立方根和平方根的知识点，基础题，比较简单，但注意个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．【变式训练4-1】（2022秋•东台市期中）下列计算正确的是（）A．＝±2 B．＝﹣3 C．＝﹣4 D．＝4【变式训练4-2】（2021春•启东市校级月考）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【变式训练4-3】（2023春•射阳县期末）已知3x+1的平方根为±2，2y﹣1的立方根为3，求的值．【变式训练4-4】．（2022秋•仪征市期末）求x的值：（1）4x2﹣25＝0；（2）（x+1）3﹣64＝0．【典例精讲】（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：（1）＝﹣49；（2）若，则x＝3；已知，且与互为相反数，求x，y的值．【思路点拨】（1）根据题中的猜想得出的个位数与十位数，再取其相反数即可；（2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由+2＝x求出x的值，再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出y的值即可．【规范解答】解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000，∴是两位数．∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；的个位数字是9．∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以的十位数字应为4，∴117649的立方根是49，．∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，∴＝﹣49．故答案为：﹣49；（2）∵+＝0，∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3．∵+2＝x，∵＝x﹣2，∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得x＝2，1或3；∵与互为相反数，∴3y﹣1＝2x﹣1，即当x＝2时，3y﹣1＝3，解得y＝；当x＝1时，3y﹣1＝1，解得y＝；当x＝3时，3y﹣1＝5，解得y＝2．故答案为：3；x＝2时，y＝；x＝1时，y＝；x＝3时，y＝2．【考点评析】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键．【变式训练5-1】．（2018秋•建邺区期末）的相反数是（）A． B．﹣ C． D．﹣【变式训练5-2】（2021秋•江阴市期末）的相反数是（）A． B． C． D．【变式训练5-3】（2009秋•宿迁校级期中）的相反数是．【变式训练5-4】（2019秋•东台市期末）﹣1的相反数是．【典例精讲】（2022秋•姑苏区校级期中）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是﹣1．【思路点拨】根据勾股定理可得AC＝＝，由题意可得BC＝CD＝1，即AD＝AC﹣CD，因为AE＝AD，即可得出答案．【规范解答】解：∵BC＝1，AB＝2，∴AC＝＝＝，∵BC＝CD＝1，∴AD＝AC﹣CD＝，∴AE＝AD＝，则点E表示的实数是．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．【变式训练6-1】（2022秋•大丰区期末）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1【变式训练6-2】（2018秋•淮阴区期中）如图，在数轴上表示实数+1的点可能是（）A．P B．Q C．R D．S【变式训练6-3】（2022秋•鼓楼区期末）如图，数轴上点C所表示的数是．【变式训练6-4】（2015秋•南京校级月考）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点．【变式训练6-5】（2020秋•赣榆区期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求|m+1|+|m﹣1|的值；（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【典例精讲】（2023•常州）下列实数中，其相反数比本身大的是（）A．﹣2023 B．0 C． D．2023【思路点拨】求得各项的相反数后与原数比较大小即可．【规范解答】解：﹣2023的相反数为2023＞﹣2023，则A符合题意；0的相反数为0，则B不符合题意；的相反数为﹣＜，则C不符合题意；2023的相反数为﹣2023＜2023，则D不符合题意；故选：A．【考点评析】本题考查有理数的大小比较及相反数，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．【变式训练7-1】（2022秋•邗江区期末）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是．【变式训练7-2】（2023•仪征市二模）2，，5三个数的大小关系是（）A．5＜＜2 B．＜5＜2 C．2＜5＜ D．＜2＜5【变式训练7-3】（2020秋•苏州期末）比较大小：2﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）．【变式训练7-4】（2018秋•江都区期中）为了比较+1与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究．（1）小伍同学利用计算器得到了≈2.236，≈3.162，所以确定+1＞（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对+1和的大小做出准确的判断．【典例精讲】（2021秋•江都区月考）已知a＜＜b，且a，b为两个连续的整数，则a+b＝5．【思路点拨】先估算出的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论．【规范解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3．∵a、b为两个连续整数，∴a＝2，b＝3，∴a+b＝2+3＝5．故答案为：5．【考点评析】本题考查的是估算无理数的大小，利用夹值法求出a，b的值是解答此题的关键．【变式训练8-1】（2021秋•亭湖区校级期中）估计的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式训练8-2】（2022秋•江都区期中）估计5﹣的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【变式训练8-3】（2023春•仪征市期末）若的值在两个连续整数a与b之间，则a+b＝．【变式训练8-4】（2022秋•灌云县月考）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：（1）的小数部分是，5﹣的小数部分是．（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1的平方根．（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值．【变式训练8-5】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．根据以上材料，完成下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．【典例精讲】（2022秋•南京期末）计算：+＝5．【思路点拨】原式利用二次根式性质，以及立方根定义计算即可得到结果．【规范解答】解：原式＝|﹣3|+2＝3+2＝5，故答案为：5【考点评析】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：二次根式性质及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练9-1】（2022•鼓楼区校级开学）已知a1为实数，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，