导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

1.函数的平均变化率：函数/(X)在区间囚,引上的平均变化率为：/(-)1/(西)。

2.导数的定义：设函数y=/(x)在区间(〃/)上有定义，玉)£(〃力)，若无限趋近于0时，比值

孚=/(%+?—"%)无限趋近于一个常数4则称函数八刈在x=/处可导，并称该常数A为函数/(x)在

ArAx

x=x0处的导数，记作r(%)。函数/(X)在X=X0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3.求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量缈=〃/+-)-/(%)；(2)求平均变化率：

/(x0+Ax)-/(x0)；(3)取极限，当AX无限趋近与0时，"X。+。)-/(与)无限趋近与一个常数A,则

AxAx

f\x0)=A.

4.导数的几何意义：

函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线)，=/(X)在点/J(%))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求

曲线的切线方程，具体求法分两步：

(1)求出y=/(x)在施处的导数，即为曲线y=/(x)在点(%,/(%))处的切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-%=/'(x0)(x-%)。

当点尸(%,%)不在y=Ax)上时，求经过点夕的y=/(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到

切线方程，再将一点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y=/(x)在点(%,/(%))处的切线平行与y轴,

这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=%。

5.导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S是时间t的函数S"),则丫=5'⑴表示瞬时速度，a=v'(f)表示瞬时加速度。

二、导数的运算

1.常见函数的导数：

⑴(区+切'=左(左。为常数)；(2)C=0(C为常数)；

(3)(X)'=1；(4)(x2y=2x；

(5)(X3)'=3X2；(6)中’=十

⑺(6)，=%；(8)(xay=axal(a为常数)

2\[x

(9)(a*)'=a*lna(“>0,ax1)；(10)(log,,=-log„e=-i—(a>0,a1)；

xx\na

(11)(")'="；(12)(Inx)(=—；

x

(13)(sinx)'=cosx；(14)(cosx)1=-sinx»

2.函数的和、差、积、商的导数：

(1)"⑴土g(x)]'=/'(x)±g'(x);(2)[Cf(x)]'=Cf'(x)(C为常数)；

(3)"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+f(x)gXx);

(4)[g(%x)r=rg⑴"&》)㈤『/⑴£：⑴(g(x)w0)

3.简单复合函数的导数：

若y=f("),〃=ax+b,则乂=y：U，即乂=y：a。

三、导数的应用

1.求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y=/(x)在区间(a,加内可导，

(1)如果恒尸(幻>0,则函数y=f(x)在区间3,»上为增函数;

(2)如果恒((x)<0,则函数y=/(x)在区间3,力上为减函数;

(3)如果恒尸(x)=0,则函数y=f(x)在区间(a,。)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数y=/(x)的定义域；②求导数尸(x)；

③解不等式:(x)>0,解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式:(x)<0,解集在定义域内的

不间断区间为减区间。

反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：

设函数y=/(x)在区间(a,6)内可导，

⑴如果函数y=/(x)在区间(a,h)上为增函数,则f'(x)W0(其中使广(x)=0的X值不构成区间)；

(2)如果函数y=/(x)在区间(a,。)上为减函数,则/'(x)40(其中使/'(x)=0的X值不构成区间)；

(3)如果函数y=f(x)在区间(aS)上为常数函数,则尸(x)=0恒成立。

2.求函数的极值：

设函数y=/(x)在/及其附近有定义，如果对与附近的所有的点都有(或/(x)<f(x。))，

则称/(%)是函数/*)的极小值(或极大值)。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

(1)确定函数/(X)的定义域；(2)求导数/'(x)；(3)求方程/'(x)=0的全部实根，%,<x2<••■<%„,

顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，/'(X)和/(x)值的变化情况：

•・・

X(-8,西)芭(%,占)4

广(X)正负0正负0正负

/(X)单调性单调性单调性

(4)检查:(x)的符号并由表格判断极值。

3.求函数的最大值与最小值：

如果函数/*)在定义域/内存在看,使得对任意的xe/,总有/(X)4/(为)，则称/(与)为函数在定义

域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数f(x)在区间［a,b］上的最大值和最小值的步骤：

(1)求f(x)在区间3,b)上的极值;

(2)将第一步中求得的极值与/(a)"(b)比较，得到/(x)在区间团,切上的最大值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

/(x)(xeA)的值域是匕,句时，不等式/(x)<0恒成立的充要条件是f(x)1rax<0,即》<0；不等式

f(x)>0恒成立的充要条件是f(x)min>0,即a>0。

/(x)(xeA)的值域是(a,与时，不等式f(x)<0恒成立的充要条件是b$0；不等式/(%)>0恒成立的

充要条件是。20。

(2)证明不等式/(x)<0可转化为证明/(初四<0，或利用函数JS)的单调性，转化为证明

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要

注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明.

1.(本小题满分13分)

已知函数/(x)=其中aeR

ar+4x+4

(I)若a=0,求函数F(x)的极值；

(ID当a>l时，试确定函数/(x)的单调区间.

2.(本小题满分13分)

已知函数/(x)=［ax：-lnx,aeR.

(I)求函数/(x)的单调区间3

(H)若函数/Xx)在区间口向的最小值为1,求a的值.

3.(本小题共13分)

已知曲线/(x)=4«-e*(a*0).

<I)求曲线在点(0J(。))处的切线方程；

(II)若存在使得/1(X。)N0,求a的取值范围.

1.(本小题满分13分)

X*1

3)解：函数〃力=薪有的定义域为3XCR,且XHf.1分

ex*1(4x+4)-4ex*1_4*工"

分

r(x)(4x+4):=(4x+4)：.....................3

令/'(x)=0,得x=0,

当x变化时，/(x)和f'(x)的变化情况如下：

X—)(-L0)00+8)

/,(X)—一0+

/

.....................5分

故/(x)的单调减区间为(TC,-1),(-1.0);单调增区间为(0,+8).

所猾x=0B寸，酬/(x)有极小值/(0)=；................................6分

4

(II)解：因为a>\,

所以car+4x+4=(x+2):+(o-l)x:>0,

所以函数/(x)的定义域为R,7分

+4氏+4)-广：(2尔+4)e、ox+4-2a)

求导，得/'(力=8分

(acJ+4x+4)2(a?+4x+4)2

令/'(x)=0,得%=0,=2--,.....................9分

a

当lva<2时，毛〈须，

当x变化时，/(x)和/(幻的变化情况如下:

(f2-±)2-i(2-1.0)

X0(0,+8)

aaa

/r(x)+0一0+

/(X)zXz

故函数/(X)的单调减区间为(2-±0),单调增区间为(YO.2-±),(0.+x).

aa

...........11分

当a=2时，毛=巧=0,

2K

因为/'(X)=(2：云4x+4130，(当且仅当x=0时，Z(x)=0)

所以函数/(x)在R单调递熠.............12分

当a>2时，x2>x1,

当x变化时，，(x)和/'(力的变化情况如下:

42,4

X(f0)0(0,2—)(2——，+8)

aaa

/'(X)+0—0+

/(X)/

故函数"X)的单调减区间为(。,2-》，单调增区间为S。)，(2-*+8).

2.(本小题满分13分)

解：函数/(X)的定义域是©70),r(x)=G-L=竺二1.

XX

(1)(1)当a=0时，r(x)=-l<0,故困数/(x)在(0,y)上单调递减.

X

(2)当a<0B寸，/'(x)<0恒成立，所以函数/(x)在(0,y)上单调递减.

(3)当a>0时，令f'(x)=0,又因为x>0,解得x=JJ.

①当xw©◎时,Hx)<0,所以函数/(X)在©J)单调递减.

Y)时，/,(X)>0,所以1的数/(X)在(/,«)单调递增.

等上所述，当&W0时，函数TV)的单调城区间是Of),

当a>0时，函数/(x)的单调减区间是(0.J),单调增区间为@2……7分

(II)<1)当a40时，由(I)可知，/(x)在口由上单调递履,

所以/⑶的最小值为/(e)・；G：-l=l,解得a=3>0,舍去.

(2)当a>0时，由(I)可知，

①当Jwi,即4Ml时，函数/(X)在［"］上单调递增，

所以蹦f(x)的最小值为/Q)=ga=1,解得a=2.

②当1<J<e,即±<a<l时，出数/(x)在aj)上单调递减，在(J,e)上单

调递熠，

所以1巡/(x)的最小值为/(()=