仿真模拟卷03-2022年高考数学仿真预测模拟试题（全国卷理科）（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上。写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z=---1,则Z在复平面内的对应点位于()

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可

-、l+2i,(l+2i)(l+i),-3+3i33i

【详解】z=------l=-----——^-1=-------=一一+—，

1-i2222

所以，z在复平面内的对应点为1-1,1),则对应点位于第二象限

故选：B

2.命题“Vx«O,+w),2，>1”的否定是()

A.Vxe(0,+oo),2V<1B.现w(0,+oo),2n

C.Vx生(0,+oo),2<1D*e(0,+oo),>1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用全称命题的否定变换形式即可求解.

［详解］命题“Vxe(0,+a),2X>1”，

则命题的否定为：3x0e(0,+oo),2%<1

故选：B

3.已知福=(1,3),AC^(2,t),|BC|=1,则而.亚=()

A.5B.7C.9D.11

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的减法及卜4=1得到6再利用数量积的坐标运算即可.

【详解】由己知，得配=而一瓶=(2/)—(1,3)=(1/—3),又|前卜1,

所以J“一3)2+1=1，解得r=3,

所以诟.衣=(1,3>(2,3)=2+9=11.

故选：D

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的

体积为()

16111735

A.-yTlB.—71C.71D.—71

236

【答案】A

【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个!圆锥，且挖掉一个

4

[O1/s

相同的-圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积▽

433

故选A.

5.过点尸（1,一6）与圆V+y2=4相切的直线方程是（）

A.X-岛-4=0B.X+岛-4=0

C.x—y/3y+4=QD.x+石y+4=0

【答案】A

【解析】

【分析】

先验证点P与圆的关系，由圆的切线的性质可求得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得

选项.

【详解】将点尸代入圆的方程得产+卜6『=4,所以点P在圆上，而

1_1

所以过点P的切线斜率为左_百一百,

则所求切线方程为y+百=耳（》-1），即X-百y—4=（）.

故选：A.

6.设a,b,ceR,且a>b,则（）

A.ac>beB.—<—C.a2>b~D.o'>护

ab

【答案】D

【解析】

【分析】

结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立.

【详解】A选项，当eVO时，由不能得到ac>0c，故不正确；

B选项，当a>0,6<0（如a=l,Z?=-2）时，由不能得到工<，,故不正确；

ab

C选项，由/一方:=（a+匕）（a—匕）及可知当a+Z?<0时（如a=—2,8=—3或a=2,

人=一3）均不能得到/>〃，故不正确；

/=(q_/j)(q2+ab+〃2)=(a_o).(a+g]+~^2

D选项,

因为不同时为0,所以（。+勺+—h2>0,所以可由a>6知a3-b3>0>即/>°3,

I2J4

故正确.

故选：D

7.阅读如图所示的程序框图，若输入的k=9,则该算法的功能是()

/，工,/

It-1*1I

[]

A.计算数列｛2'i｝的前10项和

B.计算数列｛2'Ll｝的前9项和

C.计算数列｛2忆1｝的前10项和

D.计算数列｛2忆1｝的前9项和

【答案】B

【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，

S=O,i=l；

判断i>9不成立，执行S=l+2x0=1,i=l+l=2：

判断i>9不成立，执行S=l+2xl=l+2,i=2+l=3；

判断i>9不成立，执行S=l+2x(1+2)=1+2+22,i=3+1=4；

判断i>9不成立,执行SR+2+22+…+28,i=9+l=10；

判断i>9成立，输出S=l+2+22+...+28.

算法结束.

故选：B

,.log,x,x>2..

8.已知函数/(x)=<]0g(4-力x<2'若函数丁=/(%)一左有两个零点，则上的取值

范围是()

A.(^»,2)B.C.(2,+oo)D.(h+°°)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函数的图象，根据数形结合的思想可得选项.

【详解】由函数y=log2X与y=log2(4—x)的图象关于直线x=2对称,

可得/(x)的图象如图所示，

所以当女＞1时，直线y=Z与函数y=f(x)的图象有两个交点.

故选：D.

9.已知定义在R上的函数“X),都有/(x)=/(l—x),且函数是奇函数，若

2019

-.则/的值为()

4

1

A.—1B.1C.——

2D1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数〃%+1)是奇函数和〃x)=〃l—%)可得函数“切的周期为2,然后可得

2019\

=/504+务,然后再结合条件可得出结果.

4

【详解】因为函数/(X+1)是奇函数，所以/(—x+l)=—/(x+l),

乂/(x)=/(l—x),所以=

所以/(x+2)=-/(x+l)=/(X),

2019、3、

所以函数“X)的周期为2,所以/=/5。4+/噌

47

因为/

所以一

故选：

10.平行四边形ABC。中，ABBD=O,沿8。将四边形折起成直二面角A—8D-C,

且2|而］+|而（=4,则三棱锥A—BCZ）的外接球的表面积为（）

7171

A.—B.—C.47rD.27r

24

【答案】C

【解析】

试题分析：由万屈=0得万一筋，又二面角X-8。-C是直二面角，所以.18_平面88,从而

_BC,同理CD一ID,所以.4C的中点。到43CZ）四个顶点的距离相等.即邓卜接球球心，又

国『=国'+瓯『+|/：=2同'+瓯『=4,国卜2,所以球半径〃==!=1,

S=4^xl:=4^-.故选C.

考点：两平面垂直的性质，外接球与球的表面积.

11.已知函数£(*)=111/+*2+]1\，{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}H6则m+n的取值范围为

()

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(4,+与

【答案】B

【解析】设x】e{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0},

.,.f(XI)=f(f(xi))=0,

.*.f(0)=0,

即f(0)=m=0,

故m=0；

故f(x)=x2+nx,

f(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0,

当n=0时，成立;

当n#0时，0,-n不是x2+nx+n=0的根,

故△=/-4n<0,

解得:0<n<4；

综上所述，0<n+mV4；

故选:B.

12.已知抛物线M:y2=4x，圆N:(xT)2+y2=/(!■>()).过点(1,0)的直线1交圆N于C,D两点，交

抛物线M于A,B两点，且满足|AC|=|BD|的直线1恰有三条，贝Ur的取值范围为()

*/3]

A.re(0,-B.re(1,21C.rG(2,+oo)D.r€+8

【答案】C

【解析】由题意可知，显然当直线斜率不存时，|AC|=|BD|,

设直线斜率为k,此时存在两条直线满足|AC|=|BD|，

设直线上x=my+l,-2'^^',y2-4my-4=0,A=16(m2+1)>0

x=my+1、7

(x-1)2+y2=r2=y~2,1

m+I

设人的必店的厂^0区心声的必)，由|AC|=|BD|,得

2

yry3=丫2-丫4=丫[丫2=y3-y4=>yrY3=丫2-丫4,4荷+1==2(m+1)>2,

如一+1

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设a=J([sinx-l+2cos25，，则(。五一十•(/+2)的展开式中常数项

是.

【答案】-332

【解析】

试题分析：a=|sinx-l+2cos*^-内=|.(sinx+cosxkir=(-cosx+sinx)

的展开式的通项为J；.=C;Q/)A(-=(-1)'.2/'，所以博求常数项为

7工

T=(-1)3-2wd-2+(-1)'-2'-!Ci=-332.

考点：二项式定理的应用，定积分.

14..已知圆。：（％-3）2+（丁一4）2=1和两点4（—加,0）,3（m0）（加>0）,若圆上存在点

P,使得NAPB=90°,则根的取值范围是.

【答案】[4,6]

t解析】

试题分析：由已知以为直径的圆与圆。有公共点，中点为原点，=则

\m-1|<7（0-3）:+（0-4）:<w+1,解得44也占6,

考点：两圆的位置关系.

5—S1

15.已知数列｛《,｝是首项为32的正项等比数列，S,,其前"项和，且:，若

>5—>34

t

Sk<4-（2-l）,则正整数4的最小值为.

【答案】4

【解析】

分析】

S-,—12

利用等比数列的求和公式，得到，进而可求解

—54

【详解】设等比数列｛%｝的公比为9,则q>0,

S7-S5121

由题意得=7=所以4二不

S5-S.42

32

从而纵=—641-出“（2一），

1-;

化简得（2"-1）（2*-16）20,解得女24或左<0（舍去），即人的最小值为4.

故答案为：4

16.已知函数〃x）=<1'71,若•关于X的方程尸(》)一好(x)+i=o有8个

%--6x+4,x>0

不同根，则实数b的取值范围是

17

【答案】

4

【解析】

试题分析：函数/(%)的图像如图所示，因为》2-6%+4=(*-3)2-5,所以关于k的方程

/2(x)_"(x)+i=0在(0,4］上有2个根.令，=/(%),则方程/一历+1=。在(0,4］上

17

,解得2＜八一.

4

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.在①a=6csinA-acosC，②(2«-，)sinA+(»-a)sinB=2csinC这两个条件

中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知AABC的角A，B,C对边分别为a,6,c,c=JJ，而且.

⑴求NC；

(2)求AABC周长的最大值.

【答案】(1)C=(；(2)3g

【解析】

【分析】

⑴选Q),先利用正弦定理化简可得sinA=V3sinCsinA-sinAcosC,进而得到

GsinC—cosC=l,结合C的范围即可求得C=。；选②,先利用正弦定理可得

1TT

（2a-b）a+（2h-a）b=2c2，再利用余弦定理可得COSC=一，结合。的范围即可求得C=一；

23

（2）由余弦定理可得〃+〃2一出,=3,再利用基本不等式可得4+/）,,2百，进而求得AABC周

长的最大值.

【详解】⑴选①：

因为a=V3csinA-acosC,

所以sinA=>/3sinCsinA-sinAcosC.

因为sinAw0，所以J5sinC-cosC=1,即sin^C--,

__.._ll..TC7T51ll•I式TC7C

因为0<C<7T,所以一:■VC-7，所以。一二=7,n即C=—；

666663

选②：

因为（2Q-b）sinA+（2b-a）sinB=2csinC\

所以（2。一人）。+（2/?-。）人=2。2,即a1+kr-C1^ab-

兀

因为所以c=-；

3

JT

（2）由（1）可知:C=§,

在△ABC中,由余弦定理得"〃一2"©osC=3.即a?+"一刈=3,

所以（a+匕丫一3=3aZ?《亚鲁-.

所以a+b42g,当且仅当a时等号成立，

所以a+。+c43◎即AAHC周长的最大值为3g

18.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面A6CD是直角梯形，侧棱SA,底面ABCD,AB

垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.

⑴求证：AM||平面SCO；

⑵求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；

⑶设点N是直线CD上的动点，"N与平面S45所成的角为。，求sin。的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）手；（3）（sin。）_V35

max7

【解析】

试题分析：本题考查线面平行的判断，求二面角，求直线与平面所成的角，可用线平行的判

定定理,先证线线平行，得线面平行，在求二面角和直线与平面所成角的时候可以通过作角、

证明、汁算求出结果.由于图形中有AS,两两垂直，因此可能以它们为坐标轴建立

空间直角坐标系，用空间向量法解决本题.证明线面平行时，证明直线的方向向量与平面的

法向量垂直，由两平面的法向量的夹角与二面角相等

或互补可得二面角，由直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值（绝对值）等于直线与

平面所成角的正弦值求线面角，设N（x,2x—2,0）,则sin。可表示为x的函数，由函数的

性质可得最大值.

试题解析：。以点T为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则0)9(220),

AM—10.1.11.SD=11.0T—21:CD=f—1.—2.01，设平面SCD的一个法向量为叶=(x.y.z)

ISD->?=0x-2z=0------------------

则_，令三=1,得成=I2.—1.1j,丁X.1/->7=0/.ASI_%AMU平面SCD

1.8/=0-x-2y=0

⑵易知平面£宓的一个法向量为1=11:0:0),设平面SCD与平面工把所成的二面角为夕，

2娓.

易知0<<p<^---『=—...cos。=

1义563

二平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为理

3

⑶设Ar(x,2x-2,0),!iFJJ£\r=(x,2x-3,-l),易知平面$15的一个法向量为”=(1,0,0)

。

当士1=二，3即》=二时，sin。取得最大值，且isinSi=±Jx二

x53=u7

考点：用向量法证明线面平行，求二面角，求宜线与平面所成的角.

19.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90

位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

购买金额(元)[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]

人数101520152010

(1)根据以上数据完成2*2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元

与性别有关.

不少于60元少于60元合计

男40

女18

合计

(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概

率为。(每次抽奖互不影响，且“值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中

奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请

列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：K2=-——儿)——〃=a+/；+c+d.

[a+b)(c+d)(a+c)[b+d)

附表：

“02.0722.7063.8416.6357.879

H)0.1500.1000.0500.0100.005

【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解

析，数学期望75

【解析】

【分析】

(1)完善列联表，计算K?=—^>3.841得到答案.

247

1)24

(2)先计算p=§,分别计算P(X=65)=万，P(X=70)=3，P(X=75)=§，

Q

P(X=80)=—,得到分布列，计算得到答案.

27

详解】⑴2x2列联表如下:

不少于60元少于60元合:1

男124052

女182038

合计306090

不

_90x(12x20-40x18)21440

>5>3.841，

30x60x52x38247

因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

10+201

（2）X可能取值为65,70,75,80,且p=-----------=-.

903

P（X=65）=《R）$，P（X=70）=叫工容，

P（X=75）=C；亭窗gP（X=80）=d|J吟

所以X的分布列为

X65707580

p（x）1248

279927

I248

EX=65x——+70x-+75x-+80x—=75.

279927

20.如图，椭圆C］±+匕=l（a>b>0）的左右焦点分别为Fi、F,,离心率为更；过抛物线

a2b22

CQx2=4by焦点F的直线交抛物线于M、N两点，当|MF|=:时，M点在x轴上的射影为F1，连结

NO,MO并延长分别交C］于A、B两点，连接AB；AOMN与AOAB的面积分别记为SAOMN^AOAB，

^AOMN

设入=-----.

（1）求椭圆C］和抛物线的方程；

（2）求人的取值范围.

2

【答案】⑴曲线C］的方程为?+y2=i，曲线C2的方程为x2=4y（2）［2,+00）

【解析】试题分析：（0）由题意得得M（-C、-b），根据点M在抛物线上得c?=4b（；-b）.

2

又由;=与,得c=3b2,可得7b2=7b-解得b=1'从而得c=后，a=2,可得曲

线方程。（图）设分析可得-六，先设出直线的方程为

koN=m.k0M=m',m，=ON

v=mx(m>0)，由02-，解得XN=4m，从而可求得|ON|=4mdi+m2,同

|x=4v

理可得IOMLIOAI.IOBI,故可将入=衿=黑!—黑化为小的代数式，用基本不等式求

、AOAB|UA|t|UD|

解可得结果。

试题解析：

(I)由抛物线定义可得M(-c,7-b),

4

,1点M在抛物线x?=4by上，

**•c~=4b(--b)»即c?=7b-4b2①

4

22

又由5=4,得c=3b

a2

将上式代入①，得比2=%

解得b=l,

c=g,

a=2,

2

所以曲线C］的方程为土+y2=1，曲线C2的方程为x2=4y。

4

(口)设直线MN的方程为丫=依+1,

由卜1kx：1消去y整理得x2-4kx-4=0，

设M(Xi，yD，N(X2Y2).

则XR2=-4,

设koN=m,koM=m',

y2yli1

贝nl-------X［X)=

12

x2Xi164

所以m'=--f②

4m

设直线ON的方程为y=mx(m>0),

由已2一］，，解得XN=4m,

22

所以|ON|=71+m|xN|=4m+m>

由②可知，用代替m,

4m

（y=mx2

由《2i'解得XA=］）二'

匕+y=1

用-L弋替m,可得QB|=1

4mJ

SAOMN|0N|­|0M|

x=---=-----

二〜SA0AB|OA|•|OB|

所以

f+/2,当且仅当m=l时等号成立。

所以人的取值范围为［2,+8).

21.已知函数/(x)Tnx-or?+(a-2)x.

⑴若/(x)在x=l处取得极值，求4的值；

⑵求函数y=.f(x)在上的最大值.

【答案】(1)。=一1；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

⑴求导/(x)=_(2x_l)("+l).由已知得/(l)=_(2—l)(a+l)=0,解得°=一1.再

X

验证，可得答案.

⑵由已知得求导得“X)单调性.分0<a4；,〈孝，当《。<1三种

情况分别求函数y=/(x)在上的最大值.

【详解】⑴因为〃x)=Inx—s：2+(a—2)x,所以函数的定义域为(0,+e).

1,、1一2融一+(a-2)x(1)(6LV+1)

所以/(xx)=上—2ar+(a—2)=---------------'―=—-2-,x--—---------

因为“X)在x=l处取得极值，即/(1)=—(2—l)(a+l)=0,解得a=—l.

当a=T时，在上/(x)<0,在(1,+8)上/(x)>0,此时x=l是函数/(x)的极

小值点，所以a=-l.

⑵因为/<a，所以/(x)=_(21)M+l).

X

因为xe(0,4w),所以公+1>0,所以〃x)在(0,；)上单调递增，在、

,+8/上单调递

减.

①当0<a4时，/(x)在",可上单调递增，所以/⑸心=/(a)=lna-a3+a2—2a；

1

a>—

2_1<。<也时，/(X)在上单调递增，在上单调递减,

②当<.,即

22\\,乙)

a2<-

［2

所以/(x)max=/(g)=_ln2_7+一=(_l_ln2；

③当;WE即等《“〈I时，在",a］上单调递减，所以

/(元［*=f^a2>j=2lna-a5+疗一2/.

综上所述，当时，函数y=/(x)在［/,“］匕的最大值是M4“+/—2小

当g<a<当时，函数y=/(x)在［a?,。］上的最大值是(—i—］n2；

也<，

当2"""时，函数，=/(》)在上的最大值是21nQ一炉+/-2。？

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则

按所做的第一题计分。

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，直线1过M(2,0),倾斜角为a(a*0),以。为极点，x轴在平面直角坐

标系xOy中，直线Ci：由x+y-4=0,曲线。2：｛)：；晨3(Q为参数)，坐标原点O为极点,

以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)求CpC2的极坐标方程：

(2)若曲线。3的极坐标方程为。=中＞0,0＜(1＜》且曲线