经济数学（第三版） 教案 3.投入产出模式

第3讲投入产出模式建立与决策咨询总产值价值形成问题及解决方案教学目标：会建立投入产出模型，掌握投入产出模型的求解；教学内容：讨论总产值形成问题及解决方案；教学重点：掌握直接消耗系数以及总产值价值形成问题及模型建立；教学难点：总产值价值形成问题与线性方程组的联系。复习：1.矩阵的线性运算，矩阵的乘法，逆矩阵以及转置矩阵；2.mmult,minverse以及transpose函数；3.用逆矩阵求解线性方程组。一、问题引入总产值价值形成问题引例6.1按照我国对三大产业的划分,将国民经济体系分为工业、农业和服务业三个部门.设某年对它们的产品总产值分布进行调查的结果如表6-1所示(表中数据均表示以万亿元人民币计的产品价值).表6-1投入产出表单位:万亿元产出投入中间使用最终需求总产出工业农业服务业中间投入工业农业服务业31.51.50.61.80.612410.40.73.915610最初投入(增值)933总投入15610试建立线性方程组来确定当工业、农业和服务业面临的最终需求分别为33万亿元、8万亿元和16万亿元时,各部门的总产出应该是多少.问题分析任何产品生产的技术过程都是一个投入产出过程,引例要求我们回答的就是分析系统各部门之间相互输入(投入)和输出(产出)的产品的数量关系.当我们考虑一个经济体系时,会发现每种产业都需要使用其他产业的“产出”作为自己的原材料,反过来,它所“产出”的产品又必然是某些别的产业的“投入”,从而构成了相互依赖的关系.比如,把一个经济体系分成农业、工业和服务业三大部分,农业要利用服务业(如运输)和工业(如农机)的“产出”,反过来,服务业与工业当然也要用到农业产品作为它们的“投入”.那么,如何把各部门的投入来源和产出去向纵横交叉地编制成投入产出表?如何根据投入产出表的平衡关系,建立投入产出模型?如何借助投入产出表和投入产出模型进行各种经济分析?这些正是我们要学习的内容.总产值价值形成问题的数学模型从表6-1可以归纳出以下基本的平衡关系:(1)从纵向看,中间投入+最初投入=总投入.以工业部门为例(第一列),工业部门消耗了它自身的投入3万亿元,消耗了来自农业部门的投入1.5万亿元,消耗了来自服务业的投入1.5万亿元,同时,它的最初投入为9万亿元,则它的总投入量为15万亿元.(2)从横向看,中间使用+最终需求=总产出.以农业部门为例(第二行),农业部门向工业部门的输出为1.5万亿元,向它自身的输出为1.8万亿元,向服务业的输出为2万亿元,同时,它向其他机构(如政府、出口等)的输出(最终需求)为0.7万亿元,则它的总产出为6万亿元.(3)每一个部门的总投入等于该部门的总产出.定义6.1计算每个部门总产出1元价值的产品时,将相应各部门向该部门的直接输出所占的比例称为直接消耗系数.直接消耗系数是常数.由表6-1可知，工业部门的总产出为15万亿元,而工业生产过程中所消耗的农业产品为1.5万亿元,所以单位工业产品所消耗的农业产品为0.1元.类似地,将三个部门的中间投入数据分别除以本部门的总产出,便可得到直接消耗系数表,见表6-2.表6-2直接消耗系数表产出投入中间使用总产出工业农业服务业中间投入工业农业服务业3151.1.0.1.0.11021041015610显然,直接消耗系数表示每生产单位价值产品所需直接消耗的各部门产品的价值,它是对产业结构进行预测或规划工作的基础.比如,若设工业、农业和服务业的计划总产出分别为x1万亿元、x2万亿元和x3万亿元,由表6-2便可得计划投入产出表,见表6-3.表6-3计划投入产出表单位:万亿元产出投入中间使用最终需求总产出工业农业服务业中间投入工业农业服务业0.2x10.1x10.1x10.1x20.3x20.1x20.1x30.2x30.4x333816x1x2x3于是,根据投入产出表的平衡关系,有以下消耗平衡方程组QUOTE0.2x1+0.1整理,得QUOTE0.8x1－0投入产出方程组的矩阵表示三元一次方程组(6.2)又称为线性方程组，从引例6.的解决过程不难发现，投入产出问题的本质是将问题转化为求解一个线性方程组.直接消耗系数表和最终需求(表6-3)可以用矩阵表示如下：，称矩阵A为投入产出问题的直接消耗系数矩阵.显然,aij表示每生产单位价值第j种产品所需直接消耗的第i种产品的价值.投入产出方程组(6.1)可以表示为整理得(I－A)X=Y.(6.3)式(6.6)即为方程组(6.2)的矩阵形式,称为矩阵方程.如果矩阵I－A可逆,则在矩阵方程(6.6)两边同时左乘矩阵(I－A)-1,可得解的矩阵表示为X=(I－A)-1Y(6.4)其中,(I－A)-1为矩阵I－A的逆矩阵,称为里昂惕夫逆矩阵.求解一个投入产出方程组,通常用逆矩阵法:先求出里昂惕夫逆矩阵(I－A)-1,再利用式(6.4)求出X.利用Excel中的minverse函数和mmult函数求解上述方程组,得x1=50,x2=30,x3=40.所以,当工业、农业和服务业面临的最终需求分别为33万亿元、8万亿元和16万亿元时,三个部门的总产出应该为50万亿元、30万亿元和40万亿元.完全消耗系数矩阵记表示单位价值的为完全消耗系数矩阵，其计算公式如下：。针对表一数据的完全消耗系数矩阵B为。矩阵B从更深层次上揭示了各产业部门间的相互依赖关系，如：若工业部门面临的最终需求增加1元，那么不仅要增加0.2元工业产品、0.1元的农业产品和0.1元服务业产品作为直接消耗，而且还将有约0.12(0.32-0.2)元工业产品、0.16(0.26-0.1)元农业产品和0.16(0.26-0.1)元服务业产品作为间接消耗。这表明，在统筹产品部门的经济结构时，要充分考虑各个部门的承受能力，协调发展，这对经济系统的计划决策是十分重要而有意义的。二、企业产销预测模型1．问题的提出某企业2009年的投入产出表如下(单位：万元)。2011年计划三种产品的库存量不变，销售量分别比2009年增加30%、20%、40%，试预测该企业的总产品、中间产品、外购产品的投入产出情况。表6-42009年投入产出表(万元)产出投入中间产品最终产品总产品产品1产品2产品3库存销售产品1--4912924410551819产品229139920112701产品33717061077最终投入外购产品910760302其它投入9091450455总投入1819270110772．解决方案根据表6-4，求得直接消耗系数矩阵为，而2011年三种产品的最终产出分别为设2011年三种产品的总产值则解得即2011年三种产品的总产值分别为2230.1万元、3179.5万元和1359.4万元。下面讨论该企业2011年中间产品和外购产品的投入产出情况。以产品2为例，2011年产品2的总投入为3179.5万元，而单位价值产品2所消耗的产品1为0.1818元(见直接消耗系数矩阵)，所以，2011年产品2所消耗的产品1价值为3179.5×0.1818=578万元。类似地，可得2011年的中间产品使用情况表(见表8-6)。由表6-4，可得三种产品生产过程中外购产品占总投入的比例系数分别为0.5003、0.2814和0.2804，所以2011年三种产品生产过程中的外购产品价值分别为1115.7万元、894.6万元和381.2万元。类似可得2011年其他投入分别为1114.4万元、1706.9万元和574.3万元。汇总以上数据，得该企业2011年的投入产出情况表，见表6-5。表6-52011年投入产出表产出投入中间产品最终产品总产品产品1产品2产品3库存销售产品1--578.036.62441371.52230.1产品2367.33992413.23179.5产品3371988.41359.4最终投入外购产品1115.7894.6381.2其它投入1114.41706.9574.3总投入2230.13179.51359.4可见，总产品、中间产品、外购产品以及其它投入(如折旧、利润税金、企业管理费和工资等)会随着三种产品的销量增长而增长。习题1.表6-7是某经济体系中A、B两个部门的投入产出资料,如果最终需求变成对A为210百万元,对B为147百万元,那么这个经济体系中各部门的总产出是多少?表6-7投入产出表单位:百万元产出投入使用方最终需求总产出AB生产方AB1206040401401003002002.对由M(制造)、L(劳动)和A(农业)三个部门组成的经济体系进行调查,它们的产品投入产出分析资料如表6-8所示.表6-8投入产出表单位:亿元产出投入买方最终需求总产出MLA卖方MLA12030667.5112.59201030392.5297.5155600450200当对M、L和A的最终需求变为550亿元、330亿元和67亿元时,列出相应的表格,建立方程组,然后求出M、L和A新的总产出是多少.3.假定国民经济分为农业、工业和其他三个部门,其投入产出的相互关系见表6-9.表6-9投入产出表单位:亿元中间产品最终产品总产出农业工业其他中间投入农业工业其他3249469046606900865039001150700050007845141219414191443446122