2023学年完整公开课版第十讲

第十讲一次函数知识清单·主干回顾一次函数的图象和性质1.图象2.性质k的符号增减性b的符号所在象限函数图象k>0y随x的增大而________b>0________________

b<0________________

k<0y随x的增大而________b>0________________

b<0________________

增大

减小

一、二、三

一、三、四

一、二、四

二、三、四

【自我诊断】(打“√”或“×”)1.当m=-2时函数y=(m-2)x+(m2-4)是一次函数. (

)2.一次函数中自变量的取值范围是全体实数. (

)3.描出一次函数图象所经过的两个点,便可画出这个函数的图象. (

)4.已知在函数y=kx+b中,常数k>0,b<0,则这个函数的图象不经过第四象限. (

)5.等腰三角形的周长为20cm,则一腰长为ycm与底边长为xcm的函数表达式是y=(20-x)(0<x<10). (

)√√√×√宁夏5年真题考点一一次函数图象与性质【示范题1】(2020·临沂中考)点和点(2,n)在直线y=2x+b上,则m与n的大小关系是________.

【思路点拨】根据一次函数的性质,当k<0时,y随x的增大而减小;当k>0时,y随x的增大而增大.高频考点·疑难突破

m<n

【答题关键指导】1.k的符号决定直线的增减性.当k>0时函数值随着自变量的增大而增大;当k<0时函数值随着自变量的增大而减小.2.|k|的大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角越大,y随x变化越快;|k|越小,直线与x轴相交的锐角越小,y随x变化越慢.【跟踪训练】1.(2020·嘉兴中考)一次函数y=2x-1的图象大致是(

)B2.(2020·安徽中考)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是 (

)A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,3) D.(3,4)B考点二确定一次函数解析式【示范题2】(2018·益阳中考)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(-2,-1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD的最小值.(不必说明理由)【思路点拨】(1)由反比例函数图象与性质可知点A,B的坐标分别为(1,2),(-2,-1),代入其中一个点的坐标可求k;(2)由于点A,B的坐标为(1,2),(-2,-1),用待定系数法可确定直线AB对应的一次函数的表达式;(3)先确定点D的坐标为(0,4),再求点D关于x轴的对称点D'坐标为(0.-4),经过点C(3,1)和点D'的直线与x轴的交点坐标就是点P的坐标.【自主解答】(1)根据题意点(1,2),(-2,-1)都在反比例函数y=的图象上,所以k=2;(2)设直线AB:y=kx+b,因为直线AB经过点(1,2),(-2,-1),得解得所以直线AB对应的一次函数的表达式为y=x+1;(3)先确定点D的坐标为(0,4),再求点D关于x轴的对称点D'坐标为(0.-4),经过点C(3,1)和点D'的直线与x轴的交点坐标就是点P的坐标,P.最小值为.

【答题关键指导】用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤(1)设出含有待定系数的函数解析式.(2)把已知条件(自变量与函数的对应值或点的坐标)代入函数解析式得到关于待定系数的方程(组).(3)解方程(组),求出待定系数.(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式,即可得到所求的函数解析式.【跟踪训练】1.(2020·黔东南州中考)把直线y=2x-1向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后所得直线的解析式为___________.

y=2x+3

2.(2019·盐城中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图象分别交x,y轴于点A,B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是_____________.

考点三一次函数与方程(组)、不等式的关系【示范题3】(2020·遵义中考)如图,直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与直线y=2交于点A(4,2),则关于x的不等式kx+b<2的解集为________.

x<4

【答题关键指导】一次函数与方程(组)、不等式的关系【跟踪训练】1.(2020·济宁中考)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是

(

)A.x=20 B.x=5 C.x=25 D.x=15A2.(2019·滨州中考)如图,直线y=kx+b(k<0)经过点A(3,1),当kx+b<x时,x的取值范围为________.

x>3

考点四一次函数的应用命题角度1:应用一次函数解决行程类问题【示范题4】(2019·绍兴中考)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0≤x≤150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程.(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数表达式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.【自主解答】(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米.1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为:=6(千米).(2)设y=kx+b(k≠0),把点(150,35),(200,10)代入,得∴∴y=-0.5x+110,当x=180时,y=-0.5×180+110=20.∴当150≤x≤200时,函数表达式为y=-0.5x+110,当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量为20千瓦时.命题角度2:应用一次函数解决决策类问题【示范题5】(2020·北部湾中考)倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人,已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨,3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨.(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨?(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45),B型机器人b台,请用含a的代数式表示b;(3)机器人公司的报价如表:型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在(2)的条件下,设购买总费用为w万元,问如何购买使得总费用w最少?请说明理由.【自主解答】略命题角度3:应用一次函数解决方案设计问题【示范题6】(2020·牡丹江中考)某商场准备购进A,B两种书包,每个A种书包比B种书包的进价少20元,用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍,A种书包每个标价是90元,B种书包每个标价是130元.请解答下列问题:(1)A,B两种书包每个进价各是多少元?(2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个,且A种书包不少于18个,购进A,B两种书包的总费用不超过5450元,则该商场有哪几种进货方案?(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包,在销售前,拿出5个书包赠送给某希望小学,剩余的书包全部售出,其中两种书包共有4个样品,每种样品都打五折,商场仍获利1370元.请直接写出赠送的书包和样品中,B种书包各有几个?【思路点拨】(1)设每个A种书包的进价为x元,则每个B种书包的进价为(x+20)元,根据数量=总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设该商场购进m个A种书包,则购进(2m+5)个B种书包,根据购进A,B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出各进货方案;(3)设销售利润为w元,根据总利润=销售每个书包的利润×销售数量,即可得出w关于m的函数关系式,利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案,设赠送的书包中B种书包有a个,样品中B种书包有b个,则赠送的书包中A种书包有(5-a)个,样品中A种书包有(4-b)个,根据利润=销售收入-成本,即可得出关于a,b的二元一次方程,结合a,b,(5-a),(4-b)均为正整数,即可求出结论.【自主解答】(1)设每个A种书包的进价为x元,则每个B种书包的进价为(x+20)元,依题意,得:=2×,解得:x=70,经检验,x=70是原方程的解,且符合题意,∴x+20=90.答:每个A种书包的进价为70元,每个B种书包的进价为90元.(2)设该商场购进m个A种书包,则购进(2m+5)个B种书包,依题意,得:解得:18≤m≤20.又∵m为正整数,∴m可以为18,19,20,∴该商场有三种进货方案,方案一:购买18个A种书包,41个B种书包;方案二:购买19个A种书包,43个B种书包;方案三:购买20个A种书包,45个B种书包.(3)设销售利润为w元,则w=(90-70)m+(130-90)(2m+5)=100m+200.∵k=100>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=20时,w取得最大值,此时2m+5=45.设赠送的书包中B种书包有a个,样品中B种书包有b个,则赠送的书包中A种书包有(5-a)个,样品中A种书包有(4-b)个,依题意,得:90×[20-(5-a)-(4-b)]+0.5×90(4-b)+130(45-a-b)+0.5×130b-70×20-90×45=1370,∴b=10-2a.∵a,b,(5-a),(4-b)均为正整数,∴答:赠送的书包中B种书包有4个,样品中B种书包有2个.

【答题关键指导】应用一次函数解决实际问题常见的三种题型(1)建立函数模型,然后借助方程或不等式或函数图象来解决方案选择问题.(2)利用一次函数的图象的性质,如增减性等来解决生活中的优化问题,它常与方程(组)或不等式(组)一起考查.(3)利用一次函数图象描述事物的变化规律,此问题要仔细分析图中各点以及每条直线(或线段)表示的意义.【跟踪训练】1.(2020·河池中考)某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格为4元/kg;乙店的香蕉价格为5元/kg,若一次购买6kg以上,超过6kg部分的价格打7折.(1)设购买香蕉xkg,付款金额y元,分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式;(2)到哪家店购买香蕉更省钱?请说明理由.【解析】(1)甲店:y=4x,乙店:(2)当x≤6时,甲店比较省钱,当x>6时,令4x=30+3.5(x-6),解得:x=18,甲、乙两店的费用一样,综上:当x<18时,甲店比较省钱,当x>18时,乙店比较省钱.2.(2020·宁波中考)A,B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将一批物资运往B地,行驶一段路程后出现故障,即刻停车与B地联系.B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后,用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往B地.两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.(通话等其他时间忽略不计)(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程y关于x的函数解析式.(2)因实际需要,要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时,问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米?【解析】(1)设函数解析式为y=kx+b(k≠0),把(1.6,0),(2.6,80)代入y=kx+b,得解得:∴y关于x的函数解析式为y=80x-128.(2)当y=200-80=120时,120=80x-128,解得x=3.1,∵货车甲的速度为80÷1.6=50(千米/小时),∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50=4(小时),18÷60=0.3(小时),4+1=5(小时),5-3.1-0.3=1.6(小时),设货车乙返回B地的车速为v千米/小时,∴1.6v≥120,解得v≥75.答:货车乙返回B地的车速至少为