第2讲 转化与化归思想(解析版)

转化与化归思想转化与化归思想：把要解决的问题通过某种转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到解决的思维方法。包括但不限于：①数与形的转化②相等与不等转化③整体与局部的转化④正与反的转化⑤空间与平面的转化⑥常量与变量的转化⑦数学语言转化等等。转化分成两种情况：等价转化与不等价转化，各有所用，但必须理解其中不同之处，合理选用.典型例题已知函数的定义域为，则的定义域为.答案：.【理解转化的依据】设，，则的范围是.答案：【等价转化才能获得正确解答，必须关注自变量的取值范围】.若，则=.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则；.【答案】1023【解析】由题设，则，又，所以，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，，所以，，则.故答案为：，已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为.不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是.答案：【常量与变量的转化】古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为．【答案】【解析】根据圆内接四边形的性质可知;,所以，即，在中，,故，由题意可知：,则，所以，故，当且仅当时等号取得，又，所以，则，则实数的最小值为，故答案为：已知函数在上的最大值为，最小值为，则.答案：2【转化成“奇函数+常数”】若直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为.答案：【转化成方程的解个数判断的问题，但不是等价转化，必须考虑容椭圆本身的要求】已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，故在定义域上是增函数，所以，即，所以.故选：D.设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，记，则，故在单调递增，故，因此得当时，，故，即；，设，则，因为，当时，．所以在上单调递增，所以，即，所以．故选：A已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，则，令，，当时，，则单调递增，即，故，可得，即；由，且，则，即.综上，.故选：C.已知为圆上的动点，则的最大值为.答案：8【将研究对象转化成点到直线的距离公式，设，然后圆心到直线的距离不超过半径】已知数列的首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的范围是.答案：【方法一：转化为不等式问题。方法二：转化成类反比例函数图象问题】在中，分别为的中点，，实数满足，设的面积分别为，记，则取得最大值时，的值为.答案：【向量关系和面积关系都转化成边长的比】在中，，若空间点满足，则的最小值为；直线与平面所成角的正切的最大值是.【答案】【解析】过点作与点，过点作与点，设，则，又，则，则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，当点与点三点共线时，最小；且最小值为；如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：，，设，则，当，且时，最小，即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；记直线与平面所成角为,则，因为，所以，令，则，则，，又，在上单调递减。在上单调递增，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，所以直线与平面所成角的最大值为，此时，故答案为：；椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点).在平面直角坐标系中，将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”C：，则“斜椭圆”的离心率为.【答案】【解析】“斜椭圆”的中心为坐标原点，所以长半轴的长度为曲线上的点到原点距离最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离最小值，由基本不等式，即，所以，解得，当时，成立，时，成立．所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆的离心率为.故答案为：.的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=.答案：1【构造平行四边形对边平行且相等，转化成平面向量的结论】【外心出现，垂直相伴】设的三边长分别为的面积为，，若，，，则A.为递减数列B.为递减数列，为递增数列C.为递增数列D.为递增数列，为递减数列答案：C【利用海伦公式可用于最值情况】【转化成椭圆中的焦点三角形面积很容易说明】点，直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上，若C上存在点，使，则圆心C横坐标的取值范围是.答案：【利用解析几何方式转化已知条件，最终依据两圆的位置关系确定答案】已知实数满足，则的最小值是.答案：【利用代数变化转化已知或未知条件，达到能够使用均值不等式的条件】如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为．

【答案】【解析】设，则设，(其中为双曲线的半焦距，为C.到轴的距离)，，则，即，，即点坐标为，设双曲线的方程为，将代入方程，得①，将，E代入①式，整理得，消去，得，所以，由于.所以，故，故答案为：(多选)已知数列满足，是前n项和，若，（且），若不等式对于任意的恒成立，则实数的值可能为（

）A．－4 B．0 C．2 D．5【答案】AD【解析】由，则得，所以，则，，…，，上述式子累加可得，所以．所以对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立．方法一：对选项A，当时，不等式为，其解集包含，故选项A正确；对选项B，当时，不等式为，其解集不包含，故选项B错误；对选项C，当时，不等式为，其解集不包含，故选项C错误；对选项D，当时，不等式为，其解集包含，故选项D正确．方法二：令，若对于任意的恒成立，只需，即，解得或．故选：AD．小结：通过以上习题的练习，希望能够体会到数学中转化与化归思想的本质，就是将不熟悉不容易解决的问题转化成熟悉