椭圆的简单几何性质3 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程3.1.2椭圆的简单几何性质复习回顾标准方程图象范围对称性

顶点坐标焦点坐标半轴长焦距离心率-a≤x≤a，-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(±a，0)、(0，±b)(c，0)、(-c，0)长半轴长为a，短半轴长为b.a>b(±b，0)、(0，±a)(0，c)、(0，-c)(e越接近于1越扁)-b≤x≤b，-a≤y≤a椭圆的几何性质2c由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：椭圆的第二定义：

平面内，到定点F(c，0)的距离与它到定直线

的距离之比是常数

(a>c>0)的动点的轨迹叫椭圆一、直线与椭圆位置关系例题讲解1、如图，已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：.m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？消去y，得25x2+8mx+m2-225=0，①方程①的根的判别式△=64m2-4×25(m2-225)，oxylF1F2

由△>0，得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.

由△=0，得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有公共点.

由△<0，得m<-25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.直线与椭圆的位置关系及判断:1、相离:2、相切:3、相交:直线与椭圆无交点直线与椭圆有且只有一个交点直线与椭圆有两个交点直线与椭圆的位置关系的判定△<0⇔方程组无解⇔相离⇔无交点△=0⇔方程组有一解⇔相切⇔一个交点△>0⇔相交⇔方程组有两解⇔两个交点消去一个未知数mx2+nx+p=0(m≠0)由方程的根判别式△=n2-4mp判断这是求解直线与二次曲线有关问题的通法.点与椭圆的位置关系及判断:1、点在椭圆外2、点在椭圆上3、点在椭圆内点P(x0，y0)、椭圆随堂练习1、直线y=x+1与椭圆恒有公共点，求m的取值范围。消去y，得(m+5)x2+10x+5-5m=0，因为恒有公共点，所以△≥0，得100-4×(m+5)(5-5m)≥0，解得m≥0或m≤-4又因为m>0且m≠5所以m>0且m≠5随堂练习2、直线y=kx+1与椭圆

恒有公共点，求m的取值范围。所以m≥1且m≠5解析：因为直线y=kx+1恒过点(0，1)，所以只要点(0，1)在椭圆上或其内部即可解得m≥1因为m≠5随堂练习3、已知椭圆

，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小?最小距离是多少?oxylm思考：直线与椭圆会相交吗？为什么？解：设直线m平行于l，则m可写成：4x-5y+k=0，消去y，得25x2+8ky+k2-225=0，由△=0，得64k2-4×25(k2-225)=0，问题：最大的距离呢？解得k1=25，k2=-25，由图可知k=25，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，设为d，则二、弦长问题例题讲解2、如图，已知斜率为1的直线l过椭圆

的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.解：∵a2=4，b2=1BAOF设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)小结：求直线y=kx+b被椭圆所截弦长计算公式：设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则当直线斜率不存在时，|AB|=|y1-y2|随堂练习4、已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.解析：将椭圆5x2+9y2=45化为标准方程可得右焦点F(2，0)所以过点F(2，0)且斜率为1的直线为y=x-2设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)消去y，得14x2-36x-9=0，随堂练习5、已知点F1、F2分别是椭圆

的左、右焦点，过F2作倾斜角为

的直线交椭圆于A、B两点，求△F1AB的面积分析：先画图熟悉题意，点F1到直线AB的距离易知，要求S△F1AB，关键是求弦长AB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线方程和椭圆方程联立方程组随堂练习5、已知点F1、F2分别是椭圆

的左、右焦点，过F2作倾斜角为

的直线交椭圆于A、B两点，求△F1AB的面积∴直线AB的方程为y=x-1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y，并化简得3x2-4x=0，∵点F1到直线AB的距离三、弦中点问题例题讲解3、已知椭圆

，求过点

且被P平分的弦所在的直线方程．解：设所求直线的斜率为k，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得∵P是弦中点，∴x1+x2=1所以所求直线方程为2x+4y-3=0待定系数法(设出弦AB的方程)是解决直线与圆锥曲线位置关系的通用解法.应熟练掌握.三、弦中点问题例题讲解3、已知椭圆

，求过点

且被P平分的弦所在的直线方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的两个端点故所求弦AB的方程是2x+4y－3＝0设而不求(将弦AB的斜率看成一个整体)是解决中点弦的常用解法随堂练习6、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为

，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)得(1+a)2x2-2a2x=0随堂练习7、中心在原点一个焦点为

的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为

，求椭圆的方程．分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于a，b的方程组即可．解：设所求椭圆的方程为把直线方程代入椭圆方程，整理得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0，设弦的两个端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得解①、②得：a2=75，b2=25课后练习1、求椭圆

上一点P，使得点P与椭圆两焦点连线互相垂直.解：椭圆的焦点c2=a2-b2=9-4=5，设P点坐标为(xp，yp)点P与椭圆两焦点连线互相垂直，即PF1⊥PF2，∴k1×k2=-1课后练习2、椭圆

的焦点为F1、F2，点P是椭圆上的动点，当点P与两焦点连线成钝角时，求P点的横坐标的取值范围解：椭圆的焦点c2=a2-b2=9-4=5，F1F2AByxO课后练习3、已知椭圆

的焦点为F1、F2，在直线l：x+y-6=0上找一点M，求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程分析:∵椭圆的焦点为(-2，0)，(2，0)关键是怎样求出椭圆的长轴大小.F1F2OyxF1′HM课后练习3、已知椭圆