专题2.4 勾股定理的应用（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题2.4勾股定理的应用【典例1】吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【思路点拨】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【解题过程】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1=AC2+C∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为55cm（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，∴AC1=AC2+C②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，∴AC1=AD2+D∵234＜146∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为234cm（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC=AB2+BC∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为52cm1．（2023春·八年级课时练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【思路点拨】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解题过程】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴AC∵AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC=AB2-BC∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴CE∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，∴EC=DE2-CD∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故选：A．2．（2023春·八年级课时练习）如图，高速公路上有A,B两点相距10 km，C,D为两村庄，已知DA=4 km，CB=6 km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C,D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是(A．4 km B．5 km C．6 km D．20 km【思路点拨】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【解题过程】解：设BE=xkm，则AE=(10-x)km，在RtDE在RtCE由题意可知：DE=CE，∴62解得：x=4．所以，EB=4km．故选：A3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（

）A．25 B．529 C．105+5 D．【思路点拨】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解题过程】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=B只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=B只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=A∵25＜529＜5∴蚂蚁爬行的最短距离是25，故选：A．4．（2022秋·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（A．29 B．34 C．41 D．52【思路点拨】首先由SΔPAB=13S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则【解题过程】解：设ΔABP中AB边上的高是h∵S∴12∴h=2∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在RtΔABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=A即PA+PB的最小值为41．故选：C．5．（2023春·八年级课时练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．【思路点拨】作AD⊥ON于D，求出AD的长即可解决问题，如图以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，求出BC的长，利用时间=路程【解题过程】解：作AD⊥ON于D，∵∠MON=30°，AO=160m，∴AD=12即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离80m．如图以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，BD=A∴BC=120m，∵重型运输卡车的速度为36千米/时=10米/秒，∴重型运输卡车经过BC的时间=120÷10=12（秒)，故卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．6．（2023春·八年级课时练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，AD⊥BC于点D，则AD的长为______海里．【思路点拨】如图，Rt△ACD和Rt△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据BD=BC+CD即可列方程，从而求得AD的长．【解题过程】解：由题意可得∠ABD=30°，∠ACD=60°∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=100海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x海里，AD=A在Rt△ABD中，AB=2AD=23x，又∵BD=BC+CD,∴3x=100+x，解得：x=50，∴AD=3故答案为：507．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t【思路点拨】求出当△ADB是等腰三角形时BD的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．【解题过程】解：分三种情况如下图1所示，当AD=DB时．∵BC=8，∴CD=8-BD又AC=4在RT△ACD中，由勾股定理得4解得BD=5除以点D运动的速度得所用时间t为5秒；如下图2所示，当AB=DB时．由勾股定理得DB=AB=AC除以点D运动的速度得t为45如下图3所示，当AD=AB时．∵AC⊥BC∴CD=BC=8∴BD=16除以点D运动的速度得t为16秒．综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为5秒、45秒或16故答案为：5、45或168．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D，已知BD=1, AD=CD=2, BC上方有一动点P，且点P到A,D两点的距离相等，则【思路点拨】取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所求，然后根据勾股定理求解即可．【解题过程】解：∵P到AD两点的距离相同，∴P在线段AD的垂直平分线上，取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所求∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP∵要使△BCP的周长最小，∴BP+CP最小，即为CE长，又∵EF//BC，∠ADC=90°∴∠FHD=∠HDB=90°∴四边形BDHF是矩形，∴BF=DH=EF=12AD=1，∠FBD∴BE=2∵CE=BC∴CE=13△BCP的周长最小值=BC+BP+CP=3+故答案为：3+139．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF、CF，则DF+CF的最小值等于______．【思路点拨】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE，确定点F在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定点C'在AB的延长线上，当D，F，C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=1，AC'=2【解题过程】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，如图，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，EF=DE，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，∠A=∠FGE∠EDA=∠FEG∴△AED≌△GFE(AAS)，∴FG=AE，∴点F在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'∵EG=DA，FG=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC'的角平分线，即点F在∴点C'在AB当D，F，C'三点共线时，DF+CF=DC在Rt△ADC'中，AD=1，AC'∴DC故答案为：5．10．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为___________；（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值___________；（3）代数应用：求代数式x2+1+【思路点拨】（1）作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，连接AB'，根据轴对称的性质可得AB=AB'=AC2+BC2=22，PB=PB（2）作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'N⊥AB于点N，交AC于点M，连接BB'交AC于点O，根据BM=B'M可知BM+MN=B'M+MN=（3）根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于x2+1和【解题过程】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点∵点B和点B'关于AC∴AB=AB'=AC2+BC2=22，PB∴在△ABB'中，∠BA∵点E为AB中点，∴AE=12∴EB∵PB=PB∴PB+PE=PB'+PE=故答案为：10．（2）作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'N⊥AB于点N，交AC于点M，连接BB根据轴对称的性质可知，BB'⊥∵AB=2，∠BAC=30°，∠AOB=90°，∴BO=12AB=1，∠NB∴BB'=2BO在Rt△NBB'中，∠NB∴∠B'=30°∴NB=12∴B'∵BM=B'∴BM+MN=B'M+MN=故答案为：3．（3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，作点C关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于点P，延长DB，过点C'作C'根据轴对称的性质可知，AC=AC'=1，CP=∵AB=4，AC'∴C'O=4，BO=A∴DO=3，在Rt△C'OD中，∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，∴C'P=A∵CP+DP=C'P+DP=C∴x2+1+故答案为：5．11．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【思路点拨】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．【解题过程】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝12AB•CH＝12AC•BC∴CH＝AC•BCAB=160×120∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠较短．12．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，（1）在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）（2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【思路点拨】（1）作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于M（2）连接A'A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，根据勾股定理求出BP，【解题过程】（1）解：如图，作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于M点，即（2）解：如图，连接A'A交CD于H点，过点B作PB⊥AH由题意可知：AH=A'H=1km，∴PA=PH-AH=2km，∴在Rt△APB中，BP=∴在Rt△A'由对称性质可知：AM=A水管长AM+BM=A完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50（万元）13．（2022春·四川泸州·八年级统考阶段练习）如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度数；（2）若BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？【思路点拨】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.【解题过程】解：（1）∵AB=BC=AD=100，∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=1002+∵CD=1003在△ACD中，有AD∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°；（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有AE解得：AE=502∴AF=1002∴被监控到的道路长度为1002米14．（2022秋·四川内江·八年级校考阶段练习）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，AB=22+12=5，BC=10，（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：______．（2）思维拓展：若△ABC三边的长分别为5a、22a、17aa>0，请利用图②（3）探索创新：若△ABC三边的长分别为m2+16n2、9m2+4n2（4）直接写出当x为何值时，函数y=x【思路点拨】（1）S△ABC（2）根据AB=5a=(2a)2+（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=m2+16n2（4）求函数y=x2+9+12-x2+4有最小值，即y=函数y=x2+9【解题过程】（1）根据题意得：S=72故答案为：72（2）根据题意得：AB=5a=(2a)2+根据题意：S=8=3a（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=m2+16n2画图如下：根据题意：S=5mn．（4）函数y=x2+9+12-x2+4有最小值，即y=x-02+0-32+当x为7.2时，函数y=x2+915．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：（1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；（2）小明发现：设BC=x，则CD=12-x，则AC+CE=x2+（3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：①x2+9+②2x-22【思路点拨】（1）直接根据两点之间线段最短，连接AE，交BD于点C即可；（2）根据平行线分线段成比例定理得出BC的长度，根据勾股定理求出AE即为最小值；（3）①根据题意可知x2+9+②将2x-22【解题过程】（1）解：如图，点C即为所作：；（2）过点A作AJ⊥ED，交ED与点则JE=DJ+∴AC设BC'为x，则则12即12解得x=8∴AC+CE=x2故答案为：8；65（3）①x2+9+故答案为：25；②2=(2x-4)故答案为：31316．（2023秋·河北秦皇岛·九年级校联考期末）在我市某海域内有三个港口P、Q、M．港口M在港口P北偏东60°方向上，港口Q在港口P北偏西60°方向上．一艘船以每小时20海里的速度沿北偏东30°的方向驶离P港口5小时后到达H点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每小时36吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过100吨时，船将沉入海中．同时在H处测得港口M在H处的南偏东75°（1）此船在H处距离哪个港口最近？为什么？（2）此船在H处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没？并指出此时船的航行方向．【思路点拨】（1）连接HQ、HM，过点H作HA⊥PM于点A，分别求得（2）设由H驶向港口M，该船的速度为每小时x海里，根据题意列出不等式，求解即可获得答案．【解题过程】（1）解：连接HQ、HM，过点H作HA⊥PM于点根据题意，可得∠QPB=60°,∠HPB=30°,∠MPB=60°，∴∠HPQ=∠QPB+∠HPB=90°，∠HPM=∠MPB-∠HPB=30°，∵PB∥∴∠PHC=∠HPB=30°，∵该船以每小时20海里的速度沿北偏东30°的方向驶离P港口5小时后到达H点位置处，∴PH=20×5=100（海里），∵HA⊥PM，∴AH=1∵在H处测得港口M在H处的南偏东75°方向上，即∠MHC=75°，∴∠M=180°-∠HPM-(∠PHC+∠MHC)=45°，∴∠MHA=90°-∠M=45°，∴∠M=∠MHA，∴AH=AM=50（海里），∴在Rt△AHM中，HM=∴HM<PH，∵△PQH为直角三角形，∠HPQ=90°，∴HQ>PH，综上所述，港口M离H点位置最近，为502（2）设由H驶向港口M，该船的速度为每小时x海里，则根据题意，可有502解该不等式，可得x≥102答：该船应以速度至少为102海里/时，才能保证船在抵达港口前不会沉没．船的航行方向为南偏东75°17．（2023春·全国·八年级专题练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为米．（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离．（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9-x)2【思路点拨】（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到AD∥BC，AB∥CE，由平行线间的距离处处相等可得BC=AE=16千米，CE=AB=40千米，求出（2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P，根据线段垂直平分线的性质可得PC=PD，点P即为所求；设AP=x千米，则BP=40-x千米，分别在Rt△ADP和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出PD2（3）如图3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=7，AB=9，BC=5，设BP=x，则PC+PD=x【解题过程】（1）解：如图1，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴BC=AE=16千米，CE=AB=40千米，∴DE=AD-AE=25-16=9千米，∴CD=D即两个村庄的距离为41千米，故答案为：41；（2）解：如图2，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P，点P即为所求，设AP=x千米，则BP=40-x在Rt△ADP中，P在Rt△BPC中，P∵PC=PD，∴x2解得x=16，即AP的距离为16千米；（3）解：如图3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=7，AB=9，BC=5，设BP=x，则PC+PD=x作点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作FE⊥DA于E，则DF是PC+PD的最小值，即代数式x2∵AE=BF=5，EF=AB=9，DE=DA+AE=7+5=12，∴代数式x2+25+故答案为：15．18．（2022秋·江苏·八年级期末）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为cm（结果保留根号）．（2）如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，并求出它的长（结果保留根号）．（3）图④中的几何体是由底面相同的正方体和四棱锥组成．正方体的棱长为acm，M是正方体的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，O是四棱锥的顶点，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．正方体的侧面展开图如图⑤所示，在图中画出蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径的示意图，并写出求最短路径的思路．【思路点拨】（1）画出正方体的侧面展开图，连结AP，由两点之间线段最短可知线段AP的长为蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径