初中数学 动点+最值+轨迹

初中数学专题•动点+最值+轨迹•

一、直线运动

I.定角型

1.在aABC中，AC=8C=8,得到FC,连接。/，则点E运动过程中，。尸的最小值

是.

(1)

2.如图，正方形ABC。的边长为2,动点E从点A出发，沿边AB向终点3运动，以DE为

边作正方形。EFG.求在点E的整个运动过程中，点尸经过的路径长.

3.如图，R/QABC中，AC=6,3C=8,NC=90。.点P是AB边上一动点，。是AC延

长线上一点，且AC=C。，连接P。，过点。作OE_LP。，连接PE,且

2

tanZDPE=~.则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为

5

(3)(4)

4.如图，在直角坐标系中，已知点A(4,0),点B为直线y=2上一动点，连接AB,以

AB为底边向下做等腰放4ABC,NACB=90°,连接0C,则0C的最小值为.

5.如图，已知点A是第一象限内横坐标为百的一个定点，AC_Lx轴于点M,交直线y=—x

1

于点N.若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA±PA,则点P在线段ON上运

动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点0运动到点N时，点B运动的路.径长是.

6.如图，在R/AA8C中，AC=BC=2,点P为AB边上一动点，连接CP,以CP为

边向下作等腰RtZVlBC,连接BD,则BD的最小值为.

7.如图，正方形A8CD的边长为4,E为BC上一点、,且8石=1,/为AB边上的一个动

点，连接EF,以E厂为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.

8.如图，己知点P(0,3),等腰直角△ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,BC=2,BC边在x

轴上滑动时，%+PB的最小值是.

9如图，等腰直角三角形ABC的斜边AC=8，点。、E分别是直角边A3和BC上的动

点，以OE为斜边在DE的左下侧(包括左侧和下侧)作等腰直角三角形。在，连接CF,

则线段CF的长度的最小值为______.

R

c.B

10.如图，在2BC中,zACB=90°,BC=AC=4,M为AB中点D是射线BC上的一动点，

2

连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到线段AE,连接ED、ME,点D在运动过

程中ME的最小值为

n.将军饮马&对称

1.如图，在矩形ABCO中，AB=3,BC=4,在矩形内部有一动点P满足SA/MB=3S“CD，则

动点尸到点A,B两点距离之和PA+PB的最小值为.

2.在平面直角坐标系中，长为2的线段CO(点。在点C右侧)在x轴上移动，A(0,2),

B(0,4),连接AC,BD,则AC+3。的最小值为.

3.如图，正方形A8CC的边长为2,延长AB至E,使得AB=BE,连接CE,P为CE上一动

点，分别连接以、PB,则以+PB的最小值为.

4.如图，在正方形ABCQ中，BC=2,点、P,。均为A8边上的动点，BELCP,垂足为£

则QD+QE的最小值为.

5.如图，点P是/4OB内任意一点，OP=8cm,点M和点N分别是射线04和射线OB上的

动点，周长的最小值是8cn，则NA08的度数是.

6.如图，矩形ABCO中，AB=2,对角线AC、BD交于点0,乙40。=120。，E为BO上任

意点，P为AE中点，则尸。+PB的最小值为.

3

7.如图，0为坐标原点，△480的两个顶点A(6,0),B(6,6),点。在边A8上，AQ=

58£>,点C为OA的中点，点尸为边OB上的动点，则使四边形PCAO周长最小的点P的坐

标为.

8.如图，正方形ABEF的面积为4,△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角

线BF上有一点尸，使PC+PE最小，则这个最小值的平方为.

9.如图，在中，ZC=90°,NB=30。，点力、E分别在边AC、AB上，AD=14,

点尸是边BC上一动点，当PD+PE的值最小时，AE=15,则8E为.

10.如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边08在x轴上，ZOBA=90°,/AOB=30。，AB

=3,点C是边48的中点，点。在边OB上，且。£>=上。8,点P为边0A上的动点，当四

3

边形PDBC周长最小时，点P的横坐标为.

11.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D

的坐标为(6,4),E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2,要使四边形APQE

的周长最小，则点P的坐标应为.

4

12.已知矩形A8CD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则

MA+MD+ME的最小值为.

13.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点,

且EF_LAC于点M,连接AF、CE,求AF+CE的最小值.

14.如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且

AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为.

二、圆运动

I.瓜豆原理（主动点与从动点问题）

1.如图，点。在线段A8上，OA=l,OB=3,以。为圆心，长为半径作日。，点”

在。。上运动，连接MB,以M3为腰作等腰Rt4ABC,使NMBC=90°,M,B,C三

点为逆时针顺序，连接AC,则AC长.的取值范围为.

2.如图，已知AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°,AC=2,以点C为圆心，1为半径作

5

圆，点P为。C上一动点，连结AP,并绕点A顺时针旋转90。得到AP'连结CP。则CP，

的取值范围是.

3.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点AB在一个半径为2的圆上，顶点C,D在该圆内，

将正方形ABC。绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为

4.如图，。。的半径为6,AB是。O的弦，将线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段CA,

当点A固定，点B在圆上运动时，则线段OC长度的最小为.

5.如图，正方形ABC0中，=2后，O是8C边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,

连接。E,将线段绕点。逆时针旋转90。得力F,连接求线段OR长的最小

值______

6.如图，AABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在AABC外作正方形3CDE,BD,CE

交于点O,则线段A。的最大值为.

7.如图，线段A3为。0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P是。O上一

动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt\PCD,且使NDCP=60。，连接OD,则

OD长的最大值为.

8.如图，己知圆。中，0A=3,NAO5=120。，C是弧AB上的动点，以BC为边作正方形

6

BCDE.当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是

9.如图，在RtA48C中，NC=9O°,AC=6,A8=1O,0是的中点，P为边BC上一

个动点，将线段PD绕点P逆时针旋转90。,点。的对应点为。，则BQ的最小值为.

10.如图,四边形力8。中，力8=3,6C=2,若ZC=力。且/力。=60°,则对角线6。的

长最大值为•

11.R/AA8C中，zACB=90°,zABC=30°,AC=4,D为线段AB上一个动点，以BD为边

在△ABC外作等边三角形BDE若F为DE的中点，则CF的最小值为.

II.线段中点轨迹为圆

1.如图，已知点A(3,0),C(0,-4),OC的半径为6,点P为。C上一动点，连接AP,若

M为AP的中点，连接OM,则OM的最大值为.

2.如图，点P(3,4),圆P半径为2,4(4,0),8(8,0),点M是圆尸上的动点，点。是仞?

的中点，则AC的最小值是.

7

3.如图，在等腰R/AABC中，AC=BC=2M,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为

PC的中点，当半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径长为.

4.如图，半圆。的半径长为4,点尸为直径A3上的一个动点.已知CPLAB,交半圆。于点

C,若。为半圆。上的一动点，且CO=3,点M是CD的中点，则PM的最大小值________.

5.如图，正方形ABC。的边长为4,E是CD边上一点，连接AE,过点3做5厂，AE于

点F,点G与尸关于C。对称，〃为CG的中点，则AH的最小值为.

6.如图，菱形ABC0的对角线AC与BD交于点。，点E、尸分别是AC和BD上的动点,

且族=6，点尸为所的中点，已知AC=16,BD=12,连接BP、CP,6PC面

积的最大值为.

m.隐圆（定线段对定角）

1.如图，AB是半。O的直径，点C在半。O上，AB=5,AC=4.D是弧BC上的一个动点，连

接AD,过点C作CEJ_AD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为_D_Dd_

2.如图，在RtZVIBC中，BC=4C=2,点”是AC边上一动点，连接以CM为直径的。

8

。交8M于N,则线段AN的最小值为.

图，半径为2,圆心角为90。的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径0A引垂

线PH交OA于点H,设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心

I所经过的路径长为____________.

4.如图，直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N,边长为2的正方形。45c一个顶

点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点O旋转一周，则点P

到点（0,2）长度的最小值是.

5.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,

连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

1）MACAI--------------------------1D

bH

6.如图，以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰ABCE,CE=BC,过E做EH±BC,

点P是RtaCEH的内心，连接AP,若AB=2,则AP的最小值为.

9

7.如图，以G（0,1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两

点，点E为。G上一动点，CFLAE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所

经过的路径长为.

8.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7,3）,点E在边AB上,

且AE=1,已知点P为y轴上一动点，连接EP,过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H,在点P

从点F（0,卫25）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为.

4

W.隐圆

（翻折类）

1.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2,

△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PE+P。的最小值是

（四点共圆）

6.在中，AC=8,BC=7,。是BC边上一动点，DE_L于E,£＞尸_1AC于

/的最小值为.

10

22.如图，在AABC中,AB=10,NBAC=6(r,NB=45。,点D是BC边上一动点，连接AD,以AD

为直径作交边AB、AC于点E、F,连接OE、OF、DE、DF、EF.

①求M的值；

0E

②当AD运动到什么位置时,四边形OEDF是菱形，请说明理由；

③点D运动过程中,求线段EF的最小值

(定线段)

18.如图，正方形A8CD和R/AAEE,AB=5,AE=AP=4连接OE.若绕

7

点4旋转，当NA5Z最大时，SMDE—

V.阿氏圆

1.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是A4OB外侧第

一象限内一动点，且N3PA=135°,求2PD+PC的最小值一.

2.如图，AC=6,BC=8,AB=10,圆C的半径是4,点D是圆C上的动点，连接

AD,BD,2AD+BD的最小值是.

11

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3.如图，在A4BC中，ZACB=90°,AC=9,BC=\2,以点C为圆心，6为半径的圆上有

一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

4.已知：扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=3,点C,D分别在OA,OB上，OC=2,OD=DA.点P

是AB上的一个动点。求PC+2PD的最小值是多少.

5.已知菱形ABCD的边长为4,NB=60。，圆B的半径为2,点P是圆上一动点，2PD+PC

的最小值______.

6.如图，AA3C中，NACB=9(T,AC=3,BC=4.圆C的半径为2,点P是圆C上一动点，AP+-BP

2

的最小值.

4

D

7.如图，A3CD为边长为4的正方形，圆0内切于正方形，P是圆。上一动点，42PA+PB

的最小值______.

8.如图，RtAABC,ZACB^90°,AC=4,BC=3.点D为4ABC内一点，且满足CD=2,求

3AQ+2BO的最小值是.

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9.如图，圆半径为1,AB为直径，AC,BD分别与半圆相切。AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点,

41PC+2PD的最小值为

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s.费马点

10.在△MNG中，MN=6,NM=75。，MG=4及，点O是△MNG内一点，则点0到AMNG

三个顶点的距离和的最小值是.

11.四边形ABC。是正方形，AA8E是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意

一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.

①当M点在何处时，AAf+B/W+CW的值最小，并说明理由；

②当AM+3M+CM的最小值为G+1时，求正方形的边长.

皿.探究题

1.已知关于x的一元二次方程x2-(/n-l)x+m-3=0.

［解决问题］(1)求证：不论团取何值时，方程总有两个不相等的实数根.

(2)若直线y=(m-1)x+3与函数y=x2+m的图象G的一个交点的横坐标为2,求关

于x的一元二次方程--(加一1卜+加一3=0的解.

［问题拓展I(3)在(2)的条件下，将抛物线y=/—(加一1卜+机-3绕原点旋转180P,

得到图象C2，点。为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别与图象G、交于

M.N两点，当线段MN的长度最小时，求点P的坐标.

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2.阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了T有趣的定理——“中线长定理‘：三角

形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

如图1,在4ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：

AB2+AC2=2AD2+2BD2.小明尝试对它进行证明，部分过程如下：

解：过点A作AE1BC于点E,如图2,在RtAABE中,AB2=AE2+BE2,

同理可得：AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,

为证明的方便，不妨设BD=CD=x,DE=y,

AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CEJ.

(1)请你完成小明剩余的证明过程；

理解运用：

(2)①在4ABC中，点D为BC的中点,AB=6,AC=4,BC=8,贝AD=