复合函数的定义域详细讲义及其练习提高详细答案解析

复合函数

一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x),且g(x)

的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称

为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。

二，对高中复合函数的通解法一一综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1：指出下列函数的复合过程。

(1)y=V2-x2(2)y=sin3x(3)y=sin3x(4)y=3cosVl-x2

解：(1)y=J2-x2是由y=Ju,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

(3)y=sin3x=(sinx)-3

,*.y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

(4)y=3cosVl+x2是由y=3cosu,u=Vr,r=l+x2复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题:例2：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

经典误解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得:u2=2x-ll

即：y=f(u2),u2=2x-ll

•；f(ul)的定义域为[1、2]

1Wx<2

.,.-9<2x-ll<-6

即:y=f(u2)的定义域为[-9、-6]

...f(2x-5)的定义域为[-9、-6]

经典误解2：解：•••f(x+3)的定义域为[1、2]

，lWx+3<2

二-2Wx<_1

-4W2x<_2

，9W2x-5<-7

，f(2x-5)的定义域为[-9、-7]

(下转2页)

注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概

念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由

y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数,记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量"。从以上误

解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定

义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是

指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的

复合函数，其定义域是x的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(ul),ul=xl+3(lWx<2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的

1Wxl<2

，4Wul<5

.•.4<u2<5

，4W2x2-5<5

；.2Wx2<5

，f(2x-5)的定义域为[2、5]

结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、

二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考

虑则会出现经典误解1与2的情况。

三、高中复合函数的题型(不包括抽象函数)

题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x2)的定义域。

题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

(下转3页)

题型三:单对多，如:已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2xT)的定义域。

题型四：多对单，如：己知f(2x-l)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

注：通解法一一综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。

第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关

键)

下面用综合分析法解四个题型

题型一:单对单:例3：已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。

(由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形)f(x)是由y=f(u),u=xl复

合而成的。

：f(x)的定义域为-1、4]

第2步：找出复合函数定义域的真正对应.•.TWxl<4

即TWu<4

又,；u=x22

，TWx22<4

(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出)；.-2<x2<2

；.f(x2)的定义域为(-2,2)

结论：此题中的自变量xl,x2通过u联系起来，故可求解。

题型三：单对多:例4：已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-l)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=xl复合而成的。

f(2x-l)是由y=f(u),u=2x2-l复合而成.

第2步：找出复合函数定义域的真正对应：•••OWxlWl

...OWuWl

.•.0W2x2TWl

，x2Wl

.♦•f(2x-l)的定义域为[,1]

结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出丫=员6)]的定义域。

下转4页

题型四：多对单：如:例5：已知f(2xT)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-l)是由f(u),u=2xl-l复合而成的。

f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。

第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：•••OWxlWl

.•.0〈2xlW2

.,.-K2xl-Kl

.•.-IWuWl

.•.TWx2Wl

■f(x)的定义域为[-1、1]

结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域。

小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这

个桥梁将X1与x2联系起来解题。

题型二：多对多：如例6：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知f(x)的定义

域可求出y=f[g(x)]的定义域”已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域可以推出f(x)

与y=f[g(x)]可以互求。若yl=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知yl=f(x+3)的定义域，故这

里f(x)成为了联系yl=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中u所充当的

作用相同。所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x),

再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：

第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。

f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。

第二步：求桥梁f(x)的定义域：..TWxW2

；.4Wx+3W5

；.4WuW5

设：函数y3=(u),u=x

下转4页

...y3=f(x)的定义域为[4、5]

第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):f(x)是由y3=f(u),u=x复合而成的

•.•4WxW5

，4WuW5

.•.4W2x-5W5

Wx2W5

，f(2x-5)的定义域为：[5]

小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5),详参照例2的解法。

四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。

如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为[0、1],求函数y=f(x2+l)的定义域。

解：..,函数f(x2+l)中的x2+l相当于f(x)中的x(即u=x2+l,与u=x)

，0Wx2+lWl

.•.TWx2W0

/.x=0

定义域为{0}

小结：本题解答的实质是以U为桥梁求解。

例8：已知y=f(2xT)的定义域为[0、1],求函数y=f(x)的定义域。

解：由题意：OWxWl(即略去第二步，先找出定义域的真正对象)。

...TW2X-LW1(即求出u,以u为桥梁求出f(x)

视2xT为一个整体(即u与u的交换)

则2xT相关于f(x)中的x(即u与u的交换，f(x)由y=f(u),u=x复合而成，T-

1,.•.TWxWl)•••函数f(x)的定义域为[-1、1]

总结：综合分析法分了3个步骤

①写出复合函数的复合过程。

②找出复合函数定义域所指的代数。

③找出解题中的桥梁(u或f(x)可为桥梁)

浅析复合函数的定义域问题

一、复合函数的构成

设〃=g(x)是A到5的函数，y=/(“)是9到C上的函数，且6U夕,

V

当〃取遍3中的元素时，y取遍C,那么y=/(g(x))就是A到C上的函数。此函数称为由

外函数y=/(x)和内函数〃=g(x)复合而成的复合函数。

说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数y=/(g(x))中x的取值范围。

⑵x称为直接变量，“称为中间变量，”的取值范围即为g(x)的值域。

⑶y(g(x))与g(/(x))表示不同的复合函数。

例1.设函数/(x)=2x+3,g(x)=3x—5,求/(g(x)),g(/(x)).

⑷若/(x)的定义域为例'，则复合函数/(g(x))中，g(x)eM.

注意：g(x)的值域

例2：

⑴若函数/(x)的定义域是[0,1],求/(1-2幻的定义域；

⑵若/(2x-l)的定义域是[-1,1],求函数/(x)的定义域；

⑶已知/(x+3)定义域是[-4,5),求/(2x-3)定义域.

要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复

合而成的.

解答：

⑴函数/(l-2x)是由A到B上的函数〃=1-2》与B到C上的函数y=73)复合而成的函

数.

•.・函数/(x)的定义域是[0,1],

••.B=[0,1],即函数〃2x的值域为[0,1].

.\0<l-2x<l,

.\-l<-2x<0,BP0<x<-,

2

函数/(1一2幻的定义域[0,；].

⑵函数/(2x-l)是由A到B上的函数〃=2x-1与B到C上的函数y=/Q)复合而成的函

数.

•.•/(2x—1)的定义域是[-1,1],

.*.A=[-l,1],即TWxWl,

...—3W2x—1W1,即〃=2x—1的值域是[-3,1],

,y=/(x)的定义域是[-3,1].

要点2：若已知/(%)的定义域为A,则/[g(%)]的定义域就是不等式g(%)eA的％的集

合；若已知/[g(%)]的定义域为A,则/(%)的定义域就是函数g(%)QeA)的值域。

⑶函数/(x+3)是由A到B上的函数〃=x+3与B到C上的函数丁=/(“)复合而成的函数.

•••/(x+3)的定义域是[-4,5),

.*.A=[-4,5)即—4Wx<5,

...-l4x+3<8即〃=x+3的值域B=[T,8)

又/(2x-3)是由A到8上的函数M=2x-3与B到C上的函数y=/(“)复合而成的函数，

而8=3,从而〃=2%-3的值域8=[-1,8)

—1<2%—3V8

2<2x<11,

1<x<—

2

・・・/(2x—3)的定义域是[1,y).

例3：已知函数/(x)定义域是(a,b),求尸(%)=/(3%-1)一/(3元+1)的定义域.

a+1b+1

<X<

a<3x-1<b亍

解：由题，,~r

a<3x-^\<ba-\

<X<

."3~

a+1h—1

当<3-3，即方>々之/?一2时，尸(幻不表示函数;

a<b

a+1h—1

当,3<3，即avZ?—2时，尸(幻表示函数，

a<b

其定义域为(四,B).

33

说明：

①已知/(幻的定义域为(a,b),求/(g(x))的定义域的方法:

已知/(X)的定义域为(。，b),求/(g(x))的定义域。实际上是已知中间变量的〃的

取值范围，即〃e(Q,b),g(x)e(a,b)。通过解不等式a<g(x)<。求得工的范围,

即为/(g(x))的定义域。

②已知/(g(x))的定义域为(a,b),求/(x)的定义域的方法:

若已知/(g(x))的定义域为(。，b),求/(%)的定义域。实际上是已知复合函数

/(g(x))直接变量光的取值范围，即％Z?)o先利用。<%<人求得g(%)的范围，

则g(%)的范围即是/(%)的定义域，即使函数/(%)的解析式形式所要求定义域真包含

g(%)的值域，也应以g(%)的值域做为所求/(%)的定义域，因为要确保所求外含数/(%)

与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数/(%)将失去解决问题的有效

性。换元法其实质就是求复合函数/(g(x))的外函数/(%),如果外函数/(%)的定义域不

等于内函数g(%)的值域，那么/(%)就确定不了/(g(x))的最值或值域。

例4：已知函数y(x)=J7=T+x,(x2i)

求/(X)的值域。

分析：令〃(尤)=Jx-l,(X>1);

则有g(〃)="2+〃+1，(w>0)

复合函数/(%)是由“(X)=Jx-l与g(〃)=〃2+〃+1复合而成，而g(“)="2+〃+1,(w>0)

的值域即/(%)的值域，但g(〃)=+〃+1的本身定义域为R,其值域则不等于复合函数

/(%)的值域了。

例5：已知函数/(/—3)=lg^—,求函数/(%)的解析式，定义域及奇偶性。

x-6

分析：因为f(x2-3)=lg^—定义域为｛x|x4-遥或xNn｝

x-6

令〃=12一3,〃*3；则/(〃)=1g"+3,且〃A3

〃一3

所以/(x)=ig5,xx3,定义域不关于原点对称，故/(%)是非奇非偶函数。

x-3

n17

1.在等比数列｛〃〃｝中，已知为=—，/=—,q=—，则〃为()

833

A.2B.3C.4D.5

2.设｛",｝是公差为一2的等差数列，若%+4+%---。97=50，则生+。6+。9--------。99等于

()

A.82B.-82C.132D.-132

3.已知数列｛/｝中％=1以后各项由公式%=%_］+-----（〃22）给出，则4=（）

〃（〃一1）

7744

--

-C---

A.4B.47D.7

4.已知一9,6,。2，-1成等差数列，一9,4，%,打一1成等比数列，贝1］（%—6）打等于（）

99

A.-B.---C.8D.-8

88

5.在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是

（）

45279

A.—B.—C.-D.9

442

6.等差数列｛/｝的前〃项和为S“，若为+67=10，则59=（）

A.190B.95C.170D.85

7.已知｛〃〃｝是等比数列，对V/?£N*,。”>0恒成立，且4〃3+2。2。5+。4。6=36，

则a2+a5等于（）

A.36B.±6C.—6D.6

8.已知等差数列｛%｝中，|仆|=|6|,公差4<0；S“是数列｛%｝的前n项和，则（）

A.S5>S6B.S5<S6C.S6=0D.S5=S6

9.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的

项数为（）

A.2B.4C,8D.16

10.已知数列｛4｝满足：a„=logn+l（n+2）,定义使。「心勺……为整数的娄奴/eN*）叫做希望

数，则区间［1,2010］内所有希望数的和M=（）

A.2026B.2036C.2046D.2048

11.已知数列仅“｝、仍”｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为6、仄,且2+4=5,a/b「

，eN+（neN+）,则数列｛氏｝的前10项的和等于（）

A.65B.75C.85D.95

12.等差数列｛〃“｝的前n项和为S“，已知+a,“+j-%=0,S2“,_|=38,则机=（）

A.38B.20C.10D.9

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上.

13.已知数列前4项为4,6,8,10,则其一个通项公式为.

14.已知1,以34成等差数列，1,历,也历,4成等比数列，则妇组=____

b2

15.已知数列｛4｝的前n项的和Sn满足log2（S„+1）=〃，则%=.

16.甲型hlnl流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为4=2,它们按以下规

律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成

10个并死去1个.，记n小时后细胞的个数为与，则an=（用n表示）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列｛%｝是一个等差数列，且出=-1，%=5.

（1）求｛q,｝的通项理；

（2）求｛”“｝前n项和S“的最小值.

18.（本小题满分12分）

已知己“｝是首项为1,公差为1的等差数列；若数列也｝满足4=1,b“-%.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵求证：bn-bn+2<hn+c.

参考答案

一、选择题

912

--4-

1.C；解析：等比数列｛/｝中，8-3-3-

（1）"-，=（$3,〃—1=3,〃=4；

2.B；解析：因为｛4｝是公差为一2的等差数列,

+•,•+〃99=（〃1+2d）+（Q4+2d）+（Q7+2d）+,,,+（。97+2d）

=/+。4+。7+•,■+。97+33x2d—50—132=—82；

3.A；解析：因为。=。-------（几22）,所以。2=a1H-----------=1H--------，

""'〃（〃-1）212（2-1）12

­,+，="二+」1,117

CIA=&H------------=14-------

3（3-1）12234（4-1）144

~-1-(-9)8

4.D；解析：•.,一9,的，。2，—1成等差数列，所以%-。］=--------=一；

•••一9,々也也T成等比数列，所以1=_J(_9)x(_l)=—3；.•.(%-巧曲=一8；

9

,x=545

5.A；解析：设中间两数为x,y,则f=3）,2y=x+9；解得j所以x+y=一：

6.B；解析：兀=19x（%+电）」9X（%+%）=95；

1922

7.D；解析：VnGN\an>0；%%+2。2。5+。4〃6=（〃2+%）2=36,a2+a5=6；

8.D；解析：Vj<0,|6^|/.tz3>0,6f9<0,且%+。9=0，，&=0，生,。，%<0；

,,,S5=$6；

9.C；解析：设该等比数列的公比为必项数为2〃，则有S偶二夕,5奇，・・.4=1翁70=2；

又S2.=S例+S奇=皿二q=85+170，...22"-1=255，...2〃=8,故这个数列的项数为8；

i—q

10.A；解析：an=log„+l(n+2)，，由。「外，4为整数得

log23-log34log-,（左+2）=log2（左+2）为整数，设为加,则2+2=2加，

%=2"'-2；因为2"=2048,

•••区间［1,2010］内所有希望数为22-2,23-2,24-2,…,2］。-2,

其和知=22-2+23-2+24-2+—+21°-2=2026；

11.C；解析：应用等差数列的通项公式得

an-a}+n-l,hn=h］+n-l;

ci^=q+hn—］=q+（4+n—1）—1

=+优+n—2=5+〃-2=〃+3;

数列｛abn｝也是等差数列，且前10项和为出尸=85；

2

12.C；解析：因为｛。“｝是等差数列，所以+。,“+1=2《“，由册_|+%+1一片=0，得：2am-am

=0,所以％,=2,乂邑”1=38,即Q-T)(；+。2“1)=38,

即(2m-l)义2=38,解得m=10.

二、填空题

13.a“=2(〃+l)；解析：该数列的前4项分别可写成：

2x(1+1),2x(2+1),2x(3+1),2x(4+1),所以数列的通项公式为an=2(〃+1)；

14.|；解析：..T,G,42,4成等差数列，.••4+/=1+4=5；•••1,仇，岳，优，4成等比数列，

b.,2=1x4=4,又4=1x/>0,:.b、=2；"■+”=—；

2

b22

15.2"T；解析:由k)g2(S“+l)=〃得S“+l=2”,.心力2"-1,

q=百=2—1=1,a“=S„-S,1=(2"—1)—(2"--1)=2"-2'-'=2'-'；

16.2"+1；解析：按规律，q=4—1=3,g=2x3—1=5,a3=2x5—1=9,...,an+]—2an—1；

-1=24-1),即｛a,—1｝是等比数列，其首项为2,公比为2,故为一1=2",二%=2"+1.

23

(本题也可由q=3=2+1,a2=5=2+1,=9=2+1......猜想出a〃=2"+l.)

三、解答题

17.解：(1)设｛4｝的公差为d,由己知条件，<4+”一11,解出“=-3,d=2.

q+4d=5

所以=q+(〃—l)d=2〃-5........6分

(2)S“=W1+g=»d=〃2_4〃=(〃—2)2—4.所以〃=2时，S“取到最小值-4.

.......12分

18.解：(1)由已知得为=〃.从而"+|=d+2",即2+|-么=2".(.......2分)

%=(bn-%)+(%-bn_2)++(■-4)+4

=2'-'+2"-2++2+1=二^=2"—1.(.......6分)

1-2

(2)因为仇•bn+2-b,J=(2"—1)•(2-2-1)一(2田一If

（22n+2-2n+2-2"+l）-（22n+2-2"+2+1）=-2"<0,

••b”,b0+2<bn+].（........12分）

3333

19.解：（1）由已知得S“=-a—,••♦当”22时，S1=-ci।—；

"2222

3333

，s“-S._]一5《1,即4=/凡-5%_|,...当"N2时，a“=3a“一1；

数列｛4｝为等比数列，且公比q=3；（.............4分）

3333

又当”=1时，,I=]4—/'即q=]q—],，q=3；

an=3”.（........6分）

1111

（2）Vlogan=log3"=/?,

33n

log,a„-log3a„+1〃（〃+l）n+1

（........9分）

；•｛b｝的前〃项和（=”—；）+（；—+（；—；）+、〃

n5-1-------1--）=1।-----1--=------

n〃+1〃+1〃+1

（........12分）

1.已知等比数列伍“｝的公比为正数，且a3・a9=2%2，生口，则见=

A.—B.---C.5/2D.2

22

【解析】设公比为q,由已知得042.448=2（4/y,即g2=2,又因为等比数列｛%｝的公比为正数，

所以4=0,故q=?=卡=三，选B

3.公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S”.若&是4与％的等比中项，$8=32,则Sl0等于

A.18B.24C.60D.90

【解析】由小华得⑷+3村用+2〃）回+6。）得24+3。=。，再g/+竽=32得

2%+7d=8则d=2,q=-3,所以S］。=IO4+—d=60,.故选C

4.设S〃是等差数列｛q｝的前n项和，已知%=3,4=11，则跖等于()

A.13B.35C.49I).63

【解析】'二驾=—=49.故选C

a=%+d=3

或由<2a-j—1+6x2=13.

a6-ax+5d=11

所以加驾必驾1=49.故选c.

5.等差数列｛%｝的前n项和为S〃，且S3=6,。尸4,则公差d等于

5

A.1B-C・-2D3

3

3

［解析］:S3=6=5(4+4)且。3=4+2d6=4，d=2.故选C

6.已知｛%｝为等差数列，且%—2〃4=-1,%=°，则公差d=

11

A.-2B.--C.-D.2

22

【解析】a7—2ai=a3+4d—2(aa+d)=2d=-1=>d=——

2

7.(等差数列｛〃〃｝的公差不为零，首项4=1,%是％和牝的等比中项，则数列的前10项之和是

A.90B.100C.145D.190

【解析】设公差为d,则(l+d)?=L(l+4d).•••d/0,解得d=2,.•.S|o=lOO

然而只就/(x)=lg£2解析式而言，定义域是关于原点对称的，且/(-x)=-/(x),所以

x-3

是奇函数。就本题而言/(〃)就是外函数其定义域决定于内函数“=--3,的值域，

而不是外函数/(“)其解析式本身决定的定义域了。

2.求有关复合函数的解析式，

例6.①已知f\x)=r+1,求y(x-1)；

②已知/(x-l)=(x+l)2+l,求/(x).

例7.①已知/(x-l)=x+1，求/(x)；

X

②已知/1*二)=，+4，求/(X+1).

XX

耍点3：

已知/(X)求复合函数/［g(x)］的解析式，直接把/(X)中的X换成g(x)即可。

已知/［g(%)］求/(%)的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法就是在/［g(%)］中把关于变量X的表达式先凑成g(x)整体的表达式，再直接

把g(%)换成%而得/(%)。

换元法就是先设g(x)=