高中数学《第3章 函数的概念与性质》单元测试卷(含解析)

高中数学《第3章函数的概念与性质》单元测试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.对于两个图形&,F2,我们将图形FI上的任意一点与图形F2上的任意一点间的距离中的最小值，

叫作图形&与图形尸2的距离.若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函数”.给

出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是()

A./(%)=cosx,g(x)=2

2

B./(%)=log2(x-2x+5),gQ)=sin^x

C./(%)=V4-x2,g(x)=[%+/

2

D./(%)=%+-,g(x)=Inx+2

2.已知f(x)定义在R上的偶函数，且满足f(%+4)=/(x),当％E[-2,0]时，/(%)=2。则f(1129)

等于()

AB.—；C.-1D.1

22

3.函数y=lg(l+tcmx)的定义域是()

A.(fc7r-pk7r+^)(/cGZ)B.(/CTT-pto+=)(/cGZ)

C.(k7r-^fc7r+^(/cGZ)D.(/CTT-p/c/r+=)(/cGZ)

4.已知幕函数/(%)=£,若/(a-1)Vf(14-2a),则。的取值范围是()

A.[-1,3)B.(-00,5)C.[1,5)D.(5,+8)

5.已知/(%)是R上的奇函数，且当工£(-8,0]时，/(%)=-%句(2m一％+J.当%>0时，不等式

/(x)V0恒成立，则机的取值范围是()

A.(-00,-1)B.(-1,1]C.[0,+8)D.[T+8)

6.函数/(%)=x+s出x在％€[0,2兀]上的图象大致为()

A.a2>9B.a2<9C.a3>27D.a3<27

8.设函数y=74—犬的定义域为A,函数y=ln(2-x)的定义域为8,则4nB=()

A.(1,2)B.(-2,1)C.[-2,2)D.[-2,2]

9.函数y=/与y=G尸-2图形的交点为s")，则a所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

10.函数/(无)=/。。21岩I的大致图象为()

12.函数y=/(x)的定义域为[―2,+8),函数y=g(x)为/?上的奇函数，则函数/。)=谓的定义

域可能为()

A.[—2,0)U(0,+oo)B.[―2,—1)U(―1,0)

C.[—2,—1)U(1,+oo)D.[-2,—1]U(0,1]

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13,已知人无)=g(x)-3,且函数y=g(x)为奇函数，若f(4)=2,则f(一4)=()

14.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是.

%2—dx+5%V1

'为R上的单调递减函数，则实数。的取值范围______.

{X'—

16.函数丫=\logi2x\+|1。gx|取最小值时x的取值范围是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数f(x)=—x+2；

(1)判断函数的单调性并证明；

(2)画出函数的图象.

18.为节约用水，某市打算出台一项水费收费措施，其中规定：每月每户用水量不超过7吨时，每

吨水费收基本价3元；若超过7吨而不超过11吨时，超过部分水费加收100%；若超过11吨而

不超过15吨时，超过部分的水费加收200%,,现在设某户本月实际用水量为x(0WxW15)吨，

应交水费为)'元.

(1)试求出函数j.=f(x)的解析式；

(2)如果一户人家本月应交水费为39元，那么该户本月的实际用水量是多少？

19.(i)i+M：log6.25+lg0.001+ln^+2-1+bgi3-(|)-2

⑵已知函数/(x)是定义在女上的奇函数，当了、0时，/⑶=-2/+31+1，求/G)的

解析式

20.定义在。上的函数f(x),如果满足：对任意存在常数M>0,都有WM成立，则

称/(x)是。上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数/(x)=1+展(》'+心尸：

(1)当a=l时，求函数在(-8,0)上的值域，并判断函数/(%)在(-8,0)上是否为有界函数，请说

明理由；

(2)若函数/(x)在［0,+8)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；

(3)若m>0,函数g(x)在［0,1］上的上界是T(zn),求T(m)的取值范围.

21.定义在(-12,12)的函数f(x),对于任意的a,bER,有f(a+b)=f(a)+f(b),且f(x)在(0,12］

上单调递减，/(5)=-2.

⑴求/(0)；

(2)判断并证明函数的奇偶性；

(3)解不等式/(产一%)+f(3x+2)+4>0.

22.(本题12分)已知函数」(x)对任意实数x均有了GOM^S+Z),其中常数上为负数，且/(x)在

区间［0,2］有表达式」(x)=x(x-2).

(1)求出了(一1),/(2.5)的值；

(2)若函数了。)在区间［-2,2］的最大值与最小值分别为阳〃，且制-方=3,求上的值.

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：对于A,当cosx=l时，/(x)与g(x)的函数图象的距离等于1,不符合题意；

对于B,,:y=%2-2%4-5在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

・・・/(%)在(-8,1)上单调递减,，在(1,+8)上单调递增，

Anin(%)=/⑴=2,乂gmax(x)=。(1)=1，

，/(%)与gO)的距离为2-1=1,不符合题意；

对于C,f(x)的图象为以(0,0)为圆心，以2为半径的上半圆，圆心到直线g(x)+竽的距离为£=

3,

•••”X)与g(x)的距离为3-2=1,不符合题意；

对于O,令九(%)=/(%)—g(x)=%4---Inx-2,

则〃(x)=1=(x+?y-2),

.•.当0<x<2时，八'(x)<0,当x>2时，>0,

h(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

hmin(x')=h(2)=1—ln2<1,

•••f(x)与g(x)的距离Whmin(x)<1,符合题意.

故选D

根据函数图象求出A,B,C中函数图象的距离，利用导数求出。中/(x)-g(x)的最小值，得出函数

图象距离的最小值与1的关系.

本题考查了函数图象，距离计算，及函数最值的求法，属于中档题.

2.答案：A

解析：解：+4)=/(%)；

・••/(尤)的周期为4；

又xe[—2,0]时，/(x)=2X,且f(x)是R上的偶函数；

/(1129)=f(l+282x4)=/(I)=/(-I)=2T=

故选:A.

根据/0+4)=/(霜即可得出/0：)的周期为4,从而得出〃1129)=/(1),再根据/'(X)是偶函数，且

xG[—2,0]时，/(X)=2”即可求出/(I)=/(-I)=

考查周期函数和偶函数的定义，以及已知函数求值的方法.

3.答案：C

解析：解：由1+tern久>0,得£出枕>一1,

二而-汴％v如+泉kez.

・,・函数y=lg(l+tern%)的定义域是(k"一%左兀+/)(攵£Z).

故选：C.

由对数式的真数大于。求解三角不等式得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题.

4.答案：C

解析：解：由事函数f(x)=£，若/'(a-1)</14一2a),

可得<V14-2a.求得1<a<5,

故选：C.

由题意利用基函数的性质，求得。的范围.

本题主要考查累函数的性质，属于基础题.

5.答案:D

解析：解：・・•/(>)是R上的奇函数，

又：当x>0时，不等式f(x)<0恒成立，

当xe(-0°,0)时，/(%)=-xlg(2m-x+1)>0恒成立；

2m-x+1>1在(一8,0)上恒成立；

•1-2m>|+x在(一8,0)上恒成立；

故2m>

故m>-1.

故选：D.

由题意，当x6(—8,0)时，/(x)=-也9(2m一“+》>0恒成立：从而化为最值问题，从而解得.

本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题与最值问题，属于中档题.

6.答案：B

解析：解：根据题意，函数/(x)=x+sinx,xe[0,2TT],

其导数f'(x)=1+cosx>0,所以在[0,2兀]为增函数,

令。(乃=/'(%)，且g'(x)=-sinx,当扪时，g'(x)=<0,g(x)为减函数,f(x)图象上切线的

斜率逐渐减小；

当xe[匹2初时,g'(x)>0,g(x)为增函数，/(x)图象上切线的斜率逐渐增大.

分析选项可得：B符合题意；

故选：B.

根据题意，求出函数的导数，再令g(x)=f'(x),求出其导数，利用导数的几何意义分析图象的切线

的变化情况，据此分析选项即可得答案.

本题考查函数的图象，涉及函数的单调性与导数的关系，属于基础题.

7.答案：D

解析：解：4取a=0不成立；

8.取a=-4不成立；

C.取a=0不成立；

。.利用函数/(©=/在R上的单调递增可得：a3<27.

故选：D.

利用不等式的性质及其函数/(x)=在R上的单调性即可得出.

本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力，属于基础题.

8.答案：C

解析：解：•••4-/20,解得一2WxW2,

■-A=[-2,2]；

■-2—x>0,解得x<2,

B=(-00,2)；

ACB=[-2,2),

故选：C.

根据基函数和对数函数的性质，分别求出集合A和B,进而求出4nB.

本题考查集合的交并补运算以及募函数和对数函数的定义域，属于基础题目.

9.答案：B

解析：解：,.・y=/与y=C)x-2,

・•・设/(X)=炉-(y-2,

则函数f(X)为增函数，

V/(I)=1-(I)-1=1-2=-1<0,/(2)=23-©)2-2=8-1=7>0,

二函数/(x)的根％6(1,2),

・.・函数y=/与y-(}*-2图形的交点为(氏;)),

・••aE(1,2),

故选：B.

构造函数f(x))=/-(}x-2,根据函数零点和方程之间的关系判断函数零点的取值范围是解决本题

的关键.

本题主要考查函数零点的取值范围的应用，根据函数零点和方程之间的关系，构造函数是解决本题

的关键.

10.答案：C

解析：

本题考查函数的图象识别，注意分析函数的奇偶性，属于基础题.

根据题意，分析可得/(©为奇函数，可以排除A,进而分析XT+8时，函数图象的变化趋势，排除

BD,即可得答案.

解：根据题意，f(x)=log2\^\,有言中0,则有久彳±1，即函数的定义域为{x|x#±l},

又由/(一x)=log2l宗|=Tog21fl=-八>)，即函数为奇函数，排除A;

1+X1-X

又由当XT+80寸，I罟1-1，则/(%)->0,排除以。；

故选：C.

11.答案：C

解析：解：根据题意，y=%2-4%+2=(%-2)2-2,

分析可得：当％=2时，y有最小值-2；

故选：C.

根据题意，函数的解析式变形可得y=/—4x+2=(x—2)2—2,据此分析可得答案.

本题考查二次函数的性质，涉及函数的最值，属于基础题.

12.答案：B

解析：解：•.・函数y=g(x)为R上的奇函数，则g(x)的定义域关于原点对称，

由g(x)>0,可知函数F(x)=三答的定义域内必不存在符号相异的数，

又函数y=/(x)的定义域为［-2,+8),

二函数“外二爆的定义域可能为［-2,-l)U(—l,0)・

7gm

故选：B.

由函数y=g(x)为R上的奇函数，得g(x)的定义域关于原点对称，再结合g(x)>0及函数y=/(%)的

定义域，即可求出函数/。)=儡的定义域.

本题考查函数的定义域及其求法，考查函数的奇偶性及其应用，是中档题.

13.答案：—8

解析：

本题考查了利用函数的奇偶性求解函数值，整体思想的运用，属于中档题.

根据奇函数以及f(4)=2,求出g(4),g(—4),即可求解/(一4).

解：•••/(x)=g(x)-3,且函数y=g(x)为奇函数，

因为f(4)=g(4)-3=2,所以g(4)=5,g(-4)=-5,

所以/(-4)=g(—4)-3=-5-3=-8.

故答案为-8.

14.答案:5

解析：解：由题意得：

-x+2x+3(0<x<3)

y=-x2+2r+3=<

x2-2x-3(x>3)

作出图像如下图所示:

所以，当x=4时，函数取得最大值为5,故答案为：5

15.答案：[2,3]

—dx+5%V1

2x21'为R上的单调递减函数，

X'一

a>0,>1,6—a>a,

解得2<a<3.

则实数a的取值范围是[2,3].

故答案为：[2,3].

%2—dx+5%V1

'为R上的单调递减函数，根据二次函数的单调性、反比例函数的单

-,x

{xN1

调性即可得出.

本题考查了函数的单调性、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.答案：E，l]

解析：解：y=Uogi2x\+\logix\=\1+logx|+|logx|=/(%).

2222

当％时，/(%)=1+2log2x>1,当且仅当x=l时取等号；

当0<久工[1时，/(%)=-1-2log2x>1,当且仅当％=g时取等号；

当之<%<1时，/(%)=1,因此[V久<1时等号成立.

综上可得：函数/(%)取最小值1时x的取值范围是己,1].

故答案为：辞1].

y=|1+log2%|+|log2%|=/(第).对X分类讨论：当XN1时，/(%)=1+2log2x；当时，

/(x)=-1-2log2x；当:<%V1时，/(%)=1,即可得出.

本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.答案：解：(1)此函数在R为减函数.

证明：由原函数得定义域为R,任取x2&R,且/ex2

y(^i)-f(X2)=(-%1+2)-(-x2+2)=x2-xr,

又X2GR,且*1<*2，[*2—>°，即/(X1)>/(%2)，

故函数/(x)=-x+2在H为减函数.

(2)图象如图所示

解析：(1)任取X2&[0,4-00),且工1<%2,利用作差可判断与/。2)的大小，根据单调性的

定义可作出判断；

(2)描点画图即可.

本题考查函数单调性的判断，以及函数图象的作法，定义是证明函数单调性的基本方法，要熟练掌

握，属基础题

⑴当0介47时，/(x)=3x

18.答案：当7<.v4”时,/(x)=3X7-F(X—7)x6=6x—21

当时./(X)=3X7+6X(11-7)4-(X-11)X9=9X-44

3x(0«xw7)

故〃x)=・6x—21(7<xgll)

9.r-44(H<x^l5)

⑵当/(x)=39元时，21v39v45,可知7Vx411

至6x-21=39得x=10"该户本月的实际用水量是10吨,

解析：(1)根据题意，可按x在[0,7],[7,11],[1,15]三个区间分别写出各自的解析式，从而可得分段

函数/(x)的解析式;

(2)令/(x)=39,则可得x的范围，从而可确定需要代入哪部分函数的解析式，进而可得答案.

…5

19.答案:(1)—;

9

卜醐?，窗:署惠需海噬

(2)，侬或=・，或累:=瞰

解析：解：(1)原式=

(2)•••函数f(x)是定义在R上的奇函数，当需惊⑩时，宣]礴=一圈F*陆;*21,

二/(0)=0,

当x<。时，-x>0,二,翼—礴=一笃—须*署簿卜礴书：）=一著―一觥.$1=-JO，

二，频,磁=富孑书警桌—：!，

20.答案：解：(1)当a=l时，/(%)=1+G尸+(》x

因为/(x)在(—8,0)上递减，所以/(4)>/(0)=3,

即f(x)在(一8,0)的值域为(3,+8)故不存在常数“>0,使|f(x)|<M成立

所以函数/(乃在(-8,0)上不是有界函数.(4分)

(2)由题意知，|f(x)43在[0,+8)上恒成立.(5分)

-3</(%)<3,-4-(iy<a-(1r<2-(^

...-4-2x-(^)x<a<2-2X-G尸在[0,+8)上恒成立(6)

•••[-4•2、-G)x]maxWa<[2•2X-©尸猛讥(7分)

设2*=3h(t)=-4t—I，p(t)=2t—p由x€[0,+8)得t21,

(12一”)(41也-1)(11-12)(2"12+1)<g

设<今，九⑹-g)>Op(ti)-p(t)

1<ti1也2亡112

所以/l（t）在［l,+8）上递减，p（t）在［1,+8）上递增，（9分）

/l（t）在［1,+8）上的最大值为九（1）=-5,p（t）在口,+8）上的最小值为p⑴=1

所以实数a的取值范围为（10分）

2

（3）g（x）=T+R，

vm>0,x6[04]

・•・9（%）在［0,1］上递减，（12分）

•••g⑴<g（x）<g（o）即恐$以乃士言（〈分）

①当।言⑶思I，即me（0当时，|gQ）|w||^|,（12分）

此时Tg）2|辞I，（14分）

②当喘1<1濠I，即me停,+8）时,|g（初引恐I，

此时75出悬I，

综上所述，当me(0,曰］时，r(m)的取值范围是^,+8)；

当me［曰,+8)时，r(m)的取值范围是［一需,+8)(16分)

解析：(1)当a=l时，易知f(x)在(-8,0)上递减，有f(x)>/(0)=3,再有给出的定义判断;

(2)由函数/(X)在［0,+8)上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立,

Xx

再转化为一4-2、一G尸WaW2•2”-G尸在［0,+8)上恒成立分别求得［-4•2-(^)］max和［2•

2,-©尸］min即可；

(3)据题意先研究函数gQ)在［0,1］上的单调性，确定函数g(x)的范围，即分别求的最大值和最小值,

根据上界的定义，T(m)不小于最大值，从而解决.

本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主

要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力.

21.答案：解：(1)根据题意，函数/(x)满足对于任意的a,bER,有f(a+b)=f(a)+f(b),

令a=b=0,则〃0)=2/(0),则f(0)=0；

(2)根据题意,在f