二面角习题及答案

二面角

2

1.如图三棱维P-ABC中，PC，平面ABC,PC;〒,D是BC的中点，且4ADC是边

V3

长为2的正三角形，求二面角P-AB-C的大水。

解

2.如图在三棱锥S-ABC中,SA_L庇面ABC,AB1BC,DE2直平分SC,且分别交AC、

SC于D、E,又SA=AB,BS=BC,求以BD为校，BDE与BDC为面的一面角的度数。

解：

3.如图：ABCD是矩形，AB=8,BC=4,AC与BD相交于。点，P是平面ABCD外一

点，P0,面ABCD,P0=4,M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。

解：

A

4.如图4ABC与4BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD,zCABC=ZDBC=12tf,求二面角

A-BD-C的余弦值。

解：

D

5.已知正方体AC,M、N分别是BB，,DD'的中点,求截面AMCN与面ABCD,CC'D'D

所成的角。

解：

6.如图AC1®BCD,BD1ACD,若AC=CD=1,ZABC=30°,求二面角C-AB-D的大

7.三棱雄A-BCD中，乙BAC=4BCD=90°,zDBC=30°,AB=AC=痛，AD=4,求二面角

A-BC-D的度数。

解：

9.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，4A=60°,

PCI平面ABCD,PC=a,E是PA的中点.

⑴求证平面BDE_L平面ABCD.⑵求点E到平面PBC的距离.⑶面二面

角A—EB—D的平面角大小.

解析：

10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的校长为1,E、F分别在棱AB、BC上,G在对角

线BD1上，且AE=4,BF=2,D1G：GB=1：2,求平面EFG与底面ABCD所成的二面角

的大小.

11.如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB=2AA1=2a,AC

=BC=3.

(1)求证：AF1A1C

⑵求二面角C-AF-B的大小

12.如图ABCO-ABCQ是长方体，AB=2,AA=AD=I,求二平面A4c与A4GA

所成二面角的大小.

41

13.在正方体ABCD-A^QD,中，KeBBjMeCCt,且

3

CM=-CCt

4..求：平面AKM与ABCD所成角的大小.

14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折点折成一个二面角仁一仞一。.

(1)若二面角C'—AD—C是直二面角，求C'C的长；

(2)求A。'与平面CCD所成的角;

(3)若二面角C—AO—C的平面角为120°,求二面角A—CC一°的平面角的正切

参考笞案

解：由已知条件，D是BC的中点P

CD=BD=2又ZXADC是正三角形

AD=CD=BD=2

/.D是AABC之外心又在BC上

/.△ABC是以乙BAC为直角的三角形,

AB1AC,SLPCIffiABC

PA1AB（三垂线定理）

.•.乙PAC即为二面角P-AB-C之平P角,

易求乙PAC=30°

2、解：BS=BC,2DE垂直平分SC

BE,SC,SC1面BDE

BD1SC,MSA1®ABC

SA1BD,BD1面SAC

BD1DE,且BDJ.DC

iZEDC就是所要求的平面角

设SA=AB=a,

则BC=SB=V2a且AC=V3

易证ASACS^DEC

zCDE=zSAC=60°

3、解：取OC之中点N,则MN〃PO

•/PO±®ABCD

MN1ABCD且MN=P0/2=2,

过N作NR1BD于R,连MR,

则4MRN即为二面角M-BD-C的平面角

过C作CE1BD于S

1A

则RN=-CE在RtABCD中­BC=BD-CE

2

丁

CE=-C-D-B-C-=--f8=

BDV5

RN=吃tanZMRN=处=—

75RN2

/.ZMRN=arctan——

2

4.解：过A作AE1CB的延长线于E,连结DE,

®ABC±ffiBCD

AELiSBCD

E点即为点A在面BCD内的射影

.-.△EBDtlAABD在面BCD内的射爵

V3

段AB=a则AE=DE=ABsin600=——a

2

AD=—cosZABD=-

24

ACCV15

sinAABD------

4

SAABD=#

X叵=电2BE=-a

482

1V31

•QV32

••0ABI»----a--a=——a

2228

cos9=^»=—

SAABD5

5.解：5解长为a,易证ANC'N是菱形

且MN=V2a,AC=V3a

S□AMC'N=MN--AC'=—a2

22

由于AMC'N在面ABCD上的射影即

为正方形ABCD

C2

OQABCD=a

a2A/6

COS0.=-f=—

7627

a-

2

13

取CC的中点M，,连结DM,

则平行四边形DM'C,N是四边形AMCN在CC'D'D上的阴影,

q1„2

ODDM'CM=­a

2

12

A2a瓜

2V66

a-2

2

%=arcco也

26

6,解：作DF1AB6F,CE1AB6E,

­.•AC=CD=14ABC=30°

/.AD=V2,BC=V3,

AB=2,BD=V2

在RtAABC中,

〜ACBC1x6V3

CE=-----------=---------=-----,

AB22

曰皿2ADBDV2xV2

同理DF=----------=-----------=1

AB2

BF=7BD2-DF2=1AE=VAC2-CE2=-

2

EF=2-l--=-

22

CD2=CE2+DF2+EF2-2EF-DFcosO

...cose^

3

即所求角的大小为arccos—。

3

7、解：由已知条件乙BAC=90°,AB=AC,

设BC的中点设为0,则0A=0C=g

BC=2A/3

n

DC=BCtan30°=2A/3X—=2

3

AD2=AO2+OC2+CD2-2AOCDcos0

解之得:

cos。=---

2

9、9折:(1)设。是AC,BD的交点，连结EO.

•.ABCD是菱形，「.0是AC、BD的中点，

•.E是PA的中点，，EO〃PC,又PC_L平面ABCD,

r.EOl平面ABCD,EOu平面BDE,.•.平0BDE_L平面ABCD.

⑵EO〃PC,PCU平面PBC,

r.EO〃平面PBC,于是点0到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.

作0F1BC于F,

•.E01平面ABCD,EO〃PC,PC<=平面PBC,平面PBC1平面ABCD,于是OF_L平面PBC,

OF的长等于0到平面PBC的距离.

aay/sV3V3

由条件可知，0B=2)0F=2X2=4a,则点E到平而PBC的距离为4a.

(3)过0作OG^EB于G,连接AG-.0E1AC,BD1AC,ACJ.平面BDE

.•.AG1EB(三垂缆定理)."AGO是二面角A—EB-D的平面角

11V3OEOBV3J_

EB2

OE=2pc=2aoB=2a.-.EB=a..-.0G==4a5AO=a.

AO2V3

.-.tanz.AGO=OG=3zAGO=arctan3.

评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质来点到面距离，及二面角的求法,

三垂线定理反逆定理的应用.

10、设G在底面ABCD上的射影为H,HeBD,

GHGB2

..而一丽一3

.——

2

GH=3

作HM_LEF于M,连GM,由三垂缆定理知GM_LEF,则乙GMH。就是平面BFG与底面ABCD

GH

所成的二面角的平面角，tane=

下面求HM的值.

建立如图所示的直角坐标系，据题设可加

]_2]_]_

..直线EF的方程为

1

八0x—4

即4x-6y-1=0.

由点到直线的矩离公式可得

,1,2,

4x——6x——1

3311

A/42+626V13

|HM|==

6V134万4V13

.-.tge=3.11,9=arctg

说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.

11、分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等如此

解（1）;AC=BC,E为AB中点，，CE，AB

又VABC—A1B1C1为直棱柱，CE1而AA1BB

连结EF,由于AB=2AA1

.•.AA1FE为正方形

.-.AF1A1E,从而AFLA1C

⑵设AF与A1E交于0,连结C0,由于AF1A1E,如AF1而CEA1

4C0E即为二面角C-AF-B的平面角

vAB=2AA1=2a,AC=BC=6a

-Jia

V27F

—a

CE=^2a)0E=2a,.-.tanzCOE=2=2.

_面角C—AF—B的大小是arctan2.

12、解析：•.・平面ABCD〃平面4耳GA,..平面A4c与平面44GA的交线।为过

点片且平行于AC的直线.直线I就是二平面A4c与4与6〃所成二面角的棱又AA,_L

平面A4GA,过4作AH1I于H,连结AH.则4"4为二面角A—/—4的平面角.可

」.wV5V5V5

tanNA”4=——arctan——兀-arctan——

求得2.因此所求角的