高中数学人教A版（2019）必修第一册 第一讲 集合及其关系 讲义（含答案）

第一讲---集合及其关系知识背景集合论的创始人——康托尔（1845-1918），德国数学家，生于俄国圣彼得堡（今苏联列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家，1856年全家迁居德国的法兰克福。1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。康托尔从提出集合论至今已有一百多年，数学家们评价：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。集合是高中数学的第一个知识点，学校教学时间通常为一个月。集合概念抽象，符号术语多，研究方法跟学习初中数学时有着明显的差异，是学习高中数学的第一个“拦路虎”。集合符号语言是数学中的独特语言，学好集合这一节内容可促使学生从形象思维向抽象思维的转化。集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。知识要点集合的概念一、集合的概念（1）集合：能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。（2）元素：集合中的各个对象叫做这个集合的元素。例1、下列对象的全体，哪些可以构成集合？为什么？(1)我们班级中的高个子同学；(2)我们班级中的身高接近170cm的同学；(3)我们班级中的身高超过170cm的同学；（4）著名的足球运动员；（5）绝对值最小的实数；(6)二次函数图像上的点的坐标。解：（1）不能，不确定；（2）不能，不确定；（3）能，可确定；（4）不能，不能确定；（5）能，；（6）能，。二、元素与集合的关系（1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作；（2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作。例2、用符号“”、“”填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。三、集合中元素的三个特性（1）确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的；（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的；（3）无序性：对于一个给定的集合，集合中的元素的排列，没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。四、集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。空集：不含任何元素的集合，记作，如：。五、特殊集合的符号（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作：；（2）正整数集：非负整数集内排除的集，记作：；（3）整数集：全体整数的集合，记作：；（4）有理数集：全体有理数的集合，记作：；（5）实数集：全体实数的集合，记作：。六、集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，这种表示集合的方法叫做描述法。表示：；含义：在集合中满足条件的的集合。例如：所有直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：{直角三角形}；{大于的实数}；（2）错误表示法：{实数集}、{全体实数}等。例3、用列举法或描述法表示下列集合：(1)方程的解集；（2）直线上的所有点的坐标组成的集合；（3）使函数有意义的的值组成的集合；（4）方程组的解组成的集合；（5）由的所有可能的取值所组成的集合（其中）。解：（1）或；（2）；（3）或；（4）；（5）。例4、对于集合,若满足:当时,则且,我们称集合为“完美”集.问:(1)自然数集是否是“完美”集?为什么?(2)无理数集是否是“完美”集?为什么?(3)由形如:的数形成的集合是否是“完美”集?说明理由.解：（1）是；（2）不是，如：。（3）是。。例5、已知集合，分别求下列条件下实数的取值范围：(1)；(2)中只有一个元素；(3)中有两不同的元素且都为正数。解：（1）；（2）；（3）。集合之间的关系1、子集：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合就叫做集合的子集，记作：，读作：“包含于，或包含”。注：（1）；（2）有两种可能：①是的一部分；②与是同一集合。性质：（1）空集是任何集合的子集，即：；（2）任何一个集合都是它本身的子集，即：；（3）若，且，则。2、集合相等：对于两个集合与，如果且，那么叫做我们就说集合与集合相等，记作：，读作“集合等于集合”。3、真子集：对于两个集合A与B，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集，记作：或，读：“真包含于”或“真包含”。性质：（1）空集是任何非空集合的真子集，；即：若，则；（2）若，则；（3）若，且，则。例1、已知集合,写出集合的所有子集.解：，，，，，，，。例2、用适当的符号填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。例3、判断下列每组两个集合的关系：（1），；（2），；（3），；（4），。解：（1）；（2）；（3）；（4）。例4、已知集合,判断并说明集合之间的关系.解：任取，则，则，则。存在，，所以。例5、已知，，且，求实数的值。解：，（1）；（2）；（3）。所以。例6、填空：集合有个子集，有个真子集；集合有个子集，有个真子集；集合有个子集，有个真子集；集合有个子集，有个真子集。例7、（1），求集合的个数；（2），求集合的个数；（3），求集合的个数。解：（1）；（2）；（3）。重要结论：1、含个元素的集合的子集数为；非空子集数为；真子集数为；非空真子集数为。2、设，则满足条件的的个数是：；设，则满足条件的的个数是：；设，则满足条件的的个数是：；设，则满足条件的的个数是：。例8、已知集合，求集合的所有非空子集元素和的和。解：含有元素1的子集有个，所以1在总和中出现次，同理其他元素各出现次。所以所求和的和为思考：推广结论是什么？课堂精练1、用适当的符号填空：（，） 已知集合，，则用列举法表示集合。2、从自然数这个数中任取两个相加,得到的和作为集合的元素,则的非空真子集共有个.3、已知集合，，若，则的值是。4、已知集合，对它的非空子集，将中每个元素，都乘以，再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和是。165、设是一个数集,且至少含有两个数,若对任意,都有(除数,则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题:①整数集是数域；②若有理数集,则数集必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是.(把你认为正确的命题的序号填填上)③④6、已知集合，，,则集合之间的关系是。7、设的子集为，则N的子集中包含元素1和10的集合有（）个CA、10B、64C、128D、2568、设集合，，，若，，则（）DA、B、C、D、以上答案都不对9、设集合,,且.若,求实数的值.解：，（1）；（2）；（3）10、设集合是由一些自然数组成的非空集合,且具有性质:“若,则”回答下列问题:(1)试写出只有一个元素的集合；(2)写出所有只有两个元素的集合；(3)集合最多能有几个元素？写出满足性质且元素最多时的集合；（4）这样的集合共有多少个？解：（1）；（2），，，，，，，；（3）17个，；（4）把0与16，1与15，2与14，。。。，8各自看作一个元素，则集合是九个元素的集合的非空子集，共有个。11、设函数,集合,.(1)证明:；(2)当时,求集合；（3）若是只含有一个元素的集合，证明。解：（1）证明：任取，则，则。（2）的两根为-1，3代入化简得：，所以。（3）设集合，则方程有重根，，代入中：，则.12、已知非空集合的元素全为实数，且满足：若，则.①若，求所含元素个数最少的集合；②是不是集合中的元素？请写出一个不同于①中的集合；③根据①②，能归纳出有关集合的什么结论？请说明理由.解：①由，则，又由，得，再由，得，而，得，故．②不是中的元素．若，则，而，故不是中的元素．取，可得．③(ⅰ)中没有元素；(ⅱ)中元素个数为个，且每两个互为负倒数．证：(ⅰ)由②知：．若，则，矛盾.故.(ⅱ)设，则，而，∴、、、必同在集合中.若，则，无实数解，∴，同理可得：、、、两两不等.且.故中元素个数为个，且每两个互为负倒数．课后精练1、A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，证明：(1)任意奇数都是A的元素；(2)偶数4k－2(kZ)不属于A．证明：设A={x|x=a2－b2，a、bZ}，（1）设任意奇数x=2k+1,kZ，则x=k2+2k+1－k2=(k+1)2－k2A；（2）（反证法）假设任意偶数x=4k－2,kZ属于A，则设x=a2－b2，a、bZ，于是有2(2k－1)=(a+b)(a－b)，…①在上述①式中，等号右边的a+b与a－b同奇同偶，则x或为奇数，或为4的整数倍；而等号左边是2与一个奇数的积，则x不能被4整除，由此产生矛盾．所以假设不成立，原结论成立．2、（美国第七届竞赛题）设为集合具有下列性质的子集，中任意两不同元素之和不能被整除，那么中元素最多可能有多少个？解：把集合划分成个子