三章工程数学2012 ch03

第三级第三级3.101复数项级复数项级数是复数序列znxniyn复数项级复数项级数是复数序列znxniynz1z2...znnSnz1z2...znk若当n时Sn的极限存在,knkSlimSnzkk2级数收敛的充要条件－柯西收敛判级数收敛的充要条件－柯西收敛判对任意的0,都存在正整数NN(),使得当nN时对一切正整数p,nkSn复数项级数的收敛条x1x2...xny1y2...yn3limxnlimynlimzn绝对收敛和条件收...若级收敛limxnlimynlimzn绝对收敛和条件收...若级收敛z1z2...则级也收敛并称后者为绝对收敛.事实y,.n若zn收敛,发散称前者为条件收敛4级数的乘如果Saan级数的乘如果Saanbncn Sanak其中k5达朗贝尔(d’Alembert)判别若级达朗贝尔(d’Alembert)判别若级zn满足条则当l时zn绝对收敛.当l时,zn发散6讨论级数zn的敛散性例1(1)S1zz2(z解n讨论级数zn的敛散性例1(1)S1zz2(z解n1Slim lim1n111时Sz根据收敛定义,,级数收11时,S不存在,级数发散当zz根据达朗贝尔判别1时,级数zn1时,级数发散当zz7复变函数项级复变函数项级 (z)复变函数项级复变函数项级 (z)构成的无穷级fn(z)f1(z)f2(z)fn(z)其中fn(z)是定义在区域内的复变函数nfk(z).(z)级数的部分和构成函数序列kDzlimSn(z)S(z)存在fn(zz点收敛S(z)是它的和8•fn(x)n1x•1x2x2•fn(x)n1x•1x2x21x2212•11x21x2kn11x2 1x2Sn(x)k1 1x2•S(x)limSn(x)19PDF"pdfFactoryPro•1(x)S(x)Sn1x2•1(x)S(x)Sn1x21N(,x)ln1x2n即(x)在(0,1]上点点收敛（收敛）但非一致收敛但(x)在x0,1]上一致收敛（称内闭一致收敛PDF"pdfFactoryPro•1x2lim1x2•1x2lim1x2121x2(2)fn(x)n1在x0连续，但S(x)不连续xxS(x)21xS(x)dxfn(x)dxf(x)dxn(4)dS(x)df(x)df(x)dxnnPDF"pdfFactoryPro收敛和一致收对任意的0,都存在正整数NN(收敛和一致收对任意的0,都存在正整数NN(z)nN时对一切正整数p,nSnfk(z)k则称级数fn(z)在z点收敛所有z都有N(z)N(就称级数fn(z)在区域使级数fn(z收敛(一致收敛)收敛达朗贝尔判别若级数fn(z达朗贝尔判别若级数fn(z)满足条fn1fn则当l时fn(z)在z点绝对收敛.当l时,fn(z)在z点发散.当l时,fn(z)在z点的敛散性不能由方法判别一致收敛的复变函数项级数的性（1）若f一致收敛的复变函数项级数的性（1）若fk(z)是区域D内的连续函数,并且级数fk(z)k在D内一致收敛,则级数和S(z)fk(z)也是kfn(z)dzfnll（3）外尔斯特拉斯（Weierstrass)定理fn(z)（3）外尔斯特拉斯（Weierstrass)定理fn(z)fn(z)在D的边界上一致收敛,(i级数fn(z)在内收敛,并且其和S(z)fn(z)(iif(z在D内也收敛（mkfk(zD内的任意一点z(即zkfk(zD内的任意一点z(即z1kfk(f(1212 ddk(z)zkkfk(同理,对整数m1m!zk1fk(fk(同理,对整数m1m!zk1fk(f(m!f(z)dmdkk1km小(1)若fk(z)在区域D内连续,则当级数fk(z)在Dk其和F(z)limf(z)f小(1)若fk(z)在区域D内连续,则当级数fk(z)在Dk其和F(z)limf(z)f(z)FlimF(z)fkk 0kzzkk(2)若fk(z)在曲线l上的积分存在(即fk(z)在分段光滑的曲线l分段连续且有界),则当级数fk(z)在l上一致收敛时,其和FkF(z)dzfk(z)dzfkkklll(3)若fk(z)D内解析,在分段光滑的边界数fk(z)在上一致收敛时其和F(z)也在D内解析,并且其mk(F(z)(m)fk)kkk•若级数fn•若级数fn(z)在内一致收敛，且S(z)fn(z)）fn(z连续S(z连续，且取值和求和顺序可互换；(2)fn(z)可积S(z)可积，且积分和求和顺序可互换；(3)fn(z)可导S(z)可导，且求导和求和可互(4)fn(z)解析S(z)PDF"pdfFactoryPro幂级c(zn幂级c(zn(nc(za)cc(za)c(za)2n012幂级数的敛散性阿贝尔定nczz0z幂级数的敛散性阿贝尔定nczz0zzzzc(za)nn00c n证 zM.q1,n有c z0zccc n证 zM.q1,n有c z0zccnn nz0nncc nn幂级数的敛散性达朗贝尔判别将达朗贝尔判别法用于幂级数cn(za)n,并cn1(z幂级数的敛散性达朗贝尔判别将达朗贝尔判别法用于幂级数cn(za)n,并cn1(zzzacn(zR因此当zR时,幂级数绝对zR时,幂级zR时,幂级数的敛散性必须由其它方法判定发散R为一圆,称收敛圆.收敛圆的半径(收敛半径收敛域z R.在收敛圆的边界(即收敛圆周zR上,级数的敛散性能由此方法确定(依赖级数的具体形式和z值幂级数敛散性柯西判别幂级数c (za)k幂级数敛散性柯西判别幂级数c (za)k敛散性的柯西判别法kkzc(za)l.kkRkl时,幂级数绝对收敛 时,幂级数的敛散性必须由其它方法判定z为收敛半径幂级数的收敛域1zz2nn对于任意固定z,总可以找到一个N2z,从而当nN2z时112z1zz2nn对于任意固定z,总可以找到一个N2z,从而当nN2z时112z., nn nn02n(2)/(nznnnn1n1 /所以,级数的收敛半径Rnn(3)limz/0.所以,收敛半径R/n例2(p为正整数)pnlimn1) )n例2(p为正整数)pnlimn1) )ncnn R1,级数发散1上的特性z收敛(1)p级在1上的特性z收敛(1)p级在收敛圆上无收敛点(2)p1在点z发散在其它点都收敛(3)p2在收敛圆上处处收敛2n幂级数在收敛圆内的性(1f(zcn(z幂级数在收敛圆内的性(1f(zcn(za)n内是解析函数zf(z)在收敛圆内的导数可以通过幂级数逐项求导得f(z)ncn(z逐项求导以后级数的收敛半径不变f(z)在收敛圆内的积分可以通过幂级数逐项积分得f(z)dzcn(za)nczcc逐项积分以后级数的收敛半径不变解析函数与幂级解析函数的幂级数(泰勒Taylor级数)展解析函数满足柯西公f()f(z)zazaf(f(f(解析函数与幂级解析函数的幂级数(泰勒Taylor级数)展解析函数满足柯西公f()f(z)zazaf(f(f(1k fzakak0 f( zaf(z)zad得cakkkkf(11d (k)其fkk1k1f(z)(aza此即解析函数的泰勒级数展k(kf所kkPDF"pdfFactoryPro泰勒级数展开的唯一假设f(z)可以在以a为中心的收敛圆内展开为泰勒级数泰勒级数展开的唯一假设f(z)可以在以a为中心的收敛圆内展开为泰勒级数f(z)czakcczaczk012kc0f从上式可以得fc11fc21 (k)fkk即当f(z)和a确定后,所有泰勒系数都是唯一确定的.所以对应的泰勒级数展开是唯一的解析函数与双边幂级由3.1节例1得到,幂级1zz2k1在该收敛域内级数的收敛域zF解析函数与双边幂级由3.1节例1得到,幂级1zz2k1在该收敛域内级数的收敛域zF(z)1 1zk11在区是解析函数.但除zz也是解析函数1z1显然,在区11111 1z2z1z1zz问题:任何函数在解析区域内是否一定可以展开为幂级数?是,如何展开kck(za)kkck(za)kck(za)kck(z证明kkkz解析函数.作变 ,负幂级数可以化为正幂级zck(za)kck(za)kckkkkkzR2.在此收敛域内,负幂级数的和为解析函数所以,若R2R1ck(za)kkR2zzf(z)R2f()df(f(z)zf(z)R2f()df(f(z) 121 f()dcz kkf(f(11d kkk11f()d1f()d1 z (za)(222f) d1f()d1f()d1 z (za)(222f) dazz2af()zazn121 f( nnzcckzakznkf(1 1f(f(1d kkk1f(z)1f()d1f() f(z)1f()d1f() 12czakczakkkkczakkf(1 kk1双边幂级数f(z) z 称为洛朗级数,c称为洛朗系数kkkk假设f(z)可以在围绕a的环形收敛区域R2zf(z)czakkk1z,然后沿环形区域内绕a的正向围线积分,z假设f(z)可以在围绕a的环形收敛区域R2zf(z)czakkk1z,然后沿环形区域内绕a的正向围线积分,z11m1dzkf(z)dzmk1zzzk dz2i,mk mk(za)mk2i,km f(z)dzc kmkzk1f kk1az所以,给定f(z)和a在环形收敛区域R2z附2.1节例1为例2dzC是以(z00中心,r为半径的正向圆周,n为整数yz解C的参数方程附2.1节例1为例2dzC是以(z00中心,r为半径的正向圆周,n为整数yz解C的参数方程rzz0re,02π.dzirern1ei1dz(zx0o0i,nir1den0积dz与z和C的半径无关0(z0PDF文件使用Pro"试用版本创建解析函数的泰勒展开方给定f(z直接求泰勒系解析函数的泰勒展开方给定f(z直接求泰勒系1 ),n0,1,(n)fn0从而得f(z)z0为中心的泰勒展开f(z)k1)z(k)f00k例1(p.92).求ln(1z)以z0为中心的泰勒展开式Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1z例1(p.92).求ln(1z)以z0为中心的泰勒展开式Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1ziarg(1解ln(10)由ln(11(1)01(2)(1)2ln(1ln(1ln(1c01(2)(1)n1(n得ln(1z)1 f(n)(z0),nnnln(1z)cnnznzn借助于一些已知函数的借助于一些已知函数的展开结合解析函的性质(逐项求导积分等)幂级数运算性,求函数的泰勒展开式附1) 1z z(z111附1) 1z z(z111zz2znzn(z(1)nzn(1)n11z1(zz2n1(2n 4)sinzn(,(z z2n5)coszn((zn 6)ln(1z z2n5)coszn((zn 6)ln(1z)n(23n(1)n(z7)(1z)1z(1)(1)(2)((n(zzsinzz0为中心的泰勒展开式例1eizsinz解1sinzz0为中心的泰勒展开式例1eizsinz解1z2n1(1)n (2n1z的幂级数1z的幂级数11zz2z,1 11z12z3z2z求arctanz在z0的幂级数展开例z解arctanz,1z01且n(z2)n求arctanz在z0的幂级数展开例z解arctanz,1z01且n(z2)nz1)1zz(1)n(z2arctanz所1200z2n1(1),nz2n求cos2z的幂级数例5因为cos2z1(1cos2z),解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)6求cos2z的幂级数例5因为cos2z1(1cos2z),解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)62224261z所以cos2z1(1cos2z)2123252z2z解析函数的洛朗展开方直接展开f(z),1f解析函数的洛朗展开方直接展开f(z),1fc(n0,1,,n(zz1C0f(z以f(z)czn0f(z)z0的领域作洛朗级数展开例1f(z)1dz解cn(zz0CCnf(z)z0的领域作洛朗级数展开例1f(z)1dz解cn(zz0CCn31d,n2ez(n2)!zf(z)z0=0 0znzn2(n2)!2z间接展开间接展开根据正、负幂项组成的的级数的唯一性可代数运算、代换、求导和积分等方法去展1ez1z z2 2z1z1ez1z z2 2z1z11z1例2a.(p.95)将f(z)以z0z(1f(z)在z0及z解0内解析zz11z11f1例2a.(p.95)将f(z)以z0z(1f(z)在z0及z解0内解析zz11z11f(z)z(1 1zn k1zz2z111f(z)1z(1z1111zk1例2b.将f(z)以zz(1解:函数f(z)在z0及z点不解析,但在环形区域0z1和1z1内解析z1111111f(z)1例2b.将f(z)以zz(1解:函数f(z)在z0及z点不解析,但在环形区域0z1和1z1内解析z1111111f(z)z(1 1 1 1(z(z1)11(z1)(z1)2(1)k(zkz1(2)在11111f(z)z(1z)(z1)(z(z z11111zk(zk(z (zk§3.8孤立奇f(z)zaa0z§3.8孤立奇f(z)zaa0zaf(z)1z0是ezsinz1zz1sin1/z01n,0zn0zag(z)f z zzazz zzz zz,0zz zzz z f(z)0zaRf(z)cm(f(z)0zaRf(z)cm(zcm1(za)m1c0c1(za)c(za) kf(z) c(za)2(z1(zf(z)cm(za)mf(z)cm(za)mcm1(za)m1c1(za)c(za)km1(zlim(za)mf(z)cm1例讨论函的奇性z11由,解z2z(z1)(z所以,孤立奇点z1例讨论函的奇性z11由,解z2z(z1)(z所以,孤立奇点z1是函数的一阶极点或单极点z1是函数的二阶极点1例讨论函的奇sin11,zn是函的极点(n整数z解sinsin11lim(zn1)n,zn是一sincoszz极点f(z)0zaf(z)0zaRf(z)cm(za)mcm1(za)m1c0c1(za)c(zka)k1f11f1z(z)f z(z)c0c1(za)c2(za)2假设c1c2cm10cm0,(z)cm(za)mcm1(za)m1(za)m111g(a)c, (zm (zll(za)l(za)2 21ez11101zz,z含有无限多个z的1ez11101zz,z含有无限多个z的负幂次项,所以z0为本性奇点111,limez0,所以limez不存在同时,由于limezz函数的零点函数的零点:如果解析函数f(z)可以写f(z)(zz0)m其中m正整数,(z0)0且解析,则称zz0为f(z)的m阶零点如果zz0为解析函数f(z)的m阶零点,则zz0是函数1f(z)m阶极点,反之亦然例.z0是函数f(zz(z1)3的一阶零点z1是函数f(z)z(z1)3的三阶零点§3.9无限远内解析1,则函设函数f(z)在区域R§3.9无限远内解析1,则函设函数f(z)在区域Rzz1()f()f(z)在0R)ckkkf(z)1所ckzkk此即函数f(z)展开为以z为中心的洛朗级数0,g(c,kkkkc111f0,g(c,kkkkc111f(z)ck12zk则称z为f(z)的可去奇点,f(0,g(c,kkkk11f(z)c1zc1zz2mcmk则称z为f(z)的m阶极点,f(f(z)g()ckk.0,kzkk则称z为f(z)的本性奇点,f()不确定内解析的函数f(z)可以作以zzf(z)内解析的函数f(z)可以作以zzf(z)1ckk此即函数f(z)展开为以z0一般地,在区域R1zR2内解析的函数f(z)可以作以z (za)kf(z)k此即函数f(z)展开为以za例1.f(ze1/z以z解:令1,则(例1.f(ze1/z以z解:令1,则(e以0z() 1201 1f(z)e1/z0z2!z2是z为中心的洛朗级数展开式,同样也是z01z1z例2.f(z)以z解:令 ,则() 1z1z例2.f(z)以z解:令