2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线x2=−4A.(1,0) B.(0,2.过点P(1,−1)A.y=−x B.y=x 3.设等差数列{an}前n项和为Sn，若S17A.4 B.2 C.1 D.04.若圆(x−a)2+y2A.[0,23] B.[5.已知数列{an}满足a1=2，aA.b1=5 B.b2=96.已知直线l：λx−y−4λ+3=0(λ为实数)和圆CA.23 B.22 C.7.已知等轴双曲线C的中心为O，焦点为F1、F2，若双曲线C上一点P满足：|PF1A.1 B.3 C.2 D.8.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.(0,12] B.[1二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.过点P(1,2)引直线，使它与两点A(A.x+3y−7=0 B.10.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>A.d>0 B.a13<0

C.Sn的最大值是S12 11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足分别为P，Q，线段PQ的中点为A.yAyB=−4 B.112.已知圆O：x2+y2=4，过直线l：x+y−4=0A.存在点P，使得四边形PAOB为菱形 B.四边形PAOB面积的最小值为4

C.线段A三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知等差数列{an}的首项a1=14，公差d=−314.已知直线l过点(2,2)且与抛物线y2=215.写出与圆x2+y2=1和圆16.双曲线的光学性质为(如图①)：从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分(如图②)，其方程为x2a2−y2b2=1，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y−1=0，两个顶点为A(1,2)18.(本小题12分)

已知Sn是等差数列{an}前n项和，S7=28，S10=55．

(19.(本小题12分)

设m为实数，直线y=mx+1和圆C：x2−x+y2=0相交于P，Q两点．

(1)若PQ=2220.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24+y2=1，直线l：y=x+t(t为实数且t≠0)与椭圆C交于A，B两点．21.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(1,0)，焦点到渐近线的距离为322.(本小题12分)

如图，F(0,1)是抛物线Γ：x2=2py(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线Γ于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在y轴上，直线AC交y轴于点D，且D在点F的上方.记△

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：抛物线x2=−4y的焦点坐标为(0,−12.【答案】A

【解析】解：根据题意，可得直线的斜率k=tan135°=−1，

结合点P(1,−1)3.【答案】C

【解析】解：由题意知，S17=172=17(a1+a17)2，

所以a1+a17=4.【答案】C

【解析】解：根据题意可知(x−a)2+y2=1(a≥0)的圆心为C1(a,0)，半径为r1=1；

圆x2+(y−2)5.【答案】D

【解析】解：由已知可得：

对A，b1=a2=a1+1=a1+1=2+1=3，故A错误；

对B，b2=a4=a3+1=a3+1=a2+1+1=a2+6.【答案】B

【解析】解：直线l的方程可化为λ(x−4)−(y−3)=0，

由x−4=0y−3=0，可得x=4y=3，

所以直线l过定点D(4,3)．

将圆C的方程化为标准方程可得(x−3)2+(y−4)2=4，

所以圆心7.【答案】D

【解析】解：设等轴双曲线方程为x2−y2=a2，P(x,y)为等轴双曲线上的任一点，

可得c=2a，

则|PF1|⋅|PF28.【答案】B

【解析】解：根据题意可得椭圆C1上存在点P使得|PO|=2r=2×23b=23b，

又b≤|PO|≤a，

∴23b≤a，

9.【答案】BC【解析】解：设所求直线为l，

当l/​/AB时，

因为A(2,2)，B(4,−6)，

所以kAB=2−(−6)2−4=−4，

因为直线l过点P(1,2)，

所以直线l方程为y−2=−10.【答案】BC【解析】解：设数列{an}的公差为d，

由S8=S16得，8a1+28d=16a1+120d，解得a1=−232d，

选项A，因为a1>0，所以a1=−232d>0，所以d<0，即A错误；

选项B，a13=a1+12d=−232d+12d=12d<0，即B正确；

选项C，Sn=na1+n(n−1)2d11.【答案】AC【解析】解：易知焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，如图所示：

可设直线l的方程为x=my+1，A(xA,yA)，B(xB,yB)，

联立y2=4xx=my+1，消去x可得y2−4my−4=0，显然Δ=16m2+16>0，

由韦达定理可知yA+yB=4m，yAyB=−4，故A正确；

易知|AF|=|AP|=x12.【答案】AB【解析】解：根据题意，作出示意图形，如图所示，

对A，若四边形PAOB为菱形，则|OB|=PB|=2，故OP=22，

结合点O到直线l的距离d=|0+0−4|12+12=22，可知存在点P，使得四边形PAOB为菱形．故A正确；

根据A的结论，可知|OP|min=22，所以四边形PAOB面积等于2SΔOAP=|PA||OA13.【答案】20

【解析】解：根据题意，an=a1+(n−1)d=14−34(n−1)=−34n+594，

令−34n+594>0，解得n<593，令−314.【答案】y=2或【解析】解：如图所示，

易知点(2,2)在抛物线y2=2x上，

当直线l斜率为0时，直线l的方程为y=2，

与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意；

当点(2,2)为直线l与抛物线的切点时，

设直线l的方程为x−2=m(y−2)，

联立y2=2xx−2=m(y−215.【答案】x=−1(答案不唯一，x−【解析】解：圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1；

圆(x+3)2+y2=4的圆心为C(−3,0)，半径为2，圆心距|OC|=3，

又1+2=3，

所以两圆外切，

由图可知共有三条公切线，

易知l1方程为x=−1．

由图可知，另外两条公切线斜率存在，

故设公切线方程为y=kx+m．

则O(0,0)到y=kx+m的距离为|m|k2+1=1，

C(−3,0)16.【答案】26【解析】解：由题可知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如下图：

设|AF1|=m，则|AF2|=|AF1|−2a=m−2a，

因为tan∠ABC=−158，所以tan∠ABF1=158，

又∠BAD=90°，所以tan∠ABF1=|AF1||AB|=158，即|AB|=815|AF1|=815m，

所以17.【答案】解：(1)设AB的中点坐标M(x0,y0)，

由中点坐标公式可得x0=1+(−1)2=0,y0=2+(−1)2=12，

根据AB的斜率kAB=2−(−1)1−(−1)=32，可得垂直平分线的斜率k=【解析】(1)先求出AB中点的坐标，再根据垂直的两条直线的斜率关系，算出所求直线的斜率，进而求出AB的垂直平分线方程；

(2)利用角平分线的性质求出对称点的坐标，求出直线18.【答案】(1)解：设数列{an}的公差为d，

因为S7=28，S10=55，

所以S7=7a1+7×62d=7a1+【解析】(1)设数列{an}的公差为d，根据等差数列的求和公式，可得关于a1，d的方程组，解之，再由等差数列的通项公式，即可得解；

(2)结合19.【答案】解：(1)圆C：x2−x+y2=0，即(x−12)2+y2=14，圆心为C(12,0)，半径r=12．

若PQ=22，则点C到直线y=mx+1的距离d=r2−(PQ2)2=24，

所以|12m−0+1|m2【解析】(1)根据PQ的长度，计算出圆心C到直线y=mx+1的距离，然后根据点到直线的距离公式，列式算出m的值；

(2)若点20.【答案】解：(1)由x24+y2=1可知，c2=a2−b2=3，

所以椭圆的右焦点为(3,0)，

所以0=3+t，即t=−3，即直线l方程为y=x−3，

由y=x−3x24+y2=1，可得5x2−83x+8=0，

设A(x1,y1)，B(【解析】(1)根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；

(221.【答案】解：(1)不妨取双曲线C的一条渐近线为y=bax，焦点坐标为F(c,0)，

即bx−ay=0，

此时焦点F到直线bx−ay=0的距离d=|bc|a2+b2=3，

又a2+b2=c2，②

联立①②，解得b=3，

因为双曲线C的右顶点为A(1,0)，

所以a=1，

则C的方程为x2−y23=1；

(2)证明：当直线MN的斜率存在时，

不妨设直线MN的方程为y=kx+m，

联立y=kx+mx2−y23=1，消去y并整理得(3−k2)x2−2kmx−(m2+3)=0，

因为双曲线C的右支与直线MN有两个不同的交点，

所以Δ=(−2km)2+4(3−k2)(m2+3)>0，

解得m2+3>k2，③

不妨设M(x1,y1)N(x2,y2)(x1,x2>1)，

由韦达定理得x【解析】(1)由题意，取双曲线C的一条渐近线为y=bax，焦点坐标为F(c,0)，利用点到直线的距离公式以及a，b，c之间的关系，列出等式求出b的解，再结合双曲线的顶点坐标，进而可得C的方程；

(2)22.【答案】解：(1)因为F(0,1)是抛物线Γ：x2=2py(p>0)的焦点，

所以p2=1，

解得p=2，

则抛物线Γ的方程为x2=4y；

(2)不妨设A(x1