四川省宜宾市兴文县第二中学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

兴文二中2023年秋期高一第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由得，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数不等式的解法.2.已知幂函数的图象经过点，则的值为（）A.3 B. C.9 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意设幂函数，求出的值，写出函数解析式，再计算的值．【详解】解：设幂函数的图象经过点，则，，，．故选：A．3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可．【详解】由题意，解得或．故选：D．4.若不等式的解集是，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知方程的根为，结合根与系数的关系得出，从而得出的值.【详解】由题意可知方程的根为由根与系数的关系可知，解得即故选：C【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.5.某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（）A.27 B.23 C.25 D.29【答案】A【解析】【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图，如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.故选：A6.若a＞0,b＞0,a＋b＝1,则的最小值为A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】利用a+b=1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵a+b=1，∴=（a+b）（）=2+（）≥4，当且仅当a=，b=时取等号．∴的最小值4．故选D．【点睛】熟练“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．7.17世纪初，约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.在进行数据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是增函数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运算，据此可判断数(取)的位数是（）A.108 B.109 C.308 D.309【答案】D【解析】【分析】根据题意，选令，再两边取对数化简、计算、分析后就可以确定其位数.【详解】记.因为，所以，于是，又因为是一个309位数，是最小的310位数，且为整数，所以数的位数是309.故选：D.【点睛】方法点睛：事实上，任何一个正实数都可以表示成形式，此时).当时，是位数.8.已知函数，若，，使得恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得：，利用函数的单调性分别求得，，代入不等式即可求得答案.【详解】由题意得：，∵对恒成立，∴在单调递减，∴；∵在单调递增，∴，∴.故选：C.【点睛】本题考查简易逻辑中“任意”问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.所以A选项是充要条件，A不正确；B选项中，不可推导出，B不正确；C选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，故C正确；D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，故D正确.故选：CD.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．10.若，则下列结论可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】分与同正、同负和异号三种情况讨论即可.【详解】若与同号，则由得，即，∴，当与同为正时，，故C正确；当与同为负时，，故A错，B正确；若，则，故D正确．故选：BCD.11.已知第一象限的点在直线上，则下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意，明确的取值范围，对于A,B,C，采用作差法，可得答案，对于D，根据基本不等式，可得答案.【详解】由题意，，且，则，即，对于A，，由，根据二次函数的性质，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ABD.12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（）A B.若，则C.若，则 D.，，使得【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，，，作出大致函数图象，结合图象逐一判断即可．【详解】解；因为函数定义在上函数，所以由①：，，所以函数为偶函数，又因为由②知：，，当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又因为，所以，作出函数的大致图象，如图所示：对于A：因为函数在上单调递减，因此，故A错误；对于B：因为定义在上的偶函数在上单调递增且连续，且，所以，即，解得，即，故B正确；对于C、因为，，因为函数为偶函数，在单调递增，所以由或，解得或，即，因此C正确；对于D、由C知是函数的最小值，因此，，使得，因此D正确，故选：BCD．第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数过定点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】利用代入可得定点的坐标．【详解】令，解得，则，即定点的坐标为故答案为：14.若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.【详解】因为“，使得”是假命题，所以“，使得”是真命题，所以，解得，故答案为:.15.已知函数，若，则_________.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质即可.【详解】设，则，则因为，所以，则.故答案为：16.已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则________.【答案】##0.5【解析】【分析】将函数的零点问题转化为的图象与直线有四个交点问题，求解即可.【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解，即的图象与直线有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，.因为，所以，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）已知，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算；（2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算.【详解】（1）；（2）因为，所以，由换底公式可得：，因为，所以，则，因为，所以.18.已知集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）由解方程求出的值，再检验或时是否成立，从而得出实数的值；（2）由得出，结合子集的定义得出可能为，，，，分别讨论这四种情况，得出实数的取值范围．【详解】（1）∵，∴，即，解得或.当时，，，满足当时，，满足∴所求实数的值是或．（2）∵，∴，即可能，，，当时，，解得当集合中只有一个元素时，，解得，此时，即集合不可能为或当时，由根与系数的关系可知方程组无解，则不可能为∴所求实数的取值范围是．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由交集运算，推理得出，在判断不可能为时，主要是根据根与系数的关系，列出方程组，由方程组无解进行判断.19.已知函数，，.（1）是否存在，，使不等式的解集为?说明理由.（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）不存在，理由见解析.（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式的解集，结合一元二次不等式与二次函数及方程的关系有，进而判断是否存在，.（2）讨论参数a的范围，应用一元二次不等式的解法求解集即可.【小问1详解】要使的解集为，即且的两个解为，∴，可得，显然与矛盾.∴不存在，，使不等式的解集为.【小问2详解】由题设，，∴当时有，即；当时，；当时有，即或；当时有，即；当时有，即或；20.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）定义域的奇函数满足，求出的值并用奇函数定义验证.（2）用定义证明函数的单调性.（3）不等式利用奇偶性和单调性化简，得到关于的不等式，设，利用函数的性质求解即可.【小问1详解】函数为奇函数，.，解得，当时，，经检验符合题意，故.【小问2详解】是上的增函数.任取且..，，，，即，是上的增函数.【小问3详解】是上的奇函数，且在上单调递增.故即：令，则对恒成立.即解得：.实数的取值范围为.21.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）（2）时有最小值，最小值为.【解析】【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度关于时间的函数，代入与公式可得解得；【小问2详解】①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；②疲劳阶段，则有，当且仅当，即时，“”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为，由于，因此，在时，运动员体力有最小值.22.若且．（1）判断函数的单调性（不必证明）；（2）当时，若在上恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，若函数在区间（其中）上的值域为，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，单调递增；当时，单调递减；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性可分类得到结果；（2）将问题转化为在上恒成立，通过分析二次函数的图象可知只需即可满足题意，由此构造不等式求得的范围；（3）将问题转化为在上有两个不等实根，通过分析二次函数的图象得到不等式组，由不等式组可求得的范围.【详解】（1）由复