二次函数的图象和性质2023年中考数学考点微

考向3.5二次函数的图象和性质

例I、⑵2卜四川德阳•中考_真题）已知函数产][1_2（51<>x+<83）皿48）的图象如图所示,若直

线y=H-3与该图象有公共点，则女的最大值与最小值的和为.

解：当直线经过点（1,12）时:12=h3,解得上15；

当直线与抛物线只有一，个交点时，（x-5）2+8=心>3,

整理得％2-（10+*）x+36=0,

：.\0+k=±\2,解得42或222（舍去）,

••/的最大值是15,最小值是2,

••/的最大值与最小值的和为15+2=17.

故答案为：17.

（2）c决定抛物线与y轴交点的位置：

c>0u>图像与y轴交点在x轴上方；c=0o图像过原点；c<0。图像与y轴交点在x轴下方；

（3）a,b决定抛物线对称轴的位置：a,b同号，对称轴在y轴左侧；b=0,对称轴是y轴；a,b

异号。对称轴在y轴右侧；

1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出”的最大值

和最小值是解题的关键；

2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内

容；

例2、（2021•山东泰安•中考真题）如图是抛物线y=o?+6x+c的部分图象，图象过点（3,0）,

对称轴为直线x=l,有下列四个结论：①abc>0；②a-b+c=0；③y的最大值为3；④方

程⑪2+云+°+1=0有实数根.其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入）.

解：•••抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴,

：.a<0,c>0,

•••抛物线的对称轴为直线下1,

/.--=1,BPb=-2«>0

2a

.,.abc<0,故①错误；

•••抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,

根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

：.a-b+c=0,故②正确；

根据图象，），是有最大值，但不一定是3,故③错误；

由ax2+bx+c+l=0得占+£>x+c=-1>

根据图象，抛物线与直线尸-1有交点，

,G?+H+C+1=0有实数根，故④正确，

综上，正确的为②④，

故答案为：②④.

理解并熟练运用二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键。

例3、(2021,贵州遵义・中考真题)如图，抛物线y=a(x-2)12+3*3为常数且存0)与y

轴交于点

A(0.1).

3

(1)求该抛物线的解析式；

2

(2)若直线(原0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为内，必当打2+幻2

=10时，求攵的值；

(3)当-4〈烂加时，y有最大值与，求机的值.

a(x-2『+3中,

4〃+3=一,

3

1

19

•••抛物线的解析式为：y=--(x-2)'+3.

(2)联立一次函数与抛物线的解析式得:

y="+|

y=_*_2y+3

-(x-2)2+3=—,

3V73

整理得：X2-(4-3A:)X-3=0,

/.xt+x2=4-3k,xlx2=-3,

Xi+X2=(%+%)-2中2=1°，

(4-3Z)2-2X(-3)=(4-3%)2+12>0,

*.*x]+X2=4-3k,x।・X2=-3,

.'.XI2+X22=(4-3k)2+6=10,

2

解得：k1=2,k',

%=2,&=—,

123

（3）•・•函数的对称轴为直线x=2,

4/w1

当mV2时，当x=m时，y有最大值，—（m-2）2+3,

解得m二土石，m=-5/5,

当mN时，当x=2时，y有最大值，

•・----=3,

3

.9

..m=一,

4

Q

综上所述，m的值为-布或：.

4

1、利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与X轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系,

二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键；

2、考前让学生进行适度训练此类题型对突破重点题是十分必要的。

经典变式练

一、单选题

1.（2021・四川德阳・中考真题）下列函数中，y随x增大而增大的是（）

A.y--2xB.y--2x+3

2

C.y=—（x<0）D.y=-/+4x+3（x<2）

x

2.（2021・上海•中考真题）将抛物线>=以2+法+仪”H0）向下平移两个单位，以下说法错误

的是（）

A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点

不变

3.（2021•江苏连云港・中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出

了该函数的一个特征.

甲：函数图像经过点

乙：函数图像经过第四象限；

丙：当x>0时，y随x的增大而增大.

则这个函数表达式可能是（）

A.y=~XB.y=-C.y=x2D.y=--

xx

4.（2021•浙江杭州•中考真题）已知%和内均是以x为自变量的函数，当》=，"时，函数值

分别为“I和若存在实数机，使得+“2=0,则称函数*和y?具有性质产.以下函

数Yi和为具有性质产的是（）

A.丫|=Y+2x和必=-x-1B.y=x?+2x和=-%+1

C.必=-1和必=一》-1D.必=_［和力=_"+1

xx

5.（2021・四川凉山•中考真题）二次函数y=or2+fec+c（"0）的图象如图所示,则下列结论

中不正确的是（）

A.abc>0B.函数的最大值为a-b+c

C.当一3笑/1时一，y..OD.4a-2b+c<0

6.（2021.甘肃兰州•中考真题）二次函数y=/+2x+2的图象的对称轴是（）

A.x=~\B.x=—2C.x=\D.x=2

二、填空题

7.（2020•江苏淮安•中考真题）二次函数y=-f-2x+3的图像的顶点坐标是

8.（2020・江苏无锡・中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为了轴：

9.（2020.黑龙江穆棱•中考真题）将抛物线）=。-1）2—5关于y轴对称，再向右平移3个单

位长度后顶点的坐标是.

10.（2020・四川雅安・中考真题）从-1,1,2,5中任取一数作为。，使抛物线

y=ax2+法+c的开口向上的概率为.

11.（2020•四川广安•中考真题）已知二次函数y=a（x-3）2+c（a,c为常数,a<0）,当自

变量x分别取石，0,4时，所对应的函数值分别为M，丫2，%，则M，丫2，%的大小关

系为（用连接）.

2

12.（2020•广西贵港・中考真题）如图，对于抛物线必=-/+》+1,y2=-x+2x+l,

%=-V+3x+l,给出下列结论：①这三条抛物线都经过点C（0,l）；②抛物线力的对称轴

可由抛物线H的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上;

④这三条抛物线与直线y=i的交点中，相邻两点之间的距离相等.其中正确结论的序号是

13.（2021・四川巴中•中考真题）y与x之间的函数关系可记为y=/（x）.例如：函数>=/

可记为/（x）=f.若对于自变量取值范围内的任意一个X,都有/（-X）=/（x）,贝

是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个X,都有/（-x）=-/（x），则/（X）是奇

函数.例如：f（x）=/是偶函数，f（x）=1是奇函数.若/（x）=ax2+（“-5）x+l是偶

X

函数，则实数.

14.（2021.青海西宁•中考真题）从-；，-1,1,2,-5中任取一个数作为“，则抛物线

y=ax2+bx+c的开口向上的概率是.

三、解答题

15.（2020•黑龙江鹤岗•中考真题）如图，已知二次函数'=-丁+（0+1»-。与x轴交于A、B

两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C,已知ABAC的面积是6.

（1）求“的值；

（2）在抛物线上是否存在一点P,使5^^=S.c.存在请求出户坐标，若不存在请说明理

由.

一、单选题

1.（2020.四川德阳•二模）在-2,0,1这三个数中任取两数作为mn,则二次函数y=（x

-加）2+”的顶点在坐标轴上的概率为（）

A.-B.-C.-D.1

5332

2.（2020•江苏徐州・二模）把抛物线y=x2-2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，

所得抛物线的顶点坐标是（）

A.（3,-3）B.（3,9）C.（-1,-3）D.（-1,9）

3.（2020•江苏・苏州市吴江区苏州湾外国语学校模拟预测）二次函数、=以2+灰+%自变

量x与函数y的对应值如表：

X-5-4-3一2-10•••

...40一2-204•••

下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下B.当x>-3时，y随x的增大而增大

C.二次函数的最小值是-2D.抛物线的对称轴是x=-|

4.（2020.福建师范大学附属中学初中部模拟预测）已知抛物线），=4（*-婿+刈4工0）经过

以下三点：A（加一5,0）,8（加一3,4）、C（5-w,4）,其中加<4,下列说法正确的是（）

A.点B在点C的右边B.«>0

C.&<4D.当x<0时，y随X增大而增大

5.（2020.湖北梁子湖.二模）如图，分别过点P£n,0）（n为正整数）作x轴的垂线，交二次函

数丫=1/（X>0）的图象于点An,交直线y=-gX（X>0）于点Bn,则+的

22gwa纥

值为（)

6.（2020・河南沁阳•模拟预测）如图，在Rt0A5中，OA=AB,/。出=90。，点P从点。

沿边04、A8匀速运动到点8,过点尸作PC,03交08于点C,线段AB=2&,OC=x,

$△丽=N，则能够反映>与x之间函数关系的图象大致是（）

7.（2020.四川仁寿.模拟预测）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2）2-1,下

列说法中错误的是（）

A.图形顶点坐标为（-2,-1）,对称轴为直线x=2

B.当x<2时，y的值随x的增大而减小

C.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到

D.图象与x轴的两个交点之间的距离为2

二、填空题

8.（2020•江苏姑苏•一模）二次函数y=f-4x+7的顶点坐标为.

9.（2020.安徽滁州.模拟预测）抛物线丫=汉-m）（工-1）与x轴交于48两点，与>,轴交于点C,

若ZACB为锐角，则m的取值范围是.

10.（2020.江苏新沂•三模）如图，P是抛物线y=-W+3x+2在第一象限上的点，过P点分

别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A,B则四边形OAPB周长的最大值_________.

IL(2020・山东周村•一模)如图，过函数产加(«>0)图象上的点3,分别向两条坐标轴

An

引垂线，垂足分别为A,C.线段AC与抛物线的交点为O,则黑的值为

12.(2020.江苏丹阳.模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2(a>0)与y

=a(x-2)2的图象交于点B,抛物线y=a(x-2)2交y轴于点E,过点B作x轴的平行

线与两条抛物线分别交于C、D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连结

AD,AC,EC,ED,则四边形ACED的面积为.

13.(2020.吉林长春.模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴

正半轴上，顶点C在，轴正半轴上，若抛物线y=*x-l)2+k经过B,C两点，则该抛物线

的最低点到边BC的距离为.

14.(2020.浙江•模拟预测)记实数占住，中的最小值为minH.w},例如min{0,-l}=-1,

当X取任意实数时，则min{-x2+4,3x}的最大值为.

三、解答题

15.（2020•湖北武汉•一模）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg,经过市场调

研发现，这种商品在未来40天内的日销售量机（kg）与时间「（天）的关系如下表：

时间，（天）1351036

日销售量”（kg）9490867624

未来40天内，前20天每天的价格%（元/kg）与时间；（天）的函数关系式为必=；f+25

（14/420且，为整数），后20天每天的价格y?（元/kg）与时间（（天）的函数关系式为

%=-?+40（2141440且，为整数）.

（1）直接写出，〃（kg）与，（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（。＜4且。为

整数）给贫困户.通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间3天）

的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？

16.（2020•陕西•三模）如图，已知抛物线y=/-4与x轴交于点A,8（点A位于点B的左

侧），C为顶点，直线y=x+机经过点A,与y轴交于点。.

（1）求线段AQ的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为CL若新抛物线经过点。，并

且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线4。，求新抛物线对应的函数表

达式.

17.（2020・广东斗门•二模）如图，抛物线y=/+&v+c经过A（0,3）,B（4,3）两点，

与x轴交于点E,F,以A8为边作矩形ABCD,其中C。边经过抛物线的项点M,点P是抛

物线上一动点（点尸不与点4,B重合），过点P作y轴的平行线1与直线48交于点G,与

直线8。交于点”，连接A尸交直线8。于点M

（1）求该抛物线的解析式以及顶点〃的坐标；

（2）当线段PH=2GH时，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点尸，使得以点P,E,N,尸为顶点的四边形是平行四边形？若

一、单选题

1.（2021•山东滨州•中考真题）对于二次函数y=gx、6x+21,有以下结论：①当x>5时,

y随x的增大而增大；②当x=6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由

抛物线y=向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的

个数为（)

A.1B.2C.3D.4

2.（2021.贵州毕节•中考真题）如图,已如抛物线y=o?+b%+c开口向上,与x轴的一个交

点为对称轴为直线x=l.下列结论错误的是（)

1\0

A.abc>0B.b2>4acC.4a+2b-hc>0D.2a+b=0

3.（2021.山东日照•中考真题）抛物线y=/+加+c（。工0）的对称轴是直线j=-l,其图象如

图所示.下列结论：①成<0;②（4a+c）2<（»）2；③若G，yJ和（牛％）是抛物线上的两

点，则当|司+1|>四+1|时，,<%；④抛物线的顶点坐标为（-1,加），则关于x的方程

这2+法+0=m-1无实数根.其中正确结论的个数是（）

4.（2021・内蒙古•中考真题）己知二次函数丫=数2+c（aw0）的图象经过第一象限的点

（1,-力），则一次函数y=Zzx-ac的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2021・湖北鄂州♦中考真题）二次函数¥=加+版+«中0）的图象的一部分如图所示.已知

图象经过点（TO）,其对称轴为直线x=l.下列结论：@abc<0；②而+»+c<0；

③8a+c<0；④若抛物线经过点（-3,〃），则关于x的一元二次方程G?+fer+c-〃=O（awO）

的两根分别为-3,5,上述结论中正确结论的个数为（）

6.（2021•四川阿坝・中考真题）如图，二次函数y=a（x+l）2+4的图象与x轴交于&-3,0）,

B两点，下列说法错误的是（）

B.图象的对称轴为直线x=-1

C.点B的坐标为（1,0）D.当x<0时，y随x的增大而增大

7.（2020・四川南充・中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1）,（3,1）,（3,

3）,（1,3）,若抛物线丫=2*2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（）

A.-<«<3B.-<a<lC.-<a<3D.-<«<1

9933

二、填空题

8.（2021.山东淄博•中考真题）对于任意实数。，抛物线丫=/+2火+。+〃与x轴都有公共

点.则匕的取值范围是.

9.（2021•山东荷泽・中考真题）定义：心,仇日为二次函数>=加+公+，（awO）的特征数,

下面给出特征数为［租,1-机,2-向的二次函数的一些结论：①当初=1时，函数图象的对称轴

是y轴；②当”1=2时，函数图象过原点；③当，〃>0时，函数有最小值；④如果机<0,当

时，）随工的增大而减小，其中所有正确结论的序号是.

10.（2020•黑龙江大庆•中考真题）已知关于X的一元二次方程/-2》-〃=0,有下列结论:

①当a>-1时，方程有两个不相等的实根；

②当”>0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当。＞7时，方程的两个实根不可能都小于1;

④当。＞3时，方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.

以上4个结论中，正确的个数为.

11.（2020•湖南岳阳•中考真题）在-3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函

数y=ox2+4x-2中。的值，则该二次函数图象开口向上的概率是.

12.（2020•山东泰安•中考真题）已知二次函数丫=以2+法+。（a,6,c是常数，«^0）的V与

x的部分对应值如下表：

X-5-4-202

y60-6-46

下列结论：

①”＞0；

②当x=-2时，函数最小值为-6；

③若点（-8,%）,点（8%）在二次函数图象上，则b＜必；

④方程o?+公+c=-5有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的序号是.（把所有正确结论的序号都填上）

13.（2020・江苏无锡•中考真题）二次函数y=依2_3以+3的图像过点4（6,0）,且与，轴交

于点B,点M在该抛物线的对称轴上，若43M是以A8为直角边的直角三角形，则点M的

坐标为.

14.（2020•贵州黔东南•中考真题）抛物线y=-+hx+c（存0）的部分图象如图所示，其与x

轴的一个交点坐标为（-3,0）,对称轴为x=-l,则当），V0时，x的取值范围是.

15.（2020•江苏南京•中考真题）下列关于二次函数y=-（x-⑼2+布+1（机为常数）的结

论，①该函数的图象与函数y=的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0,1）；③

当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=V+l的图像上，其中

所有正确的结论序号是.

参考答案

1.D

【分析】一次函数当。>0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当我>0时，

在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开Pl方向判断增减性.

解：A.一次函数尸-2x中的斫-2<0,)，随x的增大而减小，故不符合题意.

B.一次函数y=-2x+3中的a=-2V0,y随自变量x增大而减小，故不符合题意.

2

C.反比例函数y=£(x<0)中的上2>0,在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题

x

意.

D.二次函数y=-/+4x+3(x<2),对称轴X=-T-=2,开口向下，当x<2时，y随x的增大

2a

而增大，故符合题意.

故选：D.

【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次

函数、反比例函数的性质是关键.

2.D

【分析】根据二次函数的平移特点即可求解.

解：将抛物线>向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y

随x的变化情况不变；与y轴的交点改变

故选D.

【点拨】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点.

3.D

【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可.

解：人对于y=-x,当4-I时，产1,故函数图像经过点(-□)：函数图象经过二、四象限；

当x>0时，)，随x的增大而减小.故选项A不符合题意；

及对于y=L当4-1时，尸-1,故函数图像不经过点(-U);函数图象分布在一、三象限；

X

当x>0时，y随x的增大而减小.故选项B不符合题意；

C对于y=f,当户」时，产1,故函数图像经过点(-1,1)；函数图象分布在一、二象限；

当x>0时1y随x的增大而增大.故选项C不符合题意；

D时于y=—L,当4一］时，y=1,故函数图像经过点函数图象经过二、四象限；当

X

x>0时，y随x的增大而增大.故选项。符合题意；

故选：D

【点拨】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是

解答此题的关键.

4.A

【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项.

解：当犬=利时，函数值分别为必和若存在实数m,使得必+加2=0,

对丁•A选项则有加+%一i=o,由一元二次方程根的判别式可得：〃-4a=1+4=5>0,

所以存在实数，％故符合题意；

对于B选项则有加+加+1=0,由一元二次方程根的判别式可得：b2-4ac=1-4=-3<0,

所以不存在实数"7,故不符合题意；

2

对于C选项则有-工-m-1=0,化简得：m+m+l=0,由一元二次方程根的判别式可得:

m

b2-4ac=]-4=-3<0,所以不存在实数"?，故不符合题意；

对于D选项则有-,-，"+1=0,化简得：4一机+]=0,由一元二次方程根的判别式可得:

m

62-4«C=1-4=-3<0,所以不存在实数故不符合题意；

故选A.

【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握

一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键.

5.D

【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断〃、

氏C的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与X轴的另一个交点坐标为（-3,0）,从而

分别判断各选项.

解：•••抛物线开口向下，

：.a<0,

:抛物线的对称轴为直线4-1,

-^-=-1,EPb=2a,则6V0,

2a

•••抛物线与y轴交于正半轴，

•*.c>0,

则“6c>0,故A正确；

当x=-l时，y取最大值为a—6+c,故BE确；

由于开口向上，对称轴为直线k-1,

则点（1,0）关于直线A-1对称的点为（-3,0）,

即抛物线与X轴交于(1,0),(-3,0),

...当一34x41时，故C正确；

由图像可知:当4-2时，y>0,

即y=4a-2b+c>0,故D错误；

故选D.

【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数)=加+法+。(a/0),二次项系

数。决定抛物线的开口方向和大小：当”>0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次

项系数人和二次项系数”共同决定对称轴的位置：当。与人同号时,(即必>0),对称轴在y

轴左；当〃与从异号时(即疑〈0),对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：

抛物线与)■轴交于(0,c).

6.A

【分析】将二次函数y=*2+2x+2写成顶点式，进而可得对称轴.

解：y=x2+2x+2=(x+l)2+l.

・••二次函数〉=/+2》+2的图象的对称轴是》=-1.

故选A.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键.

7.(-1,4)

【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标.

解：*/y=-x1-2x+3=-(x+1)2+4,

二顶点坐标为(-1,4).

故答案为(-1.4).

【点拨】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键.

8.y=d(答案不唯一)

【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为>轴，即b=0,写出满足条件的函数解析

式即可.

解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c,

•••图象的对称轴为y轴，

h

；♦对称轴为x=———=0,

2a

.•.b=0,

•••满足条件的函数可以是：y=x'(答案不唯一)

故答案是：y=x?(答案不唯一)

【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

9.(2,-5)

【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解.

解：抛物线），=（x-l）2—5的顶点为（1,-5）,

关于），轴对称的坐标为（-1,-5）,再向右平移3个单位长度后的坐标为（2,-5）,

故答案为：（2,-5）.

【点拨】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点.

10.-

5

【分析】使抛物线y=ax?+bx+c的开口向上的条件是a>0,据此从所列5个数中找到符合此

条件的结果，再利用概率公式求解可得.

解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向

上的有3种结果，

3

，使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为g,

3

故答案为：—.

【点拨】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键.

11.%。3VM

【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3,从而得出当x<3

时，y随x的增大而增大，点（4,%）关于对称轴直线x=3的对称点为（2,丫3），然后比

较横坐标的大小即可得出结论.

解：,二次函数y=a（x-3）2+c（a,c为常数，a<0）,

该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3

...当x<3时，y随x的增大而增大，点（4,%）关于对称轴直线x=3的对称点为（2,力）

V0<2<75<3

<y3Vx

故答案为：为<为<%.

【点拨】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是

解题关键.

12.①②④

【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题.

2

解：将C（o,l）分别代入抛物线必=-x?+X+1,y2=-x+2x+\,%=-/+3x+l中，可知，

这三条抛物线都经过点C,故①正确；

抛物线X=--+欠+1的对称轴为》=--、=:，

—22

33A1

抛物线必=-/+3x+l的对称轴为x=-q=：,可由x=:向右平移1个单位而得到，

故②正确；

抛物线y=—x2+x+i=—(x——)2+?的顶点为A(；,：)

2424

抛物线为=-f+2x+1=-(x-评+2的顶点为B(1,2)

抛物线%=—丁+3%+1=—a—§)2的顶点为c(-A)

5_213_5

k-4____2k--4___4_2

AL』_1-2，AC_3_J__2

5一2~2

-Z/W。后AC

•••三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；

将y=l分别代入三条抛物线，得x=o或I,9=0或2,尢3=0或3,

可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，

综上所述，正确的是①②④，

故选：①②④.

【点拨】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难

度较易，掌握相关知识是解题关键.

13.5

【分析】由/,(X)=加+(q-5)x+1是偶函数，得。(•)2+(a-5)•(-X)+1=加+(公5)

x+l,解得4=5.

解：・.了(x)二加+(a-5)x+1是偶函数，

，对于自变量取值范围内的任意一个X,都有了(-1)=/(x),即a(-x)2+(a-5)•(-x)+l=a/+

(4-5)x+1,

(10-2a)x=0,可知10-267=0,

67=5,

故答案为：5.

【点拨】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出〃(-x)

2+(a-5)•(-x)+l=ar2+(a-5)x+1.

14.-

5

【分析】根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5,事件发生的可能结果数2,问题

即可解决.

解：从5个数中任取一个的可能结果数为5,使抛物线^=以2+灰+0,的开口向上的。值有2

2

个，分别为1和2,则所求的概率为不；

2

故答案为：—.

【点拨】本题考查了简单事件的概率的计算，二次函数的性质，求出事件总的可能结果数及

事件发生的可能结果数是关键.

15.(1)a=-3；(2)存在，P点的坐标为(-2⑶或(一1+6,—3)或(-1-夕，-3).

【分析】(1)根据求出A,B,C的坐标，再由ABAC的面积是6得到关于a的方程即可求解；

(2)根据SMBP=SM8c得到尸点的纵坐标为±3,分别代入解析式即可求解.

解：(1)Vy=-x2+(a+l)x-a,

令x=o,则y=-〃，

C(0,—a),

令y=0,即一%2+(4+1次-0=0

解得七=4，%2=1

由图象知：

・・・4(a,0),8(1,0)

^MBC=6

=6

解得：。=-3,(〃=4舍去)；

(2)・・・。=一3,

・・・C(0,3),

"S^BP=^^ABC•

・・・P点的纵坐标为±3,

把尸3代入y=-/一2工+3得一V一2工+3=3,

解得工=()或x=-2,

把丁=-3代入y=—/一2x+3得一/-2工+3=—3,

解得x=-i+>/7或x=-i-S,

・•・P点的坐标为(々3)或(_1+b,_3)或(_1_77,-3).

【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用.

1.C

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点

的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：根据题意画图如下：

AAA

o1-21-20

在-2,0,1这三个数中任取两数作为m,〃，一共有6种可能，其中取到0的有4种可能,

则顶点在坐标轴上的概率为?4=；2：

63

故选：C.

【点拨】此题考查了树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要

注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.同时考查了二次函数性质，掌握以上知识是解题的关键.

2.C

【分析】先得到抛物线y=x2-2x+4的顶点坐标为（1,3）,则把点（1,3）向左平移2个

单位，再向下平移6个单位后得到（-1,-3）.

解：•.■抛物线y=x2-2x+4=（x-1）2+3,

顶点坐标为（I,3）,

把点（1,3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（-1,-3）.

故选：C.

【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线y=a（x-k）2+h平移的问题转化为

抛物线的顶点（k,h）平移问题进行解决.

3.D

解：将点1,0）、（-1,0）、（0,4）代入到二次函数y=ar2+w+c中，

0=16。-46+ca=1

得：＜0=a-b+c解得，■6=5,所以二次函数的解析式为y=/+5x+4.

4=cc=4

因为〃=1>0,抛物线开口向上，所以A不正确：又-3=二，当时，y随x的增

2a22

大而增大，所以B不正确；因为y=x2+5x+4=（x+£|二次函数的最小值是

所以C不正确；因为-=h=-5彳，抛物线的对称轴是x=-=5,D正确.故选D.

2a22

4.D

【分析】利用对称性得到抛物线对称轴为直线x=l,根据点的坐标确定开口向下，最大值大

于4,根据二次函数的性质即可判断正确选项.

解：：抛物线y=a（x-h）2+k（a'O）经过A（机一5,0）,8（m一3,4）、C（5-机4）其中相<4,

.,.点B在点C的左边，故A错误；

.••抛物线的开口向下，对称轴为直线x=m-3；5—m=[,即a〈o,h=1,故B错误；

"."m<4,/.m—3<1,5—m>1

当x=l时，y=k>4,故C错误；

Vx=l为抛物线的对称轴，且抛物线开口向K

当x<l时，y随x的增大而增大，故D正确.

故选：D.

【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌

握二次函数的性质是解题的关键.

5.A

【分析】根据题意写出An、Bn的坐标，然后可得到从而

然后进行计算即可.

解：由题意可知An、Pn、Bn的横坐标相同,

VPn(n,0),

••Bn(n,一彳〃)，A(n—n),

2nt，

故选：A.

【点拨】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出

6.D

【分析】分两种情况:①当P点在OA上时，即04x42时；②当P点在AB上时，即2<x44

时，求出这两种情况卜.的PC长，则yuaPQOC的函数式可用x表示出来，对照选项即可

判断.

解：•••△AOB是等腰直角三角形，AB=2O,

••.OB=4.

①当P点在OA上时，即04x42时，

PC=OC=x,SAi»oc=y=yPC«OC=x2,

是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；

②当P点在AB上时，即2VxM4时,

OC=x,贝i」BC=4-x,PC=BC=4—x,

SAPOC=y=yPC«OC=^x(4-x)=-^x2+2x,

是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0.

综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定和性

质，二次函数的图象和性质，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运

动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式.

7.A

【分析】根据抛物线图象的性质和特点即可求解.

解：A.图形顶点坐标为(2,-I),对称轴为直线x=2,故A错误，符合题意；

B.抛物线开口向上，故当xV2时，y的值随x的增大而减小，正确，不符合题意；

C.y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到丫=(x-2)2-1,

故C正确，不符合题意；

D.令丫=(x-2)2-1=0,解得：x=l或3,故图象与x轴的两个交点之间的距离为2正

确，不符合题意；

故选：A.

【点拨】考核知识点：顶点式二次函数性质.掌握顶点式二次函数性质和图象特点是关键.

8.(2,3)

【分析】直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答.

解：y=x2-4x+7=（x-2）2+3

故答案为:（2,3）

【点拨】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式是

解题关键.

9.m<-1或，〃>0且

【分析】先求出点A及B、C的坐标，再分两种情况讨论：当点A、B在原点两侧时、利用

/ACB是直角求出m=-l,即可得到m<-l；当点A、B在原点同侧时，NACB始终是锐角，

得到m>0且aw1.

解：令》=（工一机）@一1）中丫=0,得到占="，x2=1,

•••点A的坐标为（m,0）,点B的坐标为（1,0）,

当x=0时，y=m,

.,.点C的坐标为（0,m）,

当点A、B在原点两侧时，如图，若/ACB=90。，

VOA=OC,

ZACO=45°,

；.NBCO=45。，

OC=OB=1,即m=-l,

...当m<-l时，NACB是锐角；

当点A、B在原点同侧时，NACB是锐角，此时m>0,

当m=l时，，抛物线与x轴只有一个交点，故

的取值范围是加<-1或〃?>0且1.

【点拨】此题考查抛物线与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，解题

中注意分类讨论是思想，避免漏解.

10.12

【分析】设点P的坐标为（x,y）,x>0,y>0,根据四边形OAPB的周长得到：

C=-2（X-2）2+12,再由二次函数的性质可得最大值.

解：设点P的坐标为（x,y）,x>0,y>0

由题意可知：四边形OAPB的周长C=OA+AP+8P+8O=2x+2y

C=2x+2（—+3x+2）=—2厂+8x+4=—2（x—2）~+12

・・・当x=2时，C有最大值12

故答案为：12.

【点拨】本题考查二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的

性质求最值是解题的关键.

II,

2

【分析】过D作DH_Ly轴于H,设B（x},ax；）,D（x2，渥）,利用相似三角形的性质求得知的

关系可得答案.

解：过D作DH，y轴于H,

则DH//OC,

MDH^AACO,

ADDHAH

,AC_OC-AO*

设B(x„ax；),D(X2),

AD_-x2_cuq-or；

...------=-------=---------—

AC-x{ax~

-)3

,,-3，

%玉

/.x；-XyX2_x；=0,

,Xj<x2<0,

1+75

x\~~2-X?，

AD一匹x,2V5-1

------=--=_―，~，

-

AC~-xt~75+1"V5+12