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文档简介
概率论与数理统计贝努里概型一、贝努里概型的定义若试验E具备以下特征:1)在相同的条件下可以进行n次重复试验;2)每次试验只有两种可能的结果,A发生或A不发生;3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=p;4)各次试验的结果是相互独立的。则称这种试验为n重贝努里试验,或n重贝努里概型。例如:
(1)一枚硬币抛n次;(2)一次抛n枚硬币;(3)从10件产品中任取一件,取后放回,然后再取,共进行n次。下页二、二项概率公式设在一次试验中,事件A发生的概率为p,即P(A)=p,那么,在n次重复试验中事件A出现k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)是多少?
设Ai={A在第i次试验中发生}(1≤i≤n),由于n次试验是相互独立的,所以A1,A2,…,An是相互独立的,且
P(Ai)=p,
(1≤i≤n)Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.显然,下页即事件A在指定的k次试验中出现,且在其余的(n-k)次试验中不出现的概率为pk(1-p)n-k。而这种指定方式共有Cnk种,且它们中的任意两种互不相容,因此,例1.有一批棉花种子,出苗率为0.67,现每穴播六粒,求解下列问题:(1)恰有k粒种子出苗的概率;(2)至少有一粒出苗的概率;
(3)要保证出苗率为98%,每穴应至少播几粒?(2)至少有一粒出苗的概率为三、贝努里概型应用举例解:(1)恰有k粒种子出苗的概率为(3)要保证出苗率为98%,只要1-Pn(0)≥0.98即可。解得,n=4。注:这里的Pn(0)表示“n粒都不出苗”事件的概率。下页例2.某车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12分钟,且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床,问这10台机床能够正常工作(即电力够用)的概率有多大?三、贝努里概型应用举例解:“电力够用”,其含义是“同一时刻开动的机床数不超过5台”,因为有不少于6台机床同时工作时,其工作就不会正常。由题意知,每台机床开动的概率1/5,不开动的概率为4/5,那么在任一时刻开动着的机床不超过5台概率为下页
作业:25-26页21;25
结束考察:事件A在5次试验中出现2次的情况,所有方式共有C52
种:这里Ai={A在第i次试验中发生}(1≤i≤5)返回§1.6全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式引入五、贝叶斯公式及其应用二、全概率公式与证明(现行教材)四、全概率公式应用下页三、全概率公式及其推导全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式问题引入引例1.设甲袋有3个白球4个红球,乙袋有1个白球2个红球,现从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取2球,求从乙袋取出2个红球的概率。引例2.设仓库中共有10箱产品,其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱,且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%,现从中任取1箱,再从该箱中任取1件产品,求取得次品的概率。小结:诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是,问题太复杂,不知该从哪里下手。问题:那么,复杂的问题能否简单化呢?这就是全概率公式的意义所在。下页设试验E的样本空间为Ω,设事件B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n.则对任意事件A,有B1B2B3Bn…ΩA证明:因为按概率的可加性及乘法公式有故二、全概率公式与证明(附:现行教科书证明)下页三个特点:①没错;②难用;③误导.设试验E由先后相继的两个试验E1,E2构成,E1的样本空间为Ω1,B1,B2,…,Bn为Ω1的一个划分,即B1∪B2∪…∪Bn=Ω1;E2是在E1发生的条件下的试验,其样本空间为Ω2。那么,对于E2的任一事件A,有三、全概率公式及其推导推导:E2的P(A),下页由条件概率公式得,从而得,[这里的P(A/Ω1),其实是全条件下的概率,这就是全概率的含义]实质上是P(A/Ω1)!关键所在!
难点所在!引例1.设甲袋有3个白球4个红球,乙袋有1个白球2个红球,现从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取2球,求从乙袋取出2个红球的概率。
E1:B1={从甲袋取出2个红球},B2={从甲袋取出2个白球},
B3={从甲袋取出1个白球1个红球},
E2:A={从乙袋取出2个红球}.四、全概率公式应用例1.设甲袋有3个白球4个红球,乙袋有1个白球2个红球,现从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取2球,求从乙袋取出2个红球的概率.解:设B1={从甲袋取出2个红球},
B2={从甲袋取出2个白球},
B3={从甲袋取出1个白球1个红球},A={从乙袋取出2个红球}.显然,B1,B2,B3两两互斥,是对从甲袋中取球试验E1样本空间的一个划分,A是从乙袋中取球试验E2的一个事件,所以由全概率公式得下页注意两点:①解题逻辑;②Ω1≠Ω.例2.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,问是合格品的概率为多少?解:令Bi={零件为第i台机床加工的}(i=1,2),
A={取到的零件为合格品}.此时,把取哪台机床生产的产品的试验认为是E1,检查质量的试验认为是E2(人为分为先后相继的两个试验来考虑),显然,B1,B2是E1样本空间的一个划分,由全概率公式得四、全概率公式应用下页例3.某人去某地,乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0,求他迟到的概率.解:设B1={乘火车来},
B2={乘轮船来},
B3={乘汽车来},
B4={乘飞机来},
A={迟到}.易见,B1∪B2∪B3∪B4=Ω1,由全概率公式得=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.145下页解题要点:一般情况下,给出主要步骤即可.四、全概率公式应用例4.设袋中有12个乒乓球,9个新球,3个旧球.第一次比赛取3球,比赛后放回;第二次比赛再任取3球,求第二次比赛取得3个新球的概率.解:Bi={第一次比赛恰取出i个新球}(i=0,1,2,3)
A={求第二次比赛取得3个新球}.显然B0∪B1∪B2∪B3为必然事件,由全概率公式得下页四、全概率公式应用五、贝叶斯公式及其应用引例.设仓库中共有10箱产品,其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱,且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%,现从中任取1箱,再从该箱中任取1件产品,若取得的产品为次品,问该产品是甲厂生产的概率是多少?说明:本例不是求取得的产品为正品、次品问题,
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