平面几何中的向量方法25

2.5.1平面几何中的向量方法教材分析本节内容是数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例的第一课时.本节课是在学习了向量的线性运算及向量数量积的基础上进行的，是对前面学习内容的延续与拓展；本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。对于向量方法，就思路而言，向量方法与平面几何中的解析法是一致的，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.同时本节课也是对向量相关知识的进一步巩固、应用，加深对向量相关知识的理解，深化学生对向量的理解，培养学生数学实际应用的能力.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解利用向量方法解决平面几何中的平行、全等、相似、长度、夹角等问题.教学目标重点:用向量知识解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.难点：选择恰当的方法，将几何问题化归为向量问题.知识点：平面几何中的向量方法；通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系能力点：掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；通过经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，体会向量处理几何问题的优越性；发展学生的运算能力、推理论证能力和解决实际问题的能力.教育点：让学生亲身经历问题相互转化的过程，体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识和学习热情；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、互相合作的精神.自主探究点：通过向量线性运算与向量数量积的几何背景，探究解决几何元素间的关系，如平行、距离、夹角等问题的方法与步骤.考试点：平面几何中的向量方法.拓展点：通过课后思考探究直线的有关问题和函数的最值问题.教具准备多媒体课件、三角板课堂模式学案导学一、引入新课1、知识回顾：问题1：请同学们完成下列表格（向量的加、减法运算及其几何意义）？问题2：向量数量积的概念，利用它可以进行哪些量的计算？问题3：如何判断两个向量的平行、垂直？

【师生活动】师：展示课件、提出问题.生：思考并完成问题・1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的三角形法则加法三角形法则加法平行四边形法则减法三角形法则图形表示A_ a坯C0. a —AEcB C—C语言表述已知非零向量与，在平面内任取一点，作AB=a，BC=b，则ACw+b在平面内任取点，作0A—a，0B—b，以，0B为邹边作^OACB，则0C=a+b.在平面内任取一点，作0A=a，0B—b，贝ijBA—a-b—,特点一首尾相接，首尾连相同起点同起点，连终点，方向指向被减向量2.向量的数量积：a^b=1a日bIcos0向量的模：\a\=向量的模：\a\=ta#=\：'x2+y2夹角公式cos0=xx+yy, 12——12 -;'x2+y2•；x2+y2'1 1 "2 23.向量平行与垂直的判定:a//b=xy一xy=0a±b=xx+yy=03.向量平行与垂直的判定:12 21 12 12【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点，更为学生自主探究铺平道路.师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.【设计意图】在开课之初就让学生明确本节课所要研究的内容，让学生带着问题去学习，引发学生探究新知识的欲望.二、探究新知【师生活动】师生共同回忆勾股定理的平面几何证明方法.

师：展示赵爽弦图和欧几里德证法，进而提出问题：还能用更简单的方法证明吗？师：勾股定理就是要研究三角形三条边长度之间的关系，而涉及长度问题，我们常常要考虑向量中哪些知识？生：思考、交流、形成一致认识.向量的模就是相应线段的长度，要考虑向量的数量积.师：怎样将线段变为向量？也就是说怎样把这个几何问题转化为向量问题？生：思考、讨论.(多数学生能用向量方法证明勾股定理)设AB=a，AC=b，则CB=a-b. □——：——'所以|cb|2=CB2=(a—b)2=a2—2a^+b2.因为alb，所以a[f=0.所以CB2=CB2=(a—b)2=a2—2a@+b2=a2+b2=AB2+AC2TOC\o"1-5"\h\z即BC2-=AB^^AC2. —―.师：我们把直角三角形演变成矩形，你能发现矩形中四条边与两条对角线 /的关系吗？生：独立思考、小组交流，得出结论，代表回答.类比“勾股定理”容易R C得到：“矩形的两对角线长度的平方和等于两邻边平方和的二倍”.即即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2.师：如果不小心把矩形碰歪了，变成了平行四边形，这个结论还成立吗？生：思考交流，得到猜想结论.例1证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.r5【设计意图】学生借助于勾股定理，对直角三角形和矩形中边与边之间的长度关系有较直观的认识、较容易理解；以此为基础支持，在具体、直观的问题中观察、类比、体验，得到猜想，为重难点的突破奠定基础；并由此进入例1的讨论. ，: 方例1证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.r5师：你能证明猜想结论的正确性吗？生：思考、小组交流，探究问题的答案，并板书展示探究过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案.证明：设设AB=a，AD=b，则DC=a，BC=b，AC=a+b，DB=a-b.所以IABI=IDCL=lai，IADI=IBCI=也L—» —» —»

2a^+b,|D5|2=DB2=(a-b)2=a-2^^^+b^.)=2(2a^+b,|D5|2=DB2=(a-b)2=a-2^^^+b^.)=2(a2+b2)；所以|AC|2+】DB『=AC2+DB2=」2+2a,+b^!+L-2af+b2IAB|2+1BC21+LDC|2+UD|2=2(a2+b2).所以|ac|L+|DB^=IAB|2+IBC2I+ICD|2+IDA|2,即AC2+BD^=AB2-+BC^+CDr+DA^.所以平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.【设计意图】培养学生反思、总结的习惯；通过动手操作让学生进行独立的探究学习，提高学生向量运算能力和推理论证能力.【师生活动】师：如果不用向量方法，你能证明上述关系吗？生：思考、交流.(予以简单提示：作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理、全等三角形等知识)师生共同完善演绎推理过程.师：将上述方法与向量方法比较，我们会发现：利用向量法可以把一个思维过程变成了一个算法过程，从而降低了思维难度.那么利用向量法解决问题的关键是什么？生：思考回答；选取基底，将几何问题转化为向量问题.师：回顾解题过程，你能总结向量方法解决几何问题的步骤吗？生：独立思考，小组讨论交流.师生共同总结用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.【设计意图】通过教师提问，学生分析讨论，层层深入地进入问题的探究，让学生在自主合作探究中理解向量方法解决几何问题的方法与步骤.而且衔接自然，能够使学生对比地得出两种方法的特点，通过学生自己总结解题方法，使学生对向量方法解决平面几何问题有较深刻的印象【师生活动】师：我们知道，向量也可以进行坐标运算，本题能否建立适当直角坐标系利用向量的坐标运算进行证明呢？生：思考，动手操作，并交流探究过程.师：巡视课堂，对学生探究过程出现的问题和面对的困难进行个别辅导，并展示完成较好的学生的答案.

证明：设B(^,0),D(b,c)，则C(q+b,c).所以AB=(a,0),AD=(b,c),AC=(a+b,c),DB=(a-b,-c).顼以IABdAD\=Jb2+c2,|ACf(a十b)+c2,|DBI=.：(a-b)2+c2.所以AB+BC』CD2+DA2=2(tABI2+IADI2)=2(a2+b2+c2)AC2+BD2=IACI2+IDBI2=2(a甘b2+°所以AC2+BD2^AB2+BC2+CD2+DA2,艮"平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.【设计意图】比较是最好的学习方法.第二种方法与第一种方法有所不同，但其本质是一致的，通过引导学生仔细体会，比较两种方法的异同，找出其内在的联系，以达融会贯通，灵活运用之功效.并为解决本节课的重难点问题作铺垫，便于知识水到渠成的向前发展.三、 理解新知【师生活动】回顾问题的探究过程，向量方法解决平面几何问题共分为几步？向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.形到向量| 4向量的运算| 向量和数到疚利用向量方法解决平面几何问题的关键一步是什么？关键步骤是：用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.将平面几何问题转化为向量问题的思路有几种？第一种：选取恰当的基底，利用基向量法；第二种：建立适当的平面直角坐标系，利用坐标法.【设计意图】巩固新知，总结解题方法，加深对向量方法解决平面几何问题的认识与理解，为准确地运用新知作必要的铺垫.四、 运用新知例1已知直角三角形的两直角边长分别为2和4,求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值.【师生活动】A师：展示课件，提出问题. k

生：思考问题，并表述自己的思路.师生共同分析、共同完善，最后教师课件展示证明过程.证明：如图所示，BC=2,AC=4,ZACB=90。，则CD=1,CE=2.所以|ad|=JAC2+CD2=而，\bE=】BC2+CE2=2^2.=A^C+AC^B+CD^C+CDfB=10=A^C+AC^B+CD^C+CDfB=10^设AD与EB的夹角为,Fcos^=|^9^?=^^^ =^^34.>|AD\e^V17X2很34所商直角边上的中线所夹的锐角的余弦值为二<34.34师：除了基向量法，还有其它方法吗？生：思考交流，提出解决问题的方法一一利用向量的坐标法进行证明；学生板书展示.教：巡视课堂，关注学生的解答过程，进行个别指导.最后课件展示详细步骤，学生校对答案，并反思总结.【设计意图】校对答案，题后反思，可以加深学生对知识的理解，构建自己的解题思维过程.证法二：建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,4),B(2,0),D(1,0),E(0,2).则AD=(1,-4)，EB=(2,-2).所以AD产B=1x2+(-4)x(-2)=10，|AD|日上(-4)2=而，|bE=,、•;，22+(-2)2=2/2.ADE设AD与EB的夹角为，^ijcos9=——□—ADEB所以两直角边上的中线所夹的锐角峰弦值为京京.【设计意图】直接应用，内化新知，提高学生分析问题、解决问题的能力®过本例让学生体会两种方法的联系与区别，及其适用题型；灵活的构想一题多变，数形结合思想得到充分体现例2如图，口ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？【师生活动】师：充分利用多媒体，作出上述图形，测量、展示AR、RT、TC的长度，引导学生观察三者的关系.生：仔细观察图形，发现AR=RT=TC.

师：继续演示，拖动平行四边形的顶点；又有什么结论呢？生：通过数据对比发现，AR=RT=TC仍然成立.师生共同总结，得出猜想结论，AR=RT=TC.【设计意图】为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，师：由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系.只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.AR、RT、TC、AC怎样的位置关系呢？生：思考易答，AR、RT、TC、AC共线.师：怎样用向量的知识刻画共线问题？生：只需判断AD,AR,AT与AC共线即可. \师：如何将几何问题转化为向量问题？步骤是什么呢？生：向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： -建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.师：请同学们沿此思路思考解决问题.生：自主思考、探究・让学生发表自己的思考探究过程.师：适时引导，分别从两个角度表示AR、TC；如：(1)AR=nAC，(2)AR=AE+ER.解：设AB=a，AD=b，则AC=_o±b. _.由于AR与AC共线，所以可设AR=n(a+b)，neR.1又因为=AB—AE=a——b，与共线，所以可设=mEB^m(a—；b).因为aR=AE-^ER，1 1一m所以n(a+b)二一b+m(a一一b)，即(n一m)a+( +n)b=0.2 ' 2由于向量a由于向量a，b不共线，要使上式成立，必须〈n一m=0,n+号=O-解得m=n=1.所以AR=1AC.

「 17同理=AC.于是RT=1aC.所以AR=RT=TC.【设计意图】通过本题让学生体会利用向量的几何运算解决问题的关键是如何选择恰当的基底，原则上讲，只要选择不共线的两个非零向量即可作为基底，但实际上基底的选择将直接影响证明的难易.恰当的选择基底需要较多的实践.五、 课堂小结教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？(引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结)学生总结：1.知识点：向量方法解决平面几何问题的“三步曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.思想方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的转化化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点.教师展示课件并作强调.【设计意图】让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识；提高学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理；最后教师用课件展示小结内容并进行重点强调，使学生印象深刻六、 布置作业1.书面作业必做题：习题2.5A组1，2.选做题：1.在AABC中，若^CA+CB^^A-CB)=0，则AABC为( )A.正三角形 一：87虹角彩 C.等腰三角形D.无法确定已知：如图AD,BE,CF是AABC的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点.在平面直角坐标系中，已知点A(—1，—2)，B(2，3)，C(—2，—1)求以线段ab、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；设实数满足^AB-tOC^C=0，求的值.

答案：1.C.2.证明：设与CF交于点，且AB=b,AC=c,AH=h，则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-bBH1AC,CH1AB,:.(h-b^c=。，(五-c)"=0.即h^c即h^c-b)=0.AH1BC.AH与AD重合.AH与AD重合.AD,BE、CF交于一点.3.(1)4瑚'2,2・\；可；(2)t=-112.课外思考思考1：如图，在RtAABC中，已知BC=a，若长