从单元到课时设计策略下的案例分析总体离散程度的估计专题课件-高一下学期数学人教A版

从单元到课时设计策略下的案例分析

——总体离散程度的估计前言

近几年，核心素养一直是教育界的热门话题，教育工作者正在努力地让核心素养落地落实。《新课标》在教学设计和具体实施方面提出了促进学生发展的相关教学建议，落实这些建议的重点是实施主题教学，即提倡整体教学观，从整体把握教学内容、整体设计和实施教学，进行单元设计与教学，促进核心素养连续性和阶段性发展。随着人们对单元教学的研究越来越多，单元教学也达到了前所未有的热度，纷纷提出了对单元教学的看法与建议，例如章建跃博士的“单元——课时教学设计”。前言进行单元教学设计及单元教学，对于教师和学生的发展都有好处。对于学生而言，单元教学能够为他们提供更大的学习空间，在此期间养成探究与合作的习惯，更有利于数学学科核心素养连续性与阶段性发展；对于教师而言，单元教学让教师们从“单元”角度去整体制定教学目标，考虑教学内容，再具体落实到每一节课上，有助于教师提高整体把握数学课程与教学的能力，促进教师们的专业发展。前言章建跃博士强调主题、单元教学是作为此次课改的重点之一的，教师应该尤其重视，应该充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性和思维的系统性，避免碎片化教学，使数学学科核心素养真正落实于数学课堂，可以在单元教学设计的基础上再进行课时设计，并以“平面向量的运算”为例给出了示范。单元设计策略教学设计策略是为完成教学目标和促进学生发展的需要，为教学计划和教学实施措施等提供方法，侧重于某一个或某些教学设计的方向，是教师在进行教学设计时，为在教学过程中达到一定的教学目标而采取的相关教学方式和行为的导向，对教学设计具有一定的指导性。教学设计的策略有很多，主要有以发展核心素养为导向的策略、数学单元教学导向策略、情境式教学设计策略、问题启发式教学设计策略、逆向教学设计策略与信息技术和教学相融合教学设计策略等。单元设计策略一、数学单元教学导向策略数学教学活动要求：应该把握数学内容的本质，特别是对内容所蕴含的数学思想和方法要有深入理解。围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，促使学生在独立思考的过程中形成数学的思维方式。要突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出数学基本思想的领悟过程，突出数学基本活动经验的积累过程。章建跃博士提出：理解数学的两个关键：要对数学的整体性和一些具有统摄性的“一般观念”，同一主题内容中体现的数学整体性，主要包括一个内容不同认识层次、不同角度认识之间内在的一致性、关联性。单元设计策略本次课改重点强调的单元——课时教学正是建立在这两个关键点的基础上。单元-课时教学设计是指，在课堂教学前要先进行单元教学设计,对本单元内容及其蕴含的数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元的主要学习难点等作出全面分析。再将本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程分解到课时，同时将相应的单元目标分解为课时目标．单元设计策略二、核心素养发展导向策略新课标中一项非常重要的变化就是增加了学科核心素养，这是学生应该通过数学学习和应用逐渐形成的数学关键思想和能力，是高度概括化的数学教学目标。学生在学习统计课程的过程中，主要可以发展数据分析、逻辑推理、数学运算和数学建模核心素养。单元设计策略三、情境式教学设计策略情境式教学设计将数学学习与生活情境相结合，在典型的情境中进行教学，学生在学习的过程中认识到数学产生于生活也应用于生活，激发学习兴趣、情绪和代入感。统计的情境往往比较复杂，可以在复杂的真实情境中，将实际问题抽象成统计问题，学习统计分析方法，建立统计模型，从而解决实际问题。数学学科的育人价值蕴含在数学内容之中。其实现途径：以数学知识技能为载体，创设符合学生认知规律的问题情境，引导学生独立思考、自主探究、合作交流，在获得“四基”、提高“四能”的过程中，形成数学的思维方法，培养理性思维和科学精神，促进学生的智力发展。单元设计策略四、问题启发式教学设计策略章建跃博士讲，探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学的力度不够，方法不多；课堂教学效率有待提高，学生自主学习能力有待加强。而问题启发式教学设计的内涵：教师通过精心准备的问题或问题串进行启发式教学，结合学生的实际情况，并捕捉恰当的启发时机，引导学生主动探索与发现，调动积极的思维活动，培养学生的自觉性和创造性思维的意识，发展独立思考和合作学习相结合的能力。数学教学中的启发式教学，旨在追求让学生能自觉、主动地思考和探索，并培养学生发展自身和追求进步的强烈要求和迫切愿望。一、内容和内容解析1．内容：极差、方差和标准差的概念和统计含义，总体方差或标准差的估计。2．内容解析：内容的本质：在统计学中，为了了解一组数据的特征，我们可以从这组数据的取值规律、集中趋势和离散程度等角度进行研究。一组数据的离散程度可以反应这组数据的波动情况或稳定性。刻画一组数据离散程度的统计量有很多，但是最常用的是极差、方差和标准差。

一、内容和内容解析本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《9.2.4总体离散程度的估计》，本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。从而发展学生的数学运算、数据分析、逻辑推理、数学建模的核心素养。一、内容和内容解析

极差是一种比较简单的刻画方式，它反应了一组数据的取值范围。极差只用了这组数据中最大与最小两个数据的信息，对其他数据的取值范围没有涉及，所以极差包含的信息量非常少；方差是运用平均距离的思想来刻画一组数据的离散程度，它反应了各个数据聚集于平均数周围的程度。方差越大，表明该组数据在平均数的周围越分散；方差越小，表明该组数据越集中；方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，所以，对方差进行开方，取其算术平方根得到标准差。标准差的单位与原始数据的单位相同，其意义与方差一样。一、内容和内容解析假设有两组数据，而且已知每组数据的观测个数、平均数和标准差（或方差），可以通过它们直接计算两组数据合并后全部数据的方差，从而大大提高计算效率。如果一组数据是总体中全部个体的观测值，那么这组数据的方差、标准差和极差就称为总体的方差、标准差和极差。如果这组数据是样本观测值，那么这组数据的方差、标准差和极差就是样本的方差、标准差和极差。与用样本均值估计总体均值的思想类似，可以用样本方差、标准差和极差估计总体的方差、标准差和极差。一、内容和内容解析蕴含的思想和方法：通过类比的方法，与用样本均值估计总体均值的思想类似，可以用样本方差、标准差和极差估计总体的方差、标准差和极差；

数据分析是统计的核心，通过“差”、“绝对值”、“平方”三种运算对两个样本数据进行分析，体验方差概念的形成过程，以及用样本的数字特征去估计总体的统计思想。在本课时的设计中，笔者对“方差”概念的形成引入了一个连“平均距离”都相等的例子，目的是想突出知识与概念的生成过程；一、内容和内容解析蕴含的思想和方法：本节内容主要是以随机样本的数字特征（极差、方差标准差）去估计总体对应的数字特征或取值规律，基本思想是替代原理，直觉上学生是比较容易接受的，这个定理保证随着样本量的增加，随机样本的数据特征趋近总体的数据特征；本节内容在发展学生的数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算以及数学分析等核心素养方面有着重要的作用，尤其是在发展数据分析素养上有着不可替代的作用。一、内容和内容解析蕴含的思想和方法：本课时设计了“3个问题”、“16个追问”、“10次师生活动”，其中多数都是对数据的分析。而“用样本的极差、方差与标准差估计总体的极差、方差、标准差”本身就是一种典型的建模思想。在“用两组样本数据去估计合成后数据”的过程需要学生由较强的数学运算能力，也能培养学生的运算素养等。我们对统计的考查研究也可以发现：统计推断不仅是计算统计量的大小，更重要的是要会对计算得出的样本的数字特征去对总体进行估计，能通过对数据的分析为合理决策提供一些依据，考查样本估计总体的统计思想。一、内容和内容解析

数学建模：在具体情境中运用极差、方差与标准差

逻辑推理：运用极差、方差与标准差进行推断

数学运算：极差、方差与标准差的计算

数据分析：运用极差、方差与标准差分析判断

知识的上下位关系：抽样方法、统计图表，用平均数、中位数、众数、百分位数等统计量刻画集中趋势是本节课的上位知识。本节内容在此基础上，提供了一种更加科学而有效的方法，克服了前述统计量的弊端，是本单元内容的高潮与结束。而借助具体情境求离散型随机变量的期望与方差是下位知识，在“选择性必修第三册第七章“7.3”中介绍。一、内容和内容解析一、内容和内容解析3.教学重点理解离散程度参数的统计意义，用样本的数字特征估计总体的数字特征；已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，求两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想。4.教学难点①“平均距离”与“方差”概念的形成过程；②已知分层抽样中的各层平均数与方差估计总体平均数与方差的统计意识与方法。二、教学目标和目标解析1.教学目标①通过经历对两组数据众数、中位数、平均数、极差的运算过程，能根据这些统计量做出基本的判断，同时针对具体情境学会提出新的问题，发展学生“提出问题并解决问题”的能力，体会将“平均距离”演变成“方差”刻画离散程度的方法，在众数、中位数、平均数都相同时，求样本数据与平均数的差，甚至连“平均距离”都相同时，会比较绝对值和平方这两种运算刻画离散程度的优势。②结合“问题一”与“练习”两个实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义，感二、教学目标和目标解析1.教学目标受并概括出用样本的数据特征估计总体离散程度的方法，培养“用样本估计总体”的统计推断思想。③经历两组数据各自的样本量、平均数和标准差（方差）计算两组数据合并后所有数据的平均数和标准差（方差）的过程，能用样本数据的方差和标准差估计总体的方差和标准差，体会分层随机抽样在总体样本估计中的重要意义，发展由分层随机抽样得出的多组样本数据估计总体的能力，培养数学运算能力。二、教学目标和目标解析2.目标解析达成上述目标的标志是：①知道极差、方差、标准差可以刻画数据离散程度，反应数据的稳定性；能用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较和评价；能用平均数和标准差描述数据的取值范围；知道多数数据在平均数减去两倍标准差与平均数加上两倍标准差的范围内。②对于通过实验、简单随机抽样等途径获得的样本数据，会计算样本方差和标准差；对于两组数据汇总得到的数据，能通过两组数据各自的样本量、平均数和标准差（方差）计算两组数据合并后所有数据的平二、教学目标和目标解析2.目标解析均数和标准差（方差）。能用样本数据的方差和标准差估计总体的方差和标准差，在这个过程中体会样本估计总体的思想。学生在初中阶段经历了收集、整理、描述和分析数据的活动，理解了平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数、方差、标准差，了解中位数、众数、平均数等统计量描述数据集中优势，知道了可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差，体会方差刻画数据离散程度。二、教学目标和目标解析2.目标解析在高一，通过学习第一节“随机抽样”与第二节“用样本估计总体”之“总体取值规律的统计”、“总体百分位数的估计”与“总体集中趋势的估计”，学生已经进一步学习数据收集和整理的方法；能够根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述；能合理地使用统计图表并理解其重要性；能用极差、平均数、中位数、众数、百分位数等样本数字特征去估计总体的集中趋势。通过初、高中统计的学习，学生已经一定的统计基础，掌握了基本抽样方法，会计算平均数、中位数、众数、百分位数、方差、标准差等二、教学目标和目标解析2.目标解析相关样本的数字特征。但要达成本课时的三个目标，还需解决以下问题：

（1）样本数据处理时为什么用“平方”而不是用“绝对值”？（2）方差计算时为什么要取平均数？（3）有了方差为什么还要引进标准差？这一系列问题都需要学生去经历和探索，而不是停留在求方差、标准差的计算上。教师需要创设条件，拉长“平均距离”与“方差”概念的形成过程，真正让学生“知其然知其所以然”，激活学生思维，培养学生“用样本的数字特征去估计总体的数字特征”的意识。三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成章建跃博士说：没有“过程”=没有“思想”，没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识，联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。而数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是培养数学能力的土壤。所以，概念教学非常重要，而概念教学的核心是“概括”：将凝结在数学概念教学中的思维活动，以若干典型具体事三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲情境、讲思想、讲应用”。概念教学则要强调让学生经历概括的过程。一个好例子胜过一千条说教。概念教学必须关注到学生的感受，这样才能使教学预设（教学设计）成为教学实践的有效线索。笔者在进行教材分析时发现：前几节课我们用平均数、中位数和众数研究一组数据的集中趋势，根据对这些上位内容的学习，学生已经具备“极差、众数、中位数、平均数这些统计量在统计推断中的作用”认三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成识，并根据这些统计量做出基本的统计推断的能力基础，但在诸多实际问题中，仅凭集中趋势有时不能使我们做出有效决策，这时我们需要引进统计学中新的数字特征来做出决策，在有些“用样本估计总体”案例中，两组数据甚至连“平均距离”也是一致的，其实用“平均距离”也不足以刻画总体估计。而教材这样叙述：因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成假设一组数据是，用表示这组数据的平均数。我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即作为到的“距离”，可以得到这组数据的平均距离为，为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即我们称这个式子为这组数据的方差。教材这样叙述，表明：“平均距离”能够完成刻画两组数据的离散程度，仅仅是“为了避免式中含有绝对值”而“改用平方来代替”。其实当“平均距离”相等时，两组数据的离散程度也不一定一样，上面两三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成组数据的“平均距离”分别为1.6和0.8。我们可以构造下列两组数据：甲：32465乙：14447可以计算得出两组数据的平均距离都是1.2，而方差却分别是2和3.6。可见，甲、乙两组数据的“平均距离”相等，但乙组数据的离散程度比甲大，反之，方差小，这组数据的“平均距离”未必也小。教材定义“平均距离”是必要的，但“为了避免式中含有绝对值”而“改用平方三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成来代替”形成方差公式，其实这里我们可以探究一下深层次原因。“平均距离”至是影响方差的一个因素，还有一个因素是各个“距离”与“平均距离”的集中程度。从另一个角度来讲，对于“总体离散程度的估计”，《普通高中数学课程标准》（2019年7月第1版）的要求是结合实例，能用样本估计总体的离散程度（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义。由于人教版《义务教育教科书·数学》在“数据的波动程度”内容中，直接告诉“方差”公式刻画数据的波动程度，至于为什么能用“方差”三、教学问题诊断分析（一）概念教学重在生成刻画数据的波动程度，也就是如何“理解离散程度参数的统计含义”，则是高中阶段应该解决的问题，也是对初中“统计”内容的扩展和深化，体现“认识的螺旋上升”。所以，在进行本课时教学设计时，我遵循由特殊到一般的思想，引入了“问题一”这两组情境数据，我觉得可以有效、更好地帮助对“方差”概念形成的理解，更好明白“方差”在统计中的含义。三、教学问题诊断分析（二）突破数学运算障碍在大数据时代，有时需要将不同来源的数据进行整合，针对数据多，计算量大的实际问题，可以采用分步计算的方法，先分别处理不同来源的数据，再计算所有数据的统计结果。在分层随机抽样中，每层得到的调查数据作为一个组，学生已经学习了已知每组数据的均值和样本量，计算两组数据合并后所有数据总均值的方法——加权平均，但总方差的计算需要知道每组数据的个数、平均数和标准差。在推导总方差的计算公式时，需要用符号对样本进行表示，通过代数变形进行推导，其过程比较复杂。学生在初中仅会计算简单数据的方差，对这类问题未曾接触，三、教学问题诊断分析（二）突破数学运算障碍同时学生对大量复杂的数学符号存在认知障碍，即使是计算能力强的学生也会觉得困难，所以可以通过课前预习、师生共同经历、学生课后反思等方式结合教学。同时在教学过程中，教师应该尽量多用语言（符号代表的统计意义）对公式的含义进行解释，帮助学生逐步适应复杂的数学符号。基于以上分析,笔者将本节课的教学重点设计为：理解离散程度参数的统计意义，用样本的数字特征估计总体的数字特征；三、教学问题诊断分析（二）突破数学运算障碍已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想。将教学难点设计为：“平均距离”与“方差”概念的形成过程；已知分层抽样中的各层平均数与方差估计总体平均数与方差的统计意识与方法。本课时教学设计遵循从特殊到一般，从局部到整体的原则,以问题驱动教学,问题设置层层深入,首先引入人教版第209页“问题3”的改三、教学问题诊断分析（二）突破数学运算障碍编题，通过“平均距离”也不能刻画数据离散程度，引导学生思考“当利用平均距离不能刻画数据离散程度时怎么办”,从而攻克“利用方差来解决数据离散程度的刻画”这个难点。而课本的“问题三”只是作为一道练习题让学生巩固，突出与强调“概念”的生成过程。再由师生一起推导人教版第212页例6中方差，展示有问题的学生作业,启发学生探讨“已知两组数据的观测个数、平均数和方差时，求两组数据合并后所有数据的平均数和方差”的计算方法。教师总结提炼，升华本节课所学内容。四、教学支持条件分析本节课需要运用计算器或计算机软件计算方差，应尽量让学生学会使用统计软件进行计算。为了有效实现教学目标，针对问题诊断分析的结果，笔者对教材第209页“问题三”进行了改编，拉长“平均距离”与“方差”概念的形成过程五、教学过程设计（一）极差、方差和标准差的概念引言：同学们，平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据“中心位置”的重要信息，可以描述一组数据的集中趋势，但是，有时仅仅知道“中心位置”不足以让我们做出有效的决策，我们需要借助统计学中另外的数字特征来做出决策，请看下面的案例。5.1融入情境，体验“平均距离”教师活动：前几节课我们用平均数、中位数和众数研究一组数据的集中趋势，但仅凭集中趋势有时不能使我们做出有效决策，下面来看两位射手射靶10次的数据。五、教学过程设计问题一：有两位射击运动员在一次射击实验中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：8686767688乙：9578768677追问1：如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？要从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛？你应当如何选择？设计意图：回顾旧知识，开门见山地抛出问题。此题是人教A版教材《数学》（必修第二册）第209页问题3的改编题，乙选手的数据和教材中的一模一样，甲选手的数据略有变动，变动的目的是保证甲、乙“平均距五、教学过程设计五、教学过程设计学生1：看最高的环数，乙最高9环，选择乙。学生2：不行，国际比赛不只是射击一次，资格赛就射击60发，应该求平均数。教师活动：学生2不仅分析合理，而且还懂国际设计比赛规则，知识面广，值得表扬。好的，接下来我们一起求一下平均数。（稍等一会，让学生求出平均数，等大家都求出平均数为7，教师追问）追问2：我们求出平均数，发现甲和乙的平均数都是7，大家再看看甲、乙的中数，也是7，又该如何选择？学生3：从数据看，用平均数、中数来做选择也是不可取的，因为甲乙平五、教学过程设计均环数、中数都相同。甲的众数是8，乙的众数是7，可以由众数这个统计量作为决策依据，选甲。追问3：用众数作为决策依据，是否合理？甲组数据中有四个8，而乙组数据中有两个8、一个9,7比甲组更多，是否真的选甲更好？学生4：但两人的水平还是有差距的。甲最多8环，最少6环，波动较小，而乙最多9环，最少5环，波动较大。因此甲比较稳定，应该选甲。追问4：由最大值、最小值来做决策，有没有不足，是否科学？学生5：我有意见。我觉得不能仅凭最大值、最小值来做出决定，应该考虑甲、乙两组数据的稳定性才好。五、教学过程设计追问5：学生5的回答很好。因为极差是数据的最大值与最小值的差，固然可以反应数据的波动范围。在一定程度上，极差越大，数据的离散程度越大，极差越小，数据的离散程度越小，但是极差只关系到数据中的最大值与最小值，对其他的数据都没有涉及，所以包含的信息量很少。那么用什么来衡量数据的稳定性呢？学生6：哦，应该用方差！设计意图：复习旧知识，产生新问题。首先要说明的是，课堂是灵动的，但是环节是可以预设的。我们预设学生可能由平均数、极差、中位数、众数等统计量进行统计推断，而且也是学生已经学会的方法，针对学生五、教学过程设计课堂上即时产生的决策依据，教师可以引导学生进行分析，尤其是统计推断的科学性。这里应当结合课堂实际情况，捕捉恰当启发时机，调动积极的思维活动，培养学生自觉性和创造性思维意识，发展独立思考和合作学习相结合的能力。本题虽然众数不同，是否可以作为统计量，此处虽有存疑，后面练习题中呼应回答。面对特殊情境问题，原有的统计推断方法与思想已经不够，产生了新问题，引领学生思维往深里走，培养学生发散性思维。结合初中知识，学生自然会想到用方差进行比较。但是为什么可以用“方差”呢，为什么要求每个数据与平均数的差的平方呢？为下面解决“知其然知其所以然”的问题做铺垫。五、教学过程设计师生活动：下面我们来求每次的环数与平均数的差，再看看这个差是怎么分布的：甲：1-11-10-10-111乙：2-2010-11-100追问6：我们发现：甲、乙所有数据与平均数的差的和都是0，与平均数是7吻合。哎，又相同了，还是不行？怎么办？学生7：甲、乙所有数据与平均数的差的和都是0，平均数也是7，所以可以尝试考虑差的绝对值，对应的差的绝对值如下：五、教学过程设计甲：1111010111乙：2201011100我发现差的绝对值的和都是8，凭感觉应该选择甲。设计意图：这里可以预估学生：首先，因为要在甲、乙之间做出选择，平均数、极差都已经不能达到目的，根据之前所学内容，做出决策，其实已经归结到“方差”这个统计量，也就是需要考查数据的离散程度，所以自然联想到数据与平均数的差的角度。其次，甲、乙各个数据与平均数的差的和也都是0，想到用距离来刻画也就比较自然了，即差的绝对值，步步为营，逐步走向端倪。五、教学过程设计学生8：对于甲、乙射击次数相同可以用绝对值之和来考虑，但是如果两人次数不同呢？那就不能用绝对值之和来比较了，否则有失公平，最好计算绝对值之和的平均数。但是这两组数据的绝对值之和的平均数也相等，所以，我想能不能尝试用折线图进行比较，如图1，从图像可以看出，甲整体波动较小，所以选择甲。教师活动：到这个时候，用代数的方法来做决策，好像进入死胡同了，有学生想到了用“折线图”之类的。五、教学过程设计设计意图：问题逐渐深入。这里实际上用到了“平均偏差”这个统计量，就是每个数据与平均数的差的绝对值的平均数，即，让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点。但是，这时，学生又遇到困惑了：对于这两组数据来说，首先是甲、乙所有数据与平均数的差的和都相等，且为0，连差的绝对值的和也相等，那如何比较甲、乙优劣？所以，有同学可能又会回到原来的一些统计推断方法，例如“折线图”。但无疑又为“方差”的诞生设下了伏笔，同时保持一种探求新知的渴望！五、教学过程设计5.2对话学生，感受“离散程度”追问7：学生8说得很好，用绝对值平均数这个量来刻画数据离散是比较科学的，在统计学中这个量成为“平均距离”，但是对这个题而言，仍然比较特殊（平均距离相等），而且从图1中看，离散程度也不是很明显，我们能否再尝试其他运算？学生9：用平方拉大距离，把每组的差进行平方，然后再求平均数。甲：1111010111乙：4401011100甲选手的数据平方之后，再取平均数是0.8，乙选手数据平方之后的平均五、教学过程设计数为1.2，明显乙对应的值大，说明乙偏离平衡位置多，波动大，所以选择甲，如图2。追问8：你能说说为什么此题用平方更能形象地刻画两组数据的离散程度吗？学生10：因为每组数据与平均数的差的绝对值都大于等于1，所以离平均数越远的点平方越大，权重自然越大，但是，若每组数据与平均数的差的绝对值都是小于1，平方后越小，权重越小，对于这种情况，我觉得用距离平方的平均值来刻画较好。教师活动：学生10分析得很漂亮，很到位，不仅精准地回答了教师的问题，五、教学过程设计而且还把统计学中核心数据分析得淋漓尽致（教师借助这个良机，继续追问，拉长“方差、标准差”概念的形成过程）。设计意图：问题继续深入。我们已经经历了“平均数”、“每个数据与平均数的差”、“每个数据与平均数的差的绝对值的和”等统计量都相等的过程，在此基础上，再进行数据处理的尝试，终于发现距离的平方发生差异了。至于为什么取平均数，应该不是障碍，因为有时获取的数据个数不同，权重不同等。至此，“方差”概念的产生水到渠成。这时，指引学生用图2与图1进行比较，可以发现对数据进行平方后，折线图更能反应甲、乙数据的不同特征，强化“方差”意识，培养直观想象能力。五、教学过程设计追问9：除了绝对值、平方这两种运算，还能再用其他运算来刻画离散程度吗？学生11：开方、立方等应该都可以，但最好是平方。教师活动：为什么最好是平方？学生12：绝对值运算虽然简捷，但不合适进一步的代数运算，有时还需要讨论，开方和立方甚至更高次方过于繁琐，计算量大，不利于统计。设计意图：让学生对刻画数据的统计量进行自由而广泛的讨论，让学生了解统计推断的随机性与或然性，培养学生的发散性思维，同时让学生在比较中研判，得出相对最佳的方式，也就是“方差”这个统计量，发五、教学过程设计展学生的科学性思维。追问10：学生12回答得很好，方差确实不是唯一刻画总体离散程度的量，但很多时候为了研究方便，我们通常选择用方差来刻画总体的离散程度。若是选拔性考试，你选择甲选手还是乙选手？学生13：我们可以根据方差来判断两名运动员成绩的离散程度，计算可得甲的方差是0.8，乙的方差是1.2，甲的离散程度小，乙的离散程度大，由此可以估计，甲的射击成绩稳定。如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，就应该选成绩相对稳定的选手甲。设计意图：“问题一”以及“十个追问”的设计及其解决，不是将“方五、教学过程设计差、标准差”概念的形成过程强加给学生，而是通过与学生的一次次对话、一次次运算、一次次的数据分析，自然生成。这种“对话学生”的教学方式使学生经历了方差产生的完整过程，符合学生的认知规律，真正培养了他们自主发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力，有助于提升学生数据分析、数学运算、数学建模等数学和心素养。5.3挑战自我，思辨“样本方差”追问11：现在我们知道方差的公式，那么方差单位是什么呢？师生活动：引导学生从数学运算的角度自然过渡到度量的角度。由于方差的单位是原始数据的单位的平方，为了使二者单位一致，我们对方差五、教学过程设计进行开方，即用标准差来进行估计与决策。记为标准差设计意图：不是将“标准差”概念强加给学生，纯粹是一种技术需要，自然合理。如果总体中所有个体的变量值分别为

，总体平均数为

，则称

为总体方差，

为总体标准差。如果一个样本中个体的变量值分别为

，样本平均数为

，则称

为样本方差，

为样本标准差。

标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题中，一般多采五、教学过程设计用标准差。由于计算复杂，我们可以借用计算器或者计算机帮助计算。

接下来我们来体验用方差如何刻画数据的离散程度，用样本的离散程度如何估计总体的离散程度？追问12（练习）：有两位射击运动员在一次射击实验中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？要从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛？你应当如何选择？五、教学过程设计设计意图：巩固学生对方差与标准差概念的理解。此题是人教A版教材《数学》（必修第二册）第209页问题3。在本设计中，其实就是一个“练习”的作用，既回顾旧知识，利用新知识。因为学生会非常自然地首先计算比较甲和乙的平均数、中位数，发现都是一样的，知道从集中位置的角度看，两名运动员之间没有差别，不能用这几个统计量作为决策依据，同时也呼应了“问题一”中的“疑惑”。也许有学生会提出用最大值与最小值，也许会提出用方差，但是要么不准确，要么显得突兀。有了“问题一”的提出及其解决，一切显得自然了。这里体现了从“特殊到一般”的思想。五、教学过程设计五、教学过程设计五、教学过程设计师生活动：教师引导学生明确题目的条件和结论，引导学生独立计算多组数据汇总后的方差。分析：把抽取的男生样本记为

，样本的平均数记为

，方差记为

，把抽取的女生样本记为

，样本的平均数记为

，方差记为

，把总样本数据的平均数记为

，方差记为

。五、教学过程设计男生23人，其平均数和方差分别为17