48导数在经济中的应用

一、函数变化率----边沿函数二、本钱三、收益四、函数的相关变化率----函数的弹性4.8变化率及相对变化率在经济中的运用-----边沿分析与弹性分析引见1、边沿函数设函数可导，导函数也称为边沿函数。 称为在内的平均变化率，它表示在内的平均变化速度。

在点处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边沿函数值。它表示在点处的变化速度。在点处，从改动一个单位，相应改动的真值应为。但当x改动的“单位〞很小时，或x的“一个单位〞与值相对来比很小时，那么有

当时，标志着由减少一个单位这阐明在点处，当产生一个单位的改动时，近似改动个单位。在运用问题中解释边沿函数值的详细意义时我们略去“近似〞二字例1函数，在点处的边沿函数值，它表示当时,改动一个单位，〔近似〕改动20个单位。例2设某产品本钱函数C=C(Q)(C为总本钱，Q为产量〕，其变化率称为边沿本钱。称为当产量到达时的边沿本钱。西方经济学家对它的解释是：当产量到达时，消费前最后一个单位产品所增添的本钱。2、本钱某产品的总本钱是指消费一定数量的产品所需的全部经济资源投入〔劳力、原料、设备等〕的价钱或费用总额。它由固定本钱与可变本钱组成。平均本钱是消费一定量产品，平均每单位产品的本钱。边沿本钱是总本钱的变化率，即总本钱函数的导数设C为总本钱,为固定本钱,为可变本钱，为平均本钱，为边沿本钱，Q为产量，那么有总本钱函数平均本钱函数边沿本钱函数例1知某产品的本钱函数为求：当Q=10时的总本钱、平均本钱及边沿本钱。例2例1中的商品，当产量Q为多少时，平均本钱最小？3、收益总收益是消费者出卖一定量产品所得到的全部收入。平均收益是消费者出卖一定量的产品，平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售价。边沿收益为总收益的变化率。总收益，平均收益，边沿收益均为产量的函数设P为商品价钱，Q为商品量，R为总收益，为边沿收益。那么有需求函数P=P(Q)总收益函数R=R(Q)平均收益函数边沿收益函数需求与收益的关系有：总收益与平均收益的关系为：总收益与边沿收益的关系为：例1设某产品的价钱与销售量的关系为P=10-Q/5，求销售量为30时的总收益、平均收益与边沿收益。下面讨论最大利润原那么：设总利润为L，那么L=L(Q)=R(Q)-C(Q)L(Q)获得最大值的必要条件为：，即于是可获得最大利润的必要条件是：边沿收益等于边沿本钱。L(Q)获得最大值的充分条件为：即于是可获得最大利润的充分条件是：边沿收益的变化率小于边沿本钱的变化率。例2知某产品的需求函数为P=10-Q/5，本钱函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利润L最大？并验证能否符合最大利润原那么。

例3某工厂消费某产品，固定本钱为20000元，每消费一单位产品，本钱添加100元。知总收益R是年产量Q的函数问每年消费多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？4、函数的相关变化率----函数的弹性前面所谈的函数改动量与函数变化率是绝对改动量与绝对变化率，但是从实际中可看到，仅仅研讨此是不够的。比如，商品a每单位价钱10元，涨价1元；商品b每单位价钱是1000元，也涨价1元，两种商品价钱的绝对改动量都是1元，但各自与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了10%，而商品b涨了0.1%。因此有必要研讨函数的相对改动量与相对变化率。从到两点间的相对变化定义4.5设函数在点处可导，函数的相对改动量，与自变量的相对改动量之比，称为函数率，或称为两点间的弹性。当时，的极限称为在处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。即=记作，或对普通的x，假设f(x)可导，那么有是x的函数，称为f(x)的弹性函数。函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反响的剧烈程度或灵敏度。表示在点处，当x产生1%的改动时，f(x)近似改动%。在运用问题中解释弹性的详细意义时，我们也略去“近似〞二字。留意：两点间的弹性是有方向性的，由于“相对性〞是对初始值而言的。例1求函数在处的弹性。例2求函数的弹性函数及例3求幂函数〔为常数〕的弹性函数。〔该函数称为不变弹性函数〕5、需求函数与供应函数“需求〞指在一定价钱条件下，消费者情愿购买并且有支付才干购买的商品量。消费者对某种商品的需求是多种要素决议的,商品的价钱是影响需求的一个主要要素,但还有许多其他要素,如消费者收入的增减,其它代用品的价钱等都会影响需求。我们如今不思索价钱以外的其它要素〔把其它要素对需求的影响看作不变的〕，只研讨需求与价钱的关系。〔1〕需求函数设P表示商品价钱，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P为自变量，Q为因变量)称为需求函数普通说来，商品价钱低，需求大；商品价高，需求小。因此需求函数Q=f(P)是单调减少函数。因Q=f(P)单调减少，所以有反函数，也称为需求函数。用D来表示需求曲线需求函数的边沿函数称为边沿需求。例假设知需求函数为那么边沿需求函数为当P=4时，称为P=4时的边沿需求，它的经济含义表示：当价钱P=4时，价钱上涨〔或下跌〕1个单位时，需求将减少〔或添加〕4个单位。〔2〕供应函数“供应〞指在一定条价钱条件下，消费者情愿出卖并且有可供出卖的商品量。供应也是由多种要素决议的，这里略去价钱以外的其它要素，只讨论供应与价钱的关系。设P表示商品价钱,Q表示供应量,那么有(P为自变量,Q为因变量)称为供应函数.普通说来,商品价钱低，消费者不情愿消费，供应少；商品价钱高，供应多。因此普通供应函数为单调添加函数。所以有反函数，也称为供应函数。〔1〕平衡价钱平衡价钱是市场上需求量与供应量相等时的价钱，此时需求量与供应量称为平衡商品量。当时，此时消费者购买的商品量会大于消费者情愿出卖的商品量，市场上出现“供不应求〞，商品短缺，会构成抢购、黑市等情况，这种情况不会耐久，必然导致价钱上涨。当时，此时消费者购买的商品量会小于消费者情愿出卖的商品量，市场上出现“供过于求〞，商品滞销。这种情况不会耐久，必然导致价钱下跌。总之，市场上的商品价钱将围绕平衡价钱摆动。6、需求弹性与供应弹性定义4.6某商品需求函数在处可导，称为该商品在与两点间的需求弹性。记作称为该商品在处的需求弹性。记作例1知某商品需求函数，求〔1〕从P=30到P=20，50各点间的需求弹性；〔2〕P=30时的需求弹性，并指出其经济含义。例2设某商品需求函数为，求〔1〕需求弹性函数；〔2〕P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并指出其经济含义。定义4.7某商品供应函数在处可导，称为该商品在与两点间的供应弹性。记作称为该商品在处的供应弹性。记作7、用需求弹性分析总收益〔或市场销售总额〕的变化总收益R是商品价钱P与销售量Q的乘积，即〔1〕假设，需求变动的幅度小于价钱变动的幅度，此时，，递增。即价钱上涨，总收益添加；价钱下跌，总收益减少。〔2〕假设，需求变动的幅度大于价钱变动的幅度，此时，，递减。即价钱上涨，