专题02二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质（3个知识点8种题型1个易错点）（解析版）

专题02二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质（3个知识点8种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质【方法二】实例探索法题型1：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小题型3：一题多解法——比较函数值的大小题型4：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式题型5：双图像问题题型6：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论【方法三】差异对比法易错点1解决实际问题时，忽略自变量的取值范围而出错【方法四】成果评定法【学习目标】1、会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象。2.能确定二次函数y=ax2(a≠0)的图象的顶点坐标，开口方向和对称轴。3.探索二次函数y=ax2(a≠0)的图象的作法和性质。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.例1.已知二次函数的图像经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【答案】，．图像如图所示：【解析】把Q（-1，-2）代入得，解析式为．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法．知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.例2.二次函数的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【答案】抛物线；轴；；向下．【解析】图像为抛物线，顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下【总结】本题考察二次函数的性质．【方法二】实例探索法题型1：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．【答案】．【解析】∵抛物线与的形状相同，∴，得．【总结】本题考察二次函数的性质．例4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？【答案】时，图像开口向上；时，图像开口向下．【解析】当，即，抛物线图像开口向上；当，即，抛物线图像开口向下．【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a的关系．例5.已知二次函数的图像开口向下，求m的值．【答案】．【解析】由题意得，得．【总结】本题考察了二次函数的概念和性质．题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小例6.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．例7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．题型3：一题多解法——比较函数值的大小例8.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【答案】＜.【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：，∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，，∴解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，又∵，a＜b，即a-b＜0．【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形结合的思想．题型4：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式例9.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO【答案】（1）；（2）5小时．【解析】（1）设抛物线解析式为（），如图，设，则，把、代入得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）由（1）知，∴（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．例10.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．【答案】．【解析】∵为二次函数，∴，解得，， 又∵，∴，可得，∴二次函数为．∵要求的抛物线与开口方向相反，形状相同，∴要求的这个二次函数的解析式为．【总结】本题考查二次函数的概念及性质．题型5：双图像问题例11.函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【答案】D．【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．题型6：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题例12.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．【答案】；抛物线不经过点．【解析】把3和-2分别代入得、，把代入得，∴抛物线的表达式为；把代入得，与B点纵坐标不同，∴抛物线不经过点B．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．例13.物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．【答案】（1），；（2），顶点坐标为，对称轴为轴；（3）当时，二次函数的值随的增大而增大．【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为．把代入得，∴；（2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴；（3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换例14.若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【答案】；；是．【解析】若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为；若抛物线（）沿着x轴翻折，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为．【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论例15.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【答案】，．【解析】把横坐标-1，2分别代入（）得、，∴，，，当时，，即，解得，（舍）；当时，，即，解得，（舍）；当时，，，此方程无解，综上，当为直角三角形，a的值为1或．【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．【方法三】差异对比法易错点1解决实际问题时，忽略自变量的取值范围而出错例16.（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．(3)求当时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．【答案】(1)见解析；(2)点不在这个函数图像上；(3)【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；（3）代入即可求出坐标．【详解】（1）如图所示，（2）当时，，∴点不在这个函数图象上；（3）当时，，∴，∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）二次函数y=x的图象经过的象限是（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【详解】∵y=x2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．2．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上【答案】B【分析】根据抛物线的性质分别判断两个函数图象的开口向上、对称轴、顶点坐标，即可得到答案．【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2），∴两条抛物线对称轴相同，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质．3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解．【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，∴当时，随的增大而增大，∵在抛物线上，，∴．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）若点在抛物线上，那么下列各点中一定在该抛物线的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点在抛物线上，且抛物线的对称轴为轴，从而可得关于轴的对称点在抛物线上，于是可得答案.【详解】解：点在抛物线上，且抛物线的对称轴为轴，则关于轴的对称点在抛物线上，故B符合题意；所以A，C，D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，掌握“抛物线的对称轴为轴”是解题的关键.5．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）若二次函数（m≠0）的图象经过点（2，-5），则它也经过（

）A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）【答案】A【分析】根据抛物线的对称性求解．【详解】，∴抛物线对称轴为y轴，∵图象经过点（2，-5），∴图象经过点（-2，-5），故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图的对称性．6．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）下列抛物线中，开口最大的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的开口大小与有关，越大，开口越小．【详解】解：，、、、中开口最大的是，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的开口大小与有关，越大，开口越小是解本题的关键．7．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，它们的共同点是（

）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上 B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．当时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】先根据解析式中的a值判断抛物线的开口方向，并由解析式求出顶点坐标及对称轴．【详解】解：∵函数，，中，a取值范围分别为：，，，∴抛物线的开口方向分别为：向下、向下、向上，即开口方向不同；由函数，，的解析式可知：顶点坐标都为；∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握的图象关于y轴对称，顶点为原点是解题的关键．8．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．【详解】解：根据题意得：，∴，∴故答案为：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．二、填空题9．（2016·安徽宣城·九年级开学考试）如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________．【答案】m＞1【分析】根据二次函数的性质，求解即可．【详解】解：由题意可得：，解得．故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键．10．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）若二次函数的图像开口向下，则m的值为___________．【答案】【分析】根据二次函数的定义，以及二次函数图像开口向下即可得出的值．【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．11．（2022秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y＝x2，当﹣2≤x≤m时，0≤y≤4，则m的取值范围是________．【答案】【分析】先画的图象，结合函数图象可得：﹣2≤x≤m，0≤y≤4，此时的范围．【详解】解：的图象如图所示：当﹣2≤x≤m时，0≤y≤4，结合函数图象可得：故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用数形结合的方法解题是关键．12．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．【答案】【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．【详解】解：设A1B1=x，∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴OB1=x，则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x，得x=x2+x，解得x=1或x=0（舍），设A2B2=m，∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，∴B1B2=m，∴A2的坐标为（m，1+m），代入二次函数y=x2+x，得m2+m＝1+m，解得m=2或m=-1（舍），同理可求出A3B3=3，A4B4=4，∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，得B2021A2022=，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．13．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为______．【答案】【分析】设点坐标为，，依题意，坐标为，，根据抛物线对称性及正方形的性质可得的值，从而可得正方形边长，依此规律求解．【详解】解：连接设点坐标为，，依题意，坐标为，，∵，∴，∵，∴，∴正方形边长为，同理设坐标为，则坐标为，∵，∴,∴，∴正方形边长，同理设坐标为，则坐标为，∴,解得：,∴正方形边长，……依此类推可得正方形的边长．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握正方形的性质．三、解答题14．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点（2，－2），(1)求这个函数的表达式；(2)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？【答案】(1)(2)当时，y随x的增大而增大【分析】（1）把代入，即可求解；（2）根据二次函数的图象的对称轴为直线，且，可得当时，y随x的增大而增大，即可．（1）解：把代入得：，∴，∴这个函数的表达式为；（2）解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且，图象开口向下，∴当时，y随x的增大而增大．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．(1)完成表格…012……2343……2n02…___________；___________．(2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________．(3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围．【答案】(1)，(2)见解析，两个函数图象都关于轴对称(3)【分析】（1）把对应的x的取值代入相应解析式，即可求解；（2）利用描点法画出函数图象，即可求解；（3）观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，；故答案为：；（2）解：两个函数的图象，如图所示，观察图象得：这两个函数的图象都关于y对称；（3）解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，∴使的自变量的取值范围为．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．16．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点、．(1)求a与m的值；(2)当时，函数值y的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）把代入可求出，把代入函数解析式得：；（2）利用函数增减性求解即可．【详解】（1）解：把代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为，把代入函数解析式得：；（2）解：的对称轴为：，开口向上，∴时，函数值y随x的增大而减小，时，函数值y随x的增大而增大，∴当时，函数值有最小值为：，当时，函数值有最大值为：，∴当时，函数值y的取值范围．【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握函数性质．17．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过点．(1)求此抛物线的解析式．(2)判断点是否在此抛物线上．【答案】(1)(2)不在抛物线上，理由见解析【分析】（1）将点代入待定系数法求解析式，即可求解；（2）将代入（1）的解析式即可求解．【详解】（1）解：将点代入得

解得∴抛物线的函数解析式为，（2）当时，，∴点不在此抛物线上．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，求得二次函数解析式是解题的关键．18．（2022秋·河南周口·九年级校考阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件m的值．(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．【答案】(1)2或(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；（3）根据二次函数