2007年河南省专升本真题高数(及答案)

2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一.单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合的所有子集共有（）A.5B.6C.72.函数的定义域为（）A.B.C.D.3.当时，与不等价的无穷小量是()A.B.C.D.4.当是函数的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.设在处可导，且，则的值为（）A.-1B.-2C.-3D.6.若函数在区间内有，则在区间内，图形（）A．单调递减且为凸的B．单调递增且为凸的C．单调递减且为凹的D．单调递增且为凹的7.曲线的拐点是（）A.B.C.D.8.曲线的水平渐近线是（）A.B.C.D.9.（）A.0B.C.2D.110.若函数是的原函数，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.11.（）A.B.C.D.12.设，则（）A.-3B.-1C.1D.313.下列广义积分收敛的是（）A.B.C.D.14.对不定积分，下列计算结果错误是（）A.B.C.D.15.函数在区间的平均值为（）A.B.C.8D.416.过轴及点的平面方程为（）A.B.C.D.17.双曲线绕轴旋转所成的曲面方程为（）A.B.C.D.18.（）A.B.C.0D.极限不存在19.若，则（）33._________34．_________35.向量的模________36.已知平面：与平面：垂直，则______37.设，则________38.已知，交换积分次序后，则_______39.若级数收敛，则级数的和为_______40.微分方程的通解为________得分评卷人三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列单调，则必收敛.()42.若函数在区间上连续，在内可导，且，则一定不存在，使.()43..()44..()45.函数在点处可微是在处连续的充分条件.()得分评卷人四、计算题（每小题5分，共40分）46．求.47.求函数的导数.48.求不定积分.49.计算定积分.50.设，且为可微函数，求.51．计算，其中为圆环区域：.52．将展开为的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程的通解.得分评卷人五、应用题（每题7分，共计14分）54.某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V立方米，底面造价每平方米元，侧面造价每平方米元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？55.设平面图形D由曲线,直线及y轴所围成.求：（1）平面图形D的面积;(2)平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.得分评卷人六、证明题（6分）56.若在上连续，则存在两个常数与，对于满足的任意两点，证明恒有.2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试(答案)一1解：子集个数。2解：。3解：根据常用等价关系知，只有与比较不是等价的。应选A。4解：；。5解：。6解：单调增加；凸的。应选B。7解：，应选A。8解：。9解：。10解：根据不定积分与原函数的关系知，。应选B。11解：。12解：。13解：由积分和积分的收敛性知，收敛，应选C。14解：分析结果，就能知道选择C。15解：。16解：经过轴的平面可设为，把点代入得应选C。也可以把点代入所给的方程验证，且不含。17解：把中换成得，应选A。18解：。19解：。20解：令，应选A。21解：：从0变到1，。22解：对级数、需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级数利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。23解：令，级数化为收敛区间为，即。24解：不是特征方程的特征根，特解应设为。应选B。25解：有。二26解：。27解：构造级数，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件。28解：。29解：。30解：。31解：。32解：；。33解：。34解：。35解：。36解：。37解：。38解：，所以次序交换后为。39解：，而，所以。40解：有二重特征根1，故通解为（为任意常数）。三41解：如数列单调，但发散，应为×。42解：如在满足上述条件，但存在，使得，应为×。43解：第二步不满足或，是错误的，事实上。应为×。44解：因，由定积分保序性知：，应为√。45解：在点处可微可得在点处连续，反之不成立，应为应为√。四46解：。47解：两边取自然对数得，----（1分）两边对求导得：，-------（3分）即，------（4分）故。-----（5分）48解：----（1分）-----（3分）--（4分）。----（5分）49解：因，所以-----（2分）------（4分）

。-----（5分）50解：令，有，利用微分的不变性得----（3分）------（4分）---（5分）51解：积分区域如图07-1所示：的边界、用极坐标表示分别为，；故积分区域在极坐标系系下为图07-1，----（2分）图07-1故----（3分）---（4分）。---（5分）52解：因；---（2分）。所以；。--（3分）故--（4分）。--（5分）53解：方程可化为，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分）它对应的齐次方程的通解为，---（2分）设原方程有通解，代入方程得，即，--（3分）所以，---（4分）故所求方程的通解为。---（5分）五54解：设长方体的长、宽分别为，则高为，又设造价为，---（1分）由题意可得；---（3分）而在定义域内都有意义.令得唯一驻点，-----（5分）由题可知造价一定在内部存在最小值，故就是使造价最小的取值，此时高为。所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为、、时，工程造价最低。---（7分）图07-255解：平面图形D如图07-2所示：---（1分）图07-2取为积分变量，且（1）平面图形D的面积为----（3分） 。----（4分）（