高考数学大一轮复习 第十篇 计数原理 概率 随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量的分布列及均值和方差习题 理试题

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量概念与分布列1,2,3,4,5,7,9离散型随机变量的均值6,14,15,16离散型随机变量的方差8,11,13超几何分布10,12基础对点练(时间:30分钟)1.下列变量中离散型随机变量的个数为(C)①在2016张已编号(从1号到2016号)的奖券中任取一张,被取出的号码X②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数Y③在编号为1～100的100张卡片中,任取两张,其两张卡片的编号之和Z④某加工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差ξ(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:X,Y,Z都是随机变量且可以一一列出,是离散型随机变量;ξ是随机变量,但其取值位于某个区间内,不可一一列出,故不是离散型随机变量.2.从标有1～10的10台电脑中任取两台,设所得两台电脑上的数字之和为ξ,那么随机变量ξ可能取得的值有(A)(A)17个 (B)18个 (C)19个 (D)20个解析:1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个,共有17个.3.设随机变量X的分布列为P(X=i)=a·(23)i(A)1738 (B)2738 (C)1719 解析:根据题意及随机变量分布列的性质得a·23+a·(23)2+a·(23)34.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于(C)(A)0 (B)12 (C)13解析:即求试验不成功的概率,故选C.5.若随机变量X的分布列为X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(C)(A)(-∞,2] (B)[1,2] (C)(1,2] (D)(1,2)解析:由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].6.随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的数学期望是(B)(A)2 (B)2.1(C)2.3 (D)随m的变化而变化解析:根据题意,0.2+0.5+m=10,解得m=0.3,所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.7.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=12k(k=1,2,3,…),则P(3<X(A)1564 (B)732 (C)764 解析:P(3<X≤6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=124+125+8.随机变量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=13,则D(ξ)=.解析:由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a=13③,以上三式联立解得a=16,b=13,c=12,故D(答案:59.一个小商店每年利润X(万元)的概率分布列是X0.511.52P0.10.20.50.2则这个小商店一年利润不低于1万元的概率是.

解析:根据分布列,记这个小商店一年的利润不低于1万元为事件{X≥1},故P(X≥1)=1-P(X<1)=1-0.1=0.9.答案:0.910.一批产品共50件,其中5件次品,45件合格品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品的概率是.

解析:设抽到次品的件数为X,则X服从超几何分布,出现次品的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C51C451答案:47能力提升练(时间:15分钟)11.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)等于(C)(A)1 (B)0.6 (C)2.44 (D)2.4解析:因为0.5+m+0.2=1,所以m=0.3,所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.12.导学号18702594一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是(A)(A)1335 (B)1435 (C)1835 解析:记得分为X,则X=5,6,7,8.P(X=7)=C43C31C74=1235;P(X=8)=C13.已知随机变量X的分布列为X01234P0.20.20.30.20.1则D(X)=,D(2X-1)=.

解析:E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8,所以D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56,由方差的性质得D(2X-1)=4D(X)=4×1.56=6.24.故D(X)=1.56,D(2X-1)=6.24.答案:1.566.2414.导学号18702595为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x(单位:元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时,行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.①求这两种金额之和不低于20元的概率;②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和数学期望.解:(1)由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是40200-10200=(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C5故所求概率为P(A)=610=3②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P1111111故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×15+30×15.(2016·湖南郴州第四次质检)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;(2)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取2名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为X,写出X的分布列和数学期望E(X).解:(1)甲班样本数据的平均值为16(9+11+13+20+24+37)=19,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为19小时;乙班样本数据的平均值为1(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=C42CP(X=1)=C41CP(X=2)=C22CP(X=3)=C22C31C3X的分布列是X01234P22631111E(X)=0×225+1×2675+2×3175+3×1175+4×16.导学号18702596某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:统计信息汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路12311.6公路21410.8(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位:万元),求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)解:(1)若汽车走公路1,不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(万元),所以汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为ξ18.417.4P91E(ξ)=18.4×910+17.4×1(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(万元).所以汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为η20.217.2P11E(η)=20.2×12+17.2×1因为E(ξ)<E(η),所以选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多.好题天天练1.导学号18702598由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其分布列如下:X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据x,y依次为.

解析:由于0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得10x+y=25,又因为x,y为正整数,故两个数据依次为2,5.答案:2,52.导学号18702599据统计一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产