专题2.6 轴对称图形（章节复习+考点讲练）学生版

2023-2024学年苏科版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.6轴对称图形（章节复习+考点讲练）知识点01：轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做，这条直线就是它的.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小，是；②如果两个图形关于，则对称轴是任何一对对应点所连线段的；③两个图形关于，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个2.线段的垂直平分线一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的．3.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由组成的图形，只要作出图形中的一些的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的4.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为；点（,）关于轴对称的点的坐标为；点（,）关于原点对称的点的坐标为知识点02：线段、角的轴对称性1.线段的轴对称性（1）线段是形，线段的垂直平分线是它的.（2）线段垂直平分线的性质定理；

（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：2.角的轴对称性（1）角是图形，是它的对称轴.（2）角平分线上的相等.（3）角的内部到.知识点03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“”；②等腰三角形线互相重合（简称“”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“”）.2.等边三角形（1）定义：的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角，并且每个角都等.（3）等边三角形的判定：①是等边三角形；②是等边三角形；③是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：【典例精讲】（2022秋•攸县期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是AD＝CD．（只需写一个，不添加辅助线）【思路点拨】轴对称图形的定义即可得到结论．【规范解答】解：AD＝CD，理由：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四边形ABCD是一个轴对称图形，故答案为：AD＝CD．【考点评析】本题考查了轴对称图形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．【变式训练1-1】（2021秋•濮阳期末）正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有种．【变式训练1-2】（2023•徐州一模）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【变式训练1-3】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【典例精讲】（2023春•铁西区月考）如图（1）～（4），回答下列问题．a．从图形①到图形②进行了平移的是（2）（3）．b．从图形①到图形②进行了轴对称的是（1）（4）．c．对（2）、（4）并进行如下解答．如果是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样的平移？【思路点拨】a．根据平移变换的定义判断即可；b．根据轴对称的定义判断即可；c．利用平移变换，轴对称变换的性质判断即可．【规范解答】解：a．从图形①到图形②进行了平移的是（2）（3）；故答案为：（2），（3）；b．从图形①到图形②进行了轴对称的是（1）（4）；故答案为：（1）（4）c．（2）是平移变换，图①向左平移5个单位再向下平移3个单位得到图②．（4）是轴对称变换，对称轴是x轴．【考点评析】本题考查轴对称的性质，平移变换的性质，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．【变式训练2-1】（2023春•茌平区期末）在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝12°，则∠EAF的度数为．【变式训练2-2】（2023春•达川区校级期末）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝10，BD＝3，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．【变式训练2-3】（2023春•郓城县期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB＝CD；③AB⊥BC；④AO＝OC．其中正确的结论是．（把你认为正确的结论的序号都填上）【典例精讲】（2021秋•大同区校级期末）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（）个格点三角形与△ABC成轴对称．A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【思路点拨】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解【规范解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A．【考点评析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．【变式训练3-1】（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，连接OP，OC，OD，CD，PC，PD．则（1）∠CPD的度数是；（2）∠OCD的度数是．【变式训练3-2】（2017春•天桥区期中）如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有种补法．【变式训练3-3】（2023春•冷水滩区校级期末）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．【典例精讲】（2023春•邯郸月考）小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【规范解答】解：经过镜面反射后，四点变为八点，那么答案应该是最接近八点的图形，故选：C．【考点评析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【变式训练4-1】（2022秋•公安县期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（）A．15：01 B．10：21 C．21：10 D．10：51【变式训练4-2】（2022秋•清河区校级期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是3265．【变式训练4-3】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【变式训练4-4】如图，两平面镜所成的角为θ．一束光线由点P发出，经OB，OA两次反射后回到点P．已知PQ∥OA，PR∥OB，判断△OQR的形状．【典例精讲】（2023春•宜城市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．6【思路点拨】由矩形的性质和折叠的性质得出∠FCA＝∠FAC，证出AF＝CF，设AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面积＝CF×AD，即可得出结果．【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝4，∠D＝90°，AB∥DC，∴∠BAC＝∠FCA，由折叠的性质得：∠FAC＝∠BAC，∴∠FCA＝∠FAC，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴△AFC的面积＝CF×AD＝×5×4＝10；故选：B．【考点评析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【变式训练5-1】（2023春•平南县期末）如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为（）A．80° B．100° C．60° D．45°【变式训练5-2】（2023春•围场县期末）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，则线段FG的长为．【变式训练5-3】（2023春•鼓楼区校级期末）如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”，（1）如图①，在规形ABCD中，若∠A＝80°，∠BDC＝130°，∠ACD＝30°，则∠ABD＝°；（2）如图②，将△ABC沿DE，EF翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO＝72°，则∠C＝54°；（3）如图③，在规形ABCD中，∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E，且∠B＞∠C，试探究∠B，∠C，∠E之间的数量关系，并说明理由．【变式训练5-4】（2022秋•洛阳期末）如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，折叠∠ABC使得点B与点C重合，折痕交AB、BC、BD于点E、F、G，连接CE交BD于点H．（1）求证：BH＝AC；（2）连接GC，若∠BGC＝2∠A，CD＝5，求GD的长．【典例精讲】（2022秋•南阳期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC的面积为26，AB＝8，BC＝5，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的定义得到DE＝DC，再利用三角形面积公式得到×6×DF+×8×DE＝26，然后求出DE的长．【规范解答】解：作DF⊥BC于F，如图，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴×5×DF+×8×DE＝26，∴DE＝26，∴DE＝4．故选：D．【考点评析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练6-1】（2023春•招远市期末）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练6-2】（2023春•城关区校级期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．【变式训练6-3】（2023春•万源市校级期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．（1）求证：GA平分∠DGB；（2）若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．【典例精讲】（2022秋•梁子湖区期末）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【思路点拨】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【规范解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故选：B．【考点评析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式训练7-1】（2023•武安市二模）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB＝α，则∠AIB的大小为（）A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α【变式训练7-2】（2022秋•路北区校级期末）如图，DP所在直线是BC的垂直平分线，垂足是点P，DP与∠BAC的平分线相交于点D，若∠BAC＝86°，则∠BDC＝度．30．（2023•鄞州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．【变式训练7-3】（2023春•万源市校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC＝8．求△AEG周长．【典例精讲】（2022秋•合肥期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E．（1）若AE＝4，则DE的长为4；（2）若AB＝10，则DE的长为5．【思路点拨】（1）证明∠EAD＝∠EDA，此为解题的关键性结论；证明∠EAD＝∠EDA，即可解决问题．（2）证明DE为直角△ABD斜边的中线，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD＝∠CAD，∠EDA＝∠CAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴DE＝AE＝4，故答案为：4；（2）∵BD⊥AD，∠EAD＝∠EDA，∴∠EBD+∠EAD＝∠BDE+∠EDA，∴∠EBD＝∠BDE，∴DE＝BE．∵∠EAD＝∠EDA，∴DE＝AE，∵DE＝BE，∴DE＝AB＝×10＝5．故答案为：5．【考点评析】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．【变式训练8-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE，若AD＝12，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（）A．32 B．20 C．16 D．28【变式训练8-2】（2023春•淄博期末）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm【变式训练8-3】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且∠ABC＝2∠DEC，若AB＝7，CE＝12，则BC的长度为．【变式训练8-4】（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．【典例精讲】（2023春•宁波期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【思路点拨】过E点作EH⊥BF，设DE＝x，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD＝4，得到EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，求得CH＝2，表示出BH＝2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF＝8，得到BH＝FH＝4，即可求得线段DE的长．【规范解答】解：过E点作EH⊥BF，设DE＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案为：2．【考点评析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式训练9-1】（2023春•淄博期末）如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形【变式训练9-2】．（2023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A． B． C． D．【变式训练9-3】（2023春•开江县校级期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【变式训练9-4】（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．【典例精讲】（2022秋•盘山县期末）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D．若BD＝1，则AB＝4．【思路点拨】先根据∠ACB为直角，∠A＝30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．【规范解答】解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CD⊥AB于D，∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，∴AB＝2BC，BC＝2BD，∴AB＝4BD＝4．故答案为：4．【考点评析】此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用∠ACB为直角和CD⊥AB于D，求出∠DCB＝90°﹣∠B＝30°．【变式训练10-1】（2023春•定州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【变式训练10-2】（2022秋•盘山